7.2.2抛物线参数样条曲线 PiPi+lSP计+3Si+1S图72.1抛物线参数样条曲线 ■抛物线参数样条曲线完全通过给定的每一个型值 ,是一种插值样条曲线。其基本思想如下:给 定N个型值点P1,P2,…,PN,对于相邻三点Pi, Pi+1,Pi+2,以及P计+1,Pi+2,Pi+3,i=1,2,,N 2,反复用抛物线插值算法,然后再对此相邻的抛 物线曲线在公共区间Pi+1Pi+2部分,用权函数t与 1-t进行调配,使其混合为一条曲线S。如图72.1 N-2 S=∑(1-)Si+ts计+1]1,t∈[0,1(式7-2-1)
7.2.2 抛物线参数样条曲线 ◼ PiPi+1SiPi+3Si+1S图7.2.1 抛物线参数样条曲线 ◼ 抛物线参数样条曲线完全通过给定的每一个型值 点，是一种插值样条曲线。其基本思想如下：给 定N个型值点P1，P2，…，PN ，对于相邻三点Pi， Pi+1，Pi+2 ，以及Pi+1，Pi+2，Pi+3 ，i=1,2,…,N- 2，反复用抛物线插值算法，然后再对此相邻的抛 物线曲线在公共区间Pi+1Pi+2部分，用权函数t与 1-t进行调配，使其混合为一条曲线S。如图7.2.1 所示。 ◼ N-2 S= ∑ [(1-t).Si+t.Si+1] , t∈[0,1] (式7-2-1) ◼ i=1
Pa+\-, 图72.1…·抛物线参数样条曲毵 其中,Si是由Pi,Pi+1,Pi+2三点决定的抛 物线,Si+1是由Pi+1,Pi+2,Pi+3三点决 定的抛物线。混合后的曲线S在P+1到Pi+2 公共段内,是S的后半段与S+1的前半段加 权混合的结果。S曲线在公共段内具体的参 数方程可写为:
其中，Si 是由Pi，Pi+1，Pi+2三点决定的抛 物线， Si+1 是由Pi+1，Pi+2，Pi+3三点决 定的抛物线。混合后的曲线S在Pi+1到Pi+2 公共段内，是Si的后半段与Si+1的前半段加 权混合的结果。S曲线在公共段内具体的参 数方程可写为：
x(t=(1-t)(alxt12+ blxtl+ clx)+ t(a2xt22+ b2xt2+ 2x y(t=(1-t)(alyt12+ blytl+ cly)+ t(a2yt22+ b2y2+c2y)(式7-22 其中,t∈[00.5],t1-t2+05∈0.5,1,t [O,1=2t2 式7-2-2可以表示为: x(t2)=(1-2t2(alx(2+0.5)2+b1X(2+0.5)+ c1x)+2 t2(a2xt22+ b2xt2+ c2X y(t2)=(1-2t2)(aly(t2+0.5)2+bly(t2+0.5)cly)+2 2(a2yt22+b2yt2+c2y)(式7-2-3) ■显然,当t1=0.5,t2=0时,S=Si;当t1-1,t2=0.5时, S=Si+l
◼ x(t’)=(1-t’)(a1xt12+ b1xt1+ c1x)+ t’(a2xt22+ b2xt2+ c2x) ◼ y(t’)=(1- t’)(a1yt12+ b1yt1+ c1y)+ t’(a2yt22+ b2yt2+ c2y) (式7-2-2) ◼ 其中， t2∈[0,0.5]，t1= t2+0.5∈[0.5,1]，t’ ∈[0,1]=2 t2 ◼ 式7-2-2可以表示为： ◼ { ◼ x(t2)=(1- 2t2)(a1x (t2+0.5) 2+ b1x(t2+0.5)+ c1x)+ 2 t2 (a2xt22+ b2xt2+ c2x) ◼ y(t2)=(1- 2 t2)(a1y(t2+0.5)2+ b1y(t2+0.5)+ c1y)+ 2 t2 (a2yt22+ b2yt2+ c2y) (式7-2-3) ◼ 显然，当t1=0.5，t2=0时，S=Si; 当t1=1，t2=0.5时， S=Si+1;
用这种方法构造的自由曲线,在P2到PN-1各点左 右侧都能达到一阶导数连续,即Cl连续。曲线两 品点是S1段的前半段和SN2段的后半段。 t2∈[0,0.5按照(式72-3)取多个点可以求出公共区 间部分。通过迭代过程可以求出(式7-2-1)表示的 中间各段公共部分。生成的抛物线参数样条曲线 如图722所示。 Pe Py 图7.2.2·抛物线参数样条曲线 读者可以根据上述抛物线程序设计,写出抛物线参数样条曲线的程序。 读者可以根据上述抛物线程序设计,写出抛物线 参数样条曲线的程序
◼ 用这种方法构造的自由曲线，在P2到PN-1各点左、 右侧都能达到一阶导数连续，即C1连续。曲线两 端点是S1段的前半段和SN-2段的后半段。 t2∈[0,0.5]按照(式7-2-3)取多个点可以求出公共区 间部分。通过迭代过程可以求出(式7-2-1)表示的 中间各段公共部分。生成的抛物线参数样条曲线 如图7.2.2所示。 ◼ 读者可以根据上述抛物线程序设计，写出抛物线 参数样条曲线的程序
73 Hermite线 7.,3.1参数方程 条三次参数曲线方程的代数形式可以表示为 x(t)=aBxt3+a2xt2talxt+aox y(= a3yt3tazyt2tal ytt ao t∈「0,1 式7-3-1) z(t)=a3zt3+a2zt2+alzttaoz 为了用三次参数方程准确地描述一条自由曲线的 状和位置,必须给出上式中的12个系数 Hermite曲线是通过给出曲线段两个端点坐标PO和 P1以及两端点处的切矢量RO和R1来描述的。如图 73.1所示
7.3 Hermite曲线 ◼ 7.3.1 参数方程 ◼ 一条三次参数曲线方程的代数形式可以表示为： ◼ x(t)=a3xt3+a2xt2+a1xt+a0x ◼ y(t)= a3yt3+a2yt2+a1yt+a0y , t∈[0,1] （式7-3-1） ◼ z(t)= a3zt3+a2zt2+a1zt+a0z ◼ 为了用三次参数方程准确地描述一条自由曲线的 形状和位置，必须给出上式中的12个系数。 ◼ Hermite曲线是通过给出曲线段两个端点坐标P0和 P1以及两端点处的切矢量R0和R1来描述的。如图 7.3.1所示