李洁《数字信号处理》2005③ 数字信号处理 Digital Signal processing 第三章离散 Fourier变换 主讲教师:李洁 影x去 由于数字信号处理 器只能处理离散信 傅氏 号,所以我们需要继 1 续将离散时间序列进 行频域离散化(即就 是要找到依赖于离散 时间变量到依赖于离 散频率变量之间的一 种映射关系)一这就 是DFT的作用。 图1.5各种域和各种变换的关系 李洁一《数字信号处理 2151 Digital Signal Processing _ Jie Li 2005
李洁《数字信号处理》2005® Digital Signal Processing__Jie Li 2005® 1 数字信号处理 第三章 离散Fourier变换 Digital Signal Processing 主讲教师：李洁 李洁 -- 《数字信号处理》 -- 第三章 离散Fourier Fourier变换 2 / 51 由于数字信号处理 器只能处理离散信 号，所以我们需要继 续将离散时间序列进 行频域离散化（即就 是要找到依赖于离散 时间变量到依赖于离 散频率变量之间的一 种映射关系）—这就 是 DFT 的作用
李洁《数字信号处理》2005③ 李洁一《数字信号处理 3l51 影x去 四种傅里叶变换形式的归纳 时间函数 频率函数 连续和非周期 非周期和连续 连续和周期(T。) 非周期和离散(a2 离散(T)和非周期 周期 和连续 仅此变换对适合于在数字信号处理器上实现 结论 总之,一个域的离散就必然造成另 个域的周期延拓,而一个域的非周期与 另一个域的连续是相对应的 李洁一《数字信号处理 4151 Digital Signal Processing _ Jie Li 2005
李洁《数字信号处理》2005® Digital Signal Processing__Jie Li 2005® 2 李洁 -- 《数字信号处理》 -- 第三章 离散Fourier Fourier变换 3 / 51 李洁 -- 《数字信号处理》 -- 第三章 离散Fourier Fourier变换 4 / 51 总之，一个域的离散就必然造成另 一个域的周期延拓，而一个域的非周期与 另一个域的连续是相对应的。 仅此变换对适合于在数字信号处理器上实现 结论
李洁《数字信号处理》2005③ 垂1x去 §31离散 Fourier变换的定义 定义 X(k)=DFx(m=∑x(n)k=01…,N-1 x(n)=IDFTIX() (kWxn=0,1, 其中WA 注意 (1)x(n)是有限长序列,且长度为M。与 Fourier变换和z变换不同,n仅定义在 [0M-1]的整数区间上; (2)变换核为Wx 将时域序列x(n)变换为频域序列X(k); (3)序列x(n)经离散 Fourier变换后得到k定义在[0,N-1]上的频域序列X(k),其中 N称为变换区间长度,NM (4)离散 Fourier变换使得时域序列与频域序列之间建立关系,使信号在微处理 器上的频域分析成为可能; (5)x(n)的离散 Fourier变换的结果与变换区间长度有关 5|51 x(m=R4幅频特性 例3.11x(m)=Rm,求x(m)的8 点和16点D 解:设变换区间N=8 点2 X(k)=∑xmW k=0,1 51 Digital Signal Processing _ Jie Li 2005
李洁《数字信号处理》2005® Digital Signal Processing__Jie Li 2005® 3 李洁 -- 《数字信号处理》 -- 第三章 离散Fourier Fourier变换 5 / 51 1. 定义 ( ) [ ( )] ( ) 0,1, , 1 1 0 = =∑ = − − = X k DFT x n x n W k N N n kn N L ( ) 0,1, , 1 1 ( ) [ ( )] 1 0 = = ∑ = − − = − X k W n N N x n IDFT X k N k kn N L 其中 N j N W e 2π − = §3.1 离散Fourier Fourier变换的定义 （1）x(n)是有限长序列，且长度为M。与Fourier Fourier变换和z变换不同，n仅定义在 [0,M-1]的整数区间上； （2）变换核为 ，将时域序列x(n)变换为频域序列X(k)； （3）序列x(n)经离散Fourier Fourier变换后得到k定义在[0,N-1]上的频域序列X(k)，其中 N称为变换区间长度，N≥M； （4）离散Fourier Fourier变换使得时域序列与频域序列之间建立关系，使信号在微处理 器上的频域分析成为可能； （5）x(n)的离散Fourier Fourier变换的结果与变换区间长度有关。 N j N W e 2π − = 注意 李洁 -- 《数字信号处理》 -- 第三章 离散Fourier Fourier变换 6 / 51 例 3.1.1 x(n)=R4(n),求x(n)的8 点和16点DFT。 解：设变换区间N=8 ∑ ∑= − = = = 3 0 8 7 2 0 8 ( ) ( ) n j kn n kn X k x n W e π ( ) ( ) (1 ) 1 (1 ) 8 8 8 2 2 2 8 2 4 8 2 j k j k j k j k j k j k j k j k e e e e e e e e π π π π π π π π − − − − − − ⋅ − − = − ⋅ − = ) 8 sin( ) 2 sin( 8 3 k k e j k π π − π = k = 0 , 1 , ... , 7
