西安石油大学电子工程学院：《自动控制理论 Modern Control System》精品课程教学资源（重点难点与例题解析）第四章 线性系统的根轨迹法

要求 (1)绘出闭环系统的根轨迹(0≤a<∞) (2)判断点(-3,)是否在根轨迹上: (3)由根轨迹求出使闭环系统阻尼比ξ=0.5时的a值 解:(1)本题给出的是闭环传递函数所以系统闭环特征多项式为 D(s)=s2+as+16 构造等效开环传递函数 * 画出根轨迹如图416所示。它是以原点为圆心,半径为4的圆弧。 (2)点(-√3,到原点的距离是√3+1=2≠4,故不在根轨迹上 (3) D(s)==S+as+16=5+250, s +o √16=4 令5=0.5,得 a=0=4 例4-13两个系数的结构图如图4-17(ab)所示要求 (1)画出当k(0→>∞)变动时,图4-17(a所示系统的根轨迹 (2)画出当P(0→∞)变动时图4-17(b所示系统的根轨迹(即广义根轨迹) (3)试确定kp值,使得两个系统的闭环极点相同。 s) C(s) k C(s) s(s+ p) S十 (a) 图4-17 解:(1) G2()k(s+1)

·98· 要求: （1）绘出闭环系统的根轨迹(0  a  ) （2）判断点 ( 3, j) 是否在根轨迹上； （3）由根轨迹求出使闭环系统阻尼比  0.5 时的 a 值 解：（1）本题给出的是闭环传递函数,所以系统闭环特征多项式为 ( ) 16 2 D s  s  as  构造等效开环传递函数 16 * ( ) 2   s as G s 画出根轨迹如图 4-16 所示。它是以原点为圆心,半径为 4 的圆弧。 （2）点 ( 3, j) 到原点的距离是 3 1  2  4 ,故不在根轨迹上. （3） n n D s s as s s 2 2 2 ( )   16   2          n n a    2 16 4 令  0.5 ,得   4 n a  例 4-13 两个系数的结构图如图 4－17(a)(b)所示.要求: （1）画出当 k（0  ）变动时,图 4－17(a)所示系统的根轨迹； （2）画出当 p（0  ）变动时,图 4－17(b)所示系统的根轨迹(即广义根轨迹)； （3）试确定 k,p 值,使得两个系统的闭环极点相同。 （a） （b） 图 4-17 解: （1） 2 ( 1) ( ) s k s G s a   C(s) 2 s k s 1 R(s) R(s) C(s) ( ) 4 s s  p

画出系统根轨迹如图4-18虚线)所示 4 G6(s)= 2 D,(S)=s 构造等效开环传递函数 G*S 画出相应的根轨迹如图4-18(实线)所示 (3)由图418可见两条根轨迹公共交 0 点对应重极点S12=-2,所以令 D1(s)=D2(s)=(s+2) 图4-18 4 比较系数得 此时两系统具有相同的闭环极点S12=-2 例4-14已知系统开环传递函数 画出系统闭环根轨迹。 K*(s+j2(s-j2) (S+1)(s-1)(s+3)(s-3) 1+1-3+3 渐近线 4 /9≈(2k+1)兀=±900 分离点 d+1d-1d+3d-3d+j2d-j2 整理得 d4+8d2-49=0 解出 d1,=±20155 d34=±j3473

·99· 画出系统根轨迹如图 4-18(虚线)所示。 (2) ( ) 4 ( ) s s p G s b   ( ) 4 2 Db s  s  ps  构造等效开环传递函数 4 * ( ) 2   s ps G s b 画出相应的根轨迹如图 4-18(实线)所示。 （3）由图 4-18 可见,两条根轨迹公共交 点对应重极点 2 s1,2   , 所以令 2 1 2 D (s)  D (s)  (s  2) 即 s  ks  k 2 = 4 2 s  ps  = 4 4 2 s  s  比较系数得 k=p=4 此时两系统具有相同的闭环极点 2 s1,2   . 例 4-14 已知系统开环传递函数 ( 1)( 9) *( 4) ( ) 2 2 2     s s K s G s 画出系统闭环根轨迹。 解： ( 1)( 1)( 3)( 3) *( 2)( 2) ( )        s s s s K s j s j G s 渐近线                  0 90 4 2 (2 1) 0 4 2 1 1 3 3    k a a 分离点 2 1 2 1 3 1 3 1 1 1 1 1 d d d d d j d  j           整理得 8 49 0 4 2 d  d   解出 2.0155 d1,2   3.473 3,4 d   j 图 4-18

画出系统根轨迹如图4-19所示。 K s(S+3) +2s+ 图4-19 图4-20 例4-15某负反馈系统结构图如图4-20所示。试画出系统闭环概略根轨迹(K0→∞)。 G(s)= K(s2+2s+2)K(S+1+j)(s+1-j) (s+1) 渐近线 分(k+1)x±90 起始角,由相角条件知 q1+q2-46=(2k+1) 90°+90°-46=(2k+1)z 0=(2k+1)_+450,±1350 分离点 +1+J 整理得 d2+2d+3=0 解出 图4-21

·100· 图 4-21 画出系统根轨迹如图 4-19 所示。 图 4-19 图 4-20 例 4-15 某负反馈系统结构图如图 4-20 所示。试画出系统闭环概略根轨迹(K:0  )。 解： 4 4 2 ( 1) ( 1 )( 1 ) ( 1) ( 2 2) ( )           s K s j s j s K s s G s 渐近线                    0 90 4 2 (2 1) 1 4 2 4 ( 1) 2 ( 1)    k a a 起始角,由相角条件知 1  2  4  (2k 1) 即 90 90 4 (2 1) 0 0     k  0 0 45 , 135 4 (2 1)        k 分离点 d d j d   j      1 1 1 1 1 4 整理得 2 3 0 2 d  d   解出 1 2 1,2 d    j 4 1 s(s  3) K 2 2 2 s  s  R(s) C(s)