西安石油大学电子工程学院：《自动控制理论 Modern Control System》精品课程教学资源（重点难点与例题解析）第四章 线性系统的根轨迹法

DO S)=s+ [D(o) Re[D(o)=-502+K*-10=0 K,*=10 K 画出根轨迹如图4-10所示。由根轨迹可确定使系统稳定的K*取值范围为 例4-8正反馈系统的开环传递函数 G(SH(S) (s+1)(s+4)2 当K:0→∞时,绘制系统的根轨迹 解:因为 K 所以,系统根轨迹需按0°根轨迹规则进行绘制 四个开环极点-1,-1,-4,-4为根轨迹的起点 无有限零点,因而四条根轨迹趋于无穷远处 四条渐近线与实轴的交点 四条渐近线与实轴的夹角: p=0 p2=9 4=-90° 根轨迹在实轴上的分离点 K=(s+1)(s+4) 求得:分离点为-25 根轨迹与虚轴的交点 因

·93· ( ) 5 4 * 10 3 2 D s  s  s  s  K  令             Re[ ( )] 5 * 10 0 Im[ ( )] 4 0 2 3 D j K D j      解出      * 10 0 1 1 K        * 30 2 2 2 K  画出根轨迹如图 4-10 所示。由根轨迹可确定使系统稳定的 K*取值范围为： 10<K*<30 例 4-8 正反馈系统的开环传递函数 1 ( 1) ( 4) ( ) ( ) 2 2     s s K G s H s 当 K : 0   时，绘制系统的根轨迹。 解：因为 1 ( 1) ( 4) 2 2  s  s  K 所以，系统根轨迹需按 0 o根轨迹规则进行绘制。 四个开环极点-1，-1，-4，-4 为根轨迹的起点； 无有限零点，因而四条根轨迹趋于无穷远处。 四条渐近线与实轴的交点： 2.5 4 ( 1 1 4 4)           四条渐近线与实轴的夹角：    90 180 90 0 4 3 2 1          根轨迹在实轴上的分离点： 2 2 K  (s 1) (s  4) 令  0 ds dK 求得：分离点为-2.5。 根轨迹与虚轴的交点： 因

K (s+1)2(s+4)2 s4+10s3+332+40s+16-K=0 将S=J代入,得: O-302+(16-K)=0 -10o3+40o=0 由2)式得: 0 (不合理,舍去) 将=0代入1)式,求得: K=16 开环增益的值 开环增益小于1,闭环系统稳定。根轨迹见图4-11所示。 例4-9设单位反馈系统的开环传递函数为: K G(s)= s(s+a 试绘制K和a从零变到无穷大时的根轨迹簇。当K=4时绘出为参变量变化的根轨迹 解:闭环特征方程: s2+as+K=o 将上式改写为: 1+ 0 s+K 开环传递函数+Ks(Ss+a) 具有同样的闭环特征方程 当K为定值时,研究:a:0→∞时的根轨迹 对于s2+as+K=0 令S=σ+JO代入,得 0+o--2j0o+ao ja@+K=0 令实部、虚部分别为零,得: a2-2+aa+K=0 2o0+aO=0 94

·94· 0 ( 1) ( 4) 1 2 2     s s K 10 33 40 16 0 4 3 2 s  s  s  s   K  将 s  j 代入，得：           10 40 0 30 (16 ) 0 3 4 2     K 2) 1) 由 2）式得： 1  0 ；  2,3  2 （不合理，舍去） 将  0 代入 1）式，求得： K 16 开环增益的值： 1 16  K 开环增益小于 1，闭环系统稳定。根轨迹见图 4-11 所示。 例 4-9 设单位反馈系统的开环传递函数为： ( ) ( ) s s a K G s   试绘制 K 和 a 从零变到无穷大时的根轨迹簇。当 K  4时绘出为参变量变化的根轨迹。 解：闭环特征方程： 0 2 s  as  K  1) 将上式改写为： 1 0 2    s K as 2) 开环传递函数 s K as  2 与 s(s a) K  具有同样的闭环特征方程。 当 K 为定值时，研究： a : 0   时的根轨迹。 对于 0 2 s  as  K  令 s    j 代入，得： 2 0 2 2    j  a  ja  K  令实部、虚部分别为零，得：          2 0 0 2 2      a a K 4) 3) 图 4-11

由4)式得 a=-20 将4代入3)式,并整理得: σ2-2-2σ2+K=0 可见,这是一个圆的方程,圆形(0,j0), 半径√K 又,根轨迹的起点是开环传递函数x2+K 的极点,即:s=±√K 根轨迹的终点:0和无穷远处。 整个负实轴是根轨迹 依上述可绘制根轨迹簇(令K为不同的值)。 根轨迹簇如图4-12所 图4-12 例4-10已知单位反馈系统的开环传递函数为 (s+a) s(S+1) 的变化范围为[0,+∞试绘制系统的闭环根轨迹 解:系统闭环特征方程为: D(s)=s3+s2+s+a=0 即有 等效开环传递函数为 K G1(s) K1*=a,变化范围为0,∞) 按照绘制常规根轨迹的基本法则确定根轨迹的各项参数 等效系统无开环有限零点:开环有限极点为P1=0,P2=P3 实轴上的根轨迹区间为(-∞,0]

