PR1 图731 Hermite曲线构造条件 式7-3-1可以写成矢量形式 3 P(t=a3t3+ a2 t2+ al t+a0= t3 t2 t I a2 10 t∈[0,1](式7-3-2) 其中,P())y(z(,a3=a3xa3ya3z,a2 a2x a2y a2z al=lalx aly alz, a0=aox aoy a0z 口根据 Hermite曲线的已知条件,可得到如下四个方程组: P(0)=a0=P0 P(1)=a3+a2+a1+a0=P1 P(0=al=R0P(1)=3a3+2a2+al=R1 求解上述四个方程组得到:
◼ 式7-3-1可以写成矢量形式： a3 ◼ P(t)= a3t3+ a2 t2 + a1 t+ a0=[ t3 t2 t 1 ] a2 ◼ a1 ◼ a0 ， ◼ t∈[0,1] （式7-3-2） ◼ 其中，P(t)=[x(t) y(t) z(t)]，a3 =[a3x a3y a3z ]， a2 =[a2x a2y a2z ]， ◼ a1 =[a1x a1y a1z ]，a0 =[a0x a0y a0z ]， ◼ 根据Hermite曲线的已知条件，可得到如下四个方程组： ◼ P(0)= a0= P0 P(1)= a3 + a2 + a1 + a0 = P1 ◼ P’(0)= a1 = R0 P’(1)= 3a3 +2 a2 + a1 = R1 ◼ 求解上述四个方程组得到：
0=P0 1=R0 a2=-3P0+3P1-2R0-Rl a3=2P0-2P1+R0+R1 将结果带入到式7-3-2中,得到: P(t)=(2P0-2P1+RO+R1)t3+(-3PO+3P1-2R0-R1)t2+ROt+P 2t3-3t2+1)PO+(-2t3+3t2)P1+(t3-2t2+t)RO+(t3-t2)Rl 式7-3-3) 令:F1=213-3t2+1,F2=2t3+3t2,F3=t3-2t2+t,F4=t3-t2 则,式7-3-3可以表示为: P(t)=FI PO+ F2 Pl+ F3 RO+ F4 RI ,t∈[0,1 (式7-3-4) 式7-34就是 Hermite F线的几何形式,它表示Herm线上的点P(t)只 与P0,P1,RO,R 为 Hermite F线的几何 仅仅与参数t(t∈ 有关的函数, 称为 Hermite线的调和函数
◼ a0= P0 ◼ a1 = R0 ◼ a2 = -3 P0+3 P1-2 R0- R1 ◼ a3 = 2 P0-2 P1+ R0+ R1 ◼ 将结果带入到式7-3-2中，得到： ◼ P(t)=( 2 P0-2 P1+ R0+ R1) t3+ (-3 P0+3 P1-2 R0- R1) t2 + R0 t+ P0 ◼ =(2 t3-3 t2+1) P0+(-2 t3+3 t2) P1+( t3-2 t2+t) R0+( t3- t2) R1 （式7-3-3） ◼ 令：F1=2 t3-3 t2+1，F2=-2 t3+3 t2，F3= t3-2 t2+t，F4= t3- t2 ◼ 则，式7-3-3可以表示为： ◼ P(t)= F1 P0+ F2 P1+ F3 R0+ F4 R1 ，t∈[0,1] （式7-3-4） ◼ 式7-3-4就是Hermite曲线的几何形式，它表示Hermite曲线上的点P(t)只 与P0，P1，R0，R1四个值有关，称为Hermite曲线的几何系数。 F=[ F1，F2，F3，F4]表示四个仅仅与参数t（t∈[0,1]）有关的函数， 称为Hermite曲线的调和函数
Hermite线的矩阵表示: F=[F1,F2,F3,F4[2t3-3t2+1,-2t3+3t2,t3-2t2+t, t3-t2] =[t3t2t1]-33-2-1=TM 0010 1000 PO P(t)=FI PO+F2 P1+ F3 RO+F4 RI=[Fl, F2, F3,F4]P1 RO RI a令:B=[POP1ROR订T(转置矩阵) 所以 P(t=FB=-TMB ,t∈0,1 (式7-3-5)
◼ Hermite曲线的矩阵表示： ◼ F=[ F1，F2，F3，F4]=[ 2 t3-3 t2+1，-2 t3+3 t2，t3-2 t2+t， t3- t2] ◼ 2 -2 1 1 ◼ =[ t3 t2 t 1 ] -3 3 -2 -1 = T M ◼ 0 0 1 0 ◼ 1 0 0 0 ◼ 则 P0 ◼ P(t)= F1 P0+ F2 P1+ F3 R0+ F4 R1 =[ F1，F2，F3，F4] P1 ◼ R0 ◼ R1 ◼ 令：B=[ P0 P1 R0 R1]T (转置矩阵) ◼ 所以， ◼ P(t)=FB=TMB ，t∈[0,1] （式7-3-5）
73.2调和函数 在式7-3-4中, Hermite E线P(t)将四个已知条件的 PO,P1,R0,R1对曲线的作用通过四个仅与t有 关的函数表现出来。我们把这四个函数F=F1, F2,F3,F4][2t3-3t2+1,-t3+3t2,t3-2t2+t, t3-t2]称为调和函数。 Hermite l线调和函数的作 用是通过端点及其切矢量产生整个t值范围内的其 余各点的坐标,并且只与参数t有关,由此便于通 过修改边界条件来改变曲线的形状。如图7.32所 示,表示四条调和函数的曲线
7.3.2 调和函数 ◼ 在式7-3-4中，Hermite曲线P(t)将四个已知条件的 P0，P1，R0，R1对曲线的作用通过四个仅与t有 关的函数表现出来。 我们把这四个函数F=[ F1， F2，F3，F4]=[ 2 t3-3 t2+1，-2 t3+3 t2，t3-2 t2+t， t3- t2]称为调和函数。Hermite曲线调和函数的作 用是通过端点及其切矢量产生整个t值范围内的其 余各点的坐标，并且只与参数t有关，由此便于通 过修改边界条件来改变曲线的形状。如图7.3.2所 示，表示四条调和函数的曲线
FIs t 图732… Hermite I线的调和函数