术 1.插值 插值是函数逼近的重要方法。设给定函 数x)在区间ab中互异的n个点(称为型值 点)的值f(x),i=1,2,,n,基于这个列表 数据,寻找某一函数p(x)去逼近f(x)如果 要求p(x)在x处与f(x)相等,就称这样的函 数通近问题称为插值问题,称o(x)为f(x)的 插值函数。也就是说,(x)在n个插值点x 与f(xi)相等,而在别处就用去Q(x近似代
术。 1．插值 插值是函数逼近的重要方法。设给定函 数f(x)在区间[a,b]中互异的n个点（称为型值 点）的值 (xi)，i=1,2,…,n，基于这个列表 数据，寻找某一函数(x)去逼近 (x)。如果 要求(x)在xi处与 (xi)相等，就称这样的函 数逼近问题称为插值问题，称(x)为 (x)的 插值函数。也就是说，(x)在n个插值点xi 与 (xi)相等，而在别处就用去(x)近似代
替f(x)。求给定型值点之间曲线上的 点称为曲线的插值 在曲线和曲面中最常用的是线性插 值和抛物线插值。 1)线性插值r 假设给定函数f(x两个不同点x1和x2的 值,y1=f(x1),八。线型插值是用过 这两个点的直线熟v=max+b来近似代替 函数y=f(x)。如图所示
替 (x)。求给定型值点之间曲线上的 点称为曲线的插值。 在曲线和曲面中最常用的是线性插 值和抛物线插值。 （1）线性插值 假设给定函数 (x)在两个不同点x1和x2的 值，y1= (x1)，y2= (x2)。线型插值是用过 这两个点的直线段y=(x)=ax+b来近似代替 函数y= (x)。如图7.1所示。 y=f(x) y=(x) y x1 x x 2 y1 y2 图7.1.1 线性插值
q(x)=yl+(xx1)(点斜式) 例如,已知fx)=x,x1=523,y1=7.232, x2=524,y2=7239,求5237。 用过两点的直线段来代替函数f(x)。线性插值函数 (72397.232) (524-52.3) p(x)=7232+ (x-52.3) 7239-7.232) 52.4-52 p(52.37)=7.232+ 52.37-52.3)=7.2369
(x2-x1) (x)= y1+ (x-x1) (点斜式) 例如，已知f(x)=x ，x1=52.3，y1=7.232， x2=52.4，y2=7.239，求52.37 。 用过两点的直线段来代替函数 (x) 。线性插值函数 (7.239-7.232) (52.4-52.3) (x)= 7.232+ (x-52.3) (7.239-7.232) (52.4-52.3) (52.37)= 7.232+ (52.37-52.3) =7.2369
(2)抛物线插值 设已知函数f(x)上三个互异点x1,x2,×3的函 数值,分别为yl,y2y3,要求构造一个抛物 线函数:0(x)=ax2+bx+c,使q(x)在三个型 值点上满足条件:q(xi)=f(xi),i=1,2,3。通 过联立方程组,求出abc,即可以得到抛物 线函数o(x)的插值函数。如图71.2所是
（2）抛物线插值 设已知函数 (x)上三个互异点x1, x2,x3的函 数值，分别为y1, y2,y3，要求构造一个抛物 线函数：(x)=ax2+bx+c，使(x)在三个型 值点上满足条件：(xi)= (xi)，i=1,2,3。通 过联立方程组，求出a,b,c，即可以得到抛物 线函数(x)的插值函数。如图7.1.2所是。 y=f(x) y=(x) y x1 x x3 y1 y2 图7.1.2 抛物线插值 y3 x2
2.逼近 由于要求插值函数通过每个型值点,这使得构 造插值函数相当困难。另外,由于过多的型值点 也会有误差,没有必要寻找一个插值函数来通过 所有的型值点。因此,在实际应用中往往选择 个次数较低的函数,在某种意义上最佳逼近这些 型值点。最常用的逼近方法就是最小二乘法。 假设已知一组型值点(xiyi),i=0,1,2,,n,要 求构造一个m(m<n-1)次的多项式yF(x)逼近这 些型值点,满足条件:y0=F(x0),yn=F(xn)并且使 各点偏差的平方和最小
2．逼近 由于要求插值函数通过每个型值点，这使得构 造插值函数相当困难。另外，由于过多的型值点 也会有误差，没有必要寻找一个插值函数来通过 所有的型值点。因此，在实际应用中往往选择一 个次数较低的函数，在某种意义上最佳逼近这些 型值点。最常用的逼近方法就是最小二乘法。 假设已知一组型值点（xi,yi），i=0,1,2,…,n，要 求构造一个m（m<n-1）次的多项式y=F(x) 逼近这 些型值点，满足条件：y0=F(x0), yn=F(xn),并且使 各点偏差的平方和最小