·95· 由 4）式得： a  2 将 a 代入 3）式，并整理得： 2 0 2 2 2      K  2 2 2    ( K ) 可见，这是一个圆的方程，圆形（0，j0）， 半径 K 。 又，根轨迹的起点是开环传递函数 s K as  2 的极点，即： s   K j 根轨迹的终点：0 和无穷远处。 整个负实轴是根轨迹。 依上述可绘制根轨迹簇（令 K 为不同的值）。 根轨迹簇如图 4－12 所示。 例 4-10 已知单位反馈系统的开环传递函数为： ( 1) ( ) 4 1 ( ) 2    s s s a G s a 的变化范围为[0,+∞],试绘制系统的闭环根轨迹。 解：系统闭环特征方程为： 0 4 1 4 1 ( ) 3 2 D s  s  s  s  a  即有 0 4 1 4 1 1 3 2     s s s a 等效开环传递函数为 2 1 1 ) 2 1 ( * ( )   s s K G s K a 4 1 1 *  ，变化范围为[0,∞ ) 。 按照绘制常规根轨迹的基本法则确定根轨迹的各项参数： 等效系统无开环有限零点；开环有限极点为 2 1 0, p1  p2  p3   。 实轴上的根轨迹区间为（-∞，0 ]。 图 4-12

根轨迹有3条渐近线,且 a=60°,180°,300° 根轨迹的分离点:由分离方程 K*(3s2+2s+2) s-(s+ 解得: 根轨迹与虚轴的交点:根据闭环特征方 程列写劳斯表如下 4 当a=1时,劳斯表的S行元素全为零, 辅助方程为 解得: 绘制系统参数根轨迹如图4-13所示。 例4-11若图414所示控制系统的闭环极点为2±√10j(即2±316j)试确定增益 K和速度反馈系数T:并对求出的T值画出根轨迹图;确定使系统稳定的K值范围 解:开环传递函数 G(s)K(7s+1) s(s+3) s(S+3) D(s=5+(3+KT)s+K S+ 令 D()=(s-2-√10)s-2+√10)=s2-4s+14 比较系数:解出K,T得 K=147=-1/2

·96· 根轨迹有 3 条渐近线，且 3 1  a   ；     a  60 ,180 ,300 根轨迹的分离点：由分离方程 0 ) 2 1 ( ) 4 1 * (3 2 ( ) 2 4 2 1       s s K s s G s ds d 解得： 6 1 , 2 1 d1   d2   根轨迹与虚轴的交点：根据闭环特征方 程列写劳斯表如下： 4 4 1 4 1 4 1 1 1 2 3 a s a s s  当 a  1时，劳斯表的 1 s 行元素全为零， 辅助方程为： 0 4 1 ( ) 2 A s  s   图 4-13 解得： 2 1 1,2 s   j 。 绘制系统参数根轨迹如图 4-13 所示。 例 4-11 若图 4-14 所示控制系统的闭环极点为 2  10 j (即 2  3.16 j ),试确定增益 K 和速度反馈系数 T；并对求出的 T 值画出根轨迹图；确定使系统稳定的 K 值范围 解：开环传递函数 ( 3) ( 1) ( )    s s K Ts G s D(s)  s  (3  KT)s  K 2 令 ( ) ( 2 10 )( 2 10 ) 4 14 2 D s  s   j s   j  s  s  图 4-14 比较系数；解出 K,T 得 K=14 T=-1/2 R C(s) (s) s(s  3) K Ts 1

此时有 K(%s+1)-K/2(s-2) s(s+3) 当K从0→∞变化时,应画0根轨迹 分离点 dd+3 d-2 整理得 d2-4d-6=0 解出 6 d2=5.16 与虚轴交点 K D(s)=S(+3)--(s-2)=s2+(3--)s ReDo)=o+K=0 Im[D(o)=(3--)o=0 联立解出 K=6 画出根轨迹如图4-15所示。 图4-15 图4-16 可以确定使系统稳定的K值范围为 例4-12已知单位反馈系统的闭环传递函数为 s2+as+16

·97· 此时有 ( 3) 1) 2 ( 1 ( )     s s K s G s = ( 3) / 2( 2)    s s K s 当 K 从0   变化时,应画 0 0根轨迹. 分离点 2 1 3 1 1     d d d 整理得 4 6 0 2 d  d   解出 d1=-1.16 d2=5.16 与虚轴交点 s K K s s K D s  s s       )  2 ( 2) (3 2 ( ) ( 3) 2 令            ) 0 2 Im[ ( )] (3 Re[ ( )] 0 2     K D j D j K 联立解出 K=6   6 画出根轨迹如图 4-15 所示。 图 4-15 图 4-16 可以确定使系统稳定的 K 值范围为 0<K<6 例 4-12 已知单位反馈系统的闭环传递函数为 16 ( ) 2     s as as s (a>0)