李洁《数字信号处理》2005③ ATAB用 MATLAB实现DFT function (xk= dft(xn, N) o Computes Discrete Fourier Transform ye xk=dft(xn, N) %e Xk= DFT coeff. array over 0<=k<=N-I Z xn=N-point finite-duration sequence n=[0: 1: N-1 row vector for n [0: 1: N-1: row vecor for k WN=exp(-j"2*pi/N): %Wn factor nk=n*k; creates a n by N matrix of nk values WNnk=WN. nk: DFT matrix Xk=xn wNnk: row vector for DF coefficients 习题开讲 习题1(6) 0<m<N 解(6)X(k)=∑ 。+1S。一m+m Digital Signal Processing _ Jie Li 2005
李洁《数字信号处理》2005® Digital Signal Processing__Jie Li 2005® 4 MATLAB 用MATLAB实现DFT function [Xk] = dft(xn,N) % Computes Discrete Fourier Transform % ----------------------------------- ----------------------------------- % [Xk] = dft(xn,N) % Xk = DFT coeff. array over 0 <= k <= N-1 % xn = N-point finite-duration sequence % N = Length of DFT % n = [0:1:N-1]; % row vector for n k = [0:1:N-1]; % row 1]; % row vecor for k WN = exp( WN = exp(-j*2*pi/N); % j*2*pi/N); % Wn factor nk = n'*k; % creates a N by N matrix of = n'*k; % creates a N by N matrix of nk values WNnk = WN .^ = WN .^ nk; % DFT matrix Xk = xn * WNnk; % row vector for DFT coefficients ; % row vector for DFT coefficients 习题1（6） 解 习题开讲
李洁《数字信号处理》2005③ 2.DFT和z变换的关系 Y(=)=ZT[x(n)]=2r(n)z Rr-<=kR X(k)=DFx(m)=∑x(n)Wkk=0.1,…,N-1 X(k)=X()|学0≤k≤N-1 说明DFT是变换在单位园上等间隔采样N个点的结果 X(k)=X(e") 0≤k≤N-1 说明DFT是序列 Fourier变换在0,2区间上等 间隔采样N个点的结果。 51 影x去 例:R(m)的 Fourier变换与64点DFT 128点DFT j Im[= 李洁一《数字信号处理 10151 Digital Signal Processing _ Jie Li 2005
李洁《数字信号处理》2005® Digital Signal Processing__Jie Li 2005® 5 李洁 -- 《数字信号处理》 -- 第三章 离散Fourier Fourier变换 9 / 51 ( ) ( ) 0 1 2 = ≤ ≤ − = X k X z j N k k N z e π − + ∞ =−∞ − = = ∑ x < < x n n X (z) ZT[x(n)] x(n)z R | z | R ( ) [ ( )] ( ) 0,1, , 1 1 0 = = ∑ = − − = X k DFT x n x n W k N N n kn N L ( ) = ( ) 2 0 ≤ ≤ −1 = X k X e k N k N j π ω ω 说明DFT是z变换在单位园上等间隔采样N个点的结果 说明DFT是序列Fourier Fourier变换在[0，2π]区间上等 间隔采样N个点的结果。 2. DFT和z变换的关系 李洁 -- 《数字信号处理》 -- 第三章 离散Fourier Fourier变换 10 / 51 例：R8(n)的Fourier Fourier变换与64点DFT、 128点DFT