第5卷第1期 智能系统学报 Vol.5 No.1 2010年2月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Feh.2010 doi:10.3969/j.issn.16734785.2010.01.003 不确定隶属函数T-S模糊控制器设计与稳定分析 李东升，邵山2，陈军1，魏晨，段海滨1，邹杰3 (1.北京航空航天大学飞行器控制一体化技术国防科技重点实验室，北京100191；2.沈阳飞机设计研究所飞行控 制部，过宁沈阳110035；3.洛阳电光设备研究所火力控制技术国防科技重点实验室，河南洛阳471009) 摘要：针对许多非线性系统存在的结构不确定和难以用精确数学模型表达等问题，在研究基本Takagi-Sugeno(T S)模糊模型的基础上，通过增加一个隶属函数自由变量，利用线性矩阵不等式(LⅫ)设计了一个使得闭环系统渐进 稳定的状态反馈控制器，并给出稳定条件.所得到的条件充分利用了前件变量隶属函数的结构信息和后件局部子系 统之间的相互关系，降低了常规TS模糊系统的稳定性条件的保守性和求解难度.通过仿真实例验证了该方法的可 行性和有效性. 关键词：T-S模糊模型；模糊控制器；隶属函数；线性矩阵不等式(LMI);不确定隶属度 中图分类号：TP273.4文献标识码：A文章编号：16734785(2010)01001707 Design and stability analysis of a fuzzy controller with uncertain degrees of membership LI Dong-sheng',SHAO Shan2,CHEN Jun',WEI Chen',DUAN Hai-bin',ZOU Jie3 (1.National Key Laboratory of Science and Technology on Holistic Flight Control,Beihang University,Beijing 100191,China;2.Depart- ment of Flight Control,Shenyang Aircraft Design and Research Institute,Shenyang 110035,China;3.Key Laboratory of National Defense Science and Technology on Fire Control Technology,Luoyang Institute of Electro-Optical Equipment,Luoyang 471009,China) Abstract:Many nonlinear systems are so uncertain that they are difficult to be described accurately with mathemati- cal models.Following an analysis of the basic Takagi-Sugeno (T-S)fuzzy model,by adding a free variable in the membership function,we were able to design a state feedback controller using linear matrix inequalities (LMI). The controller made the closed-loop system tend to an asymptotic stability.Stable conditions made full use of rela- tionships between constructive information about prior states and the consequences of actions in local subsystems. The proposed method reduced the complexity of descriptions of the conditions leading to stability in conventional T- S fuzzy models and also reduced complexity when solving related problems.Experimental results indicated that the proposed approach is feasible and effective. Keywords:Takagi-Sugeno(T-S)fuzzy model;fuzzy controller;membership function;linear matrix inequality (LMI);uncertain grades of membership 近年来，Takagi--Sugeno(T-S)模糊控制方法引起 和方法分析和设计模糊控制系统。 了学者的广泛关注.T-S模糊模型是一种通过模糊 早期的T-S模糊系统的稳定性分析是采用二次 规则给出非线性系统的局部线性模型，然后用隶属 李亚普洛夫函数V(t)=x(t)Px(t),P为正定矩阵 度函数将这些线性模型整合起来表达整个非线性系 最初，Tanaka和他的合作者们通过离线地确定任意时 统.文献[1-2]中证明了T-S模糊系统可以以任意精 刻所能产生作用的最大规则数以及解析地考虑各个 度逼近非线性系统，然后可以利用线性系统的理论 模糊子系统之间的相互关系，应用二次李亚普洛夫函 数在文献[3]中给出了TS模糊系统稳定的充分条 收稿日期：2009-10-16. 件.它要求所有的子系统有一个使系统局部稳定的公 基金项目：国家自然科学基金资助项目(60474499)；航空科学基金 重点资助项目(2008ZC01006)；北京科技新星计划资助项 共的对称正定矩阵，但该条件没有考虑各个子系统之 目(2007A017);总装重点实验室基金资助项目 (9140C4602010802). 间的相互关系，是相当保守的.如果系统比较复杂，所 通信作者：李东升.E-mail:shengdonglic@163.com 要描述的子系统比较多，就很难找到一个满足条件的
18- 智能系统学报 第5卷 公共矩阵.在文献[3]的基础上，Kim等人在文献[4] x(t)=[x(t)2(t)…xn(t)]T是系统的状态向 中通过引进自由变量矩阵，将各个子系统相互关系表 量，u∈R是系统的控制输入，0是未知参数，中：(x) 示为由子系统的系数矩阵组成的单独矩阵，然后将这 (i=1,…,n)是有界函数 个矩阵引入到线性矩阵不等式中，从而获得了放宽的 控制目的是设计一个鲁棒状态反馈控制器，使 稳定性充分条件.接着，Fang等人注意到在文献[4] 得上述闭环系统渐进稳定， 中关于规则之间隶属函数的乘积是二次的，而后在文 1.2系统建模与反馈控制器设计 献[5]中利用同一规则下隶属度函数为1的特点，将 首先将上述非线性系统用T-S模糊模型来逼 二次变为三次，同时引入更多的变量矩阵，得到了比 近.考虑由IF-THEN规则描述的T-S模糊系统，该 文献[4]更为放松的条件 模型的第i条规则为 上面的方法没有考虑隶属度函数和系统状态之 规则i:如果f(x(t))是M(i=1,2),…, 间的关系，由于隶属度函数往往依赖于某些精确的 fn(x(t)是M(in=1,2),则 系统状态：因此各个子系统在整个系统的权重也是 x(t)=Ax(t)+B:u(t). (2) 实时依赖于系统状态，但这些结论并没有充分考虑 式中：i=1,…,p,p=2",f（x(t)=中0，…， 到隶属函数信息，得到的结果自然是保守的.针对以 上不足，文献[6]中将隶属函数的具体信息考虑进 fn(x(t))=中0，M是f(x(t)的最小值，M是 (x()的最大值，…，M是f(x(t))的最小值， 来，得到了较好的结果.然后，文献[7]通过增加额 外的矩阵变量，得到了更好的结果. M是f(x(t))的最大值； 然而，实际中大多数系统是含有参数不确定的， rau+fimi血 012 din 在处理稳定性与鲁棒性的焦点问题中，高度的模型 L21 a22 +f2min a2n A 非线性使得分析非常困难.文献[8]将模糊模型与 模糊控制器采用了不相同的前件变量，其中，前件变 量中含有不确定参数的变量，由于前件变量的不确 12 定性，可以将参数的不确定性体现到隶属函数的不 a22 +f2min A 确定性上.文献[8]得到的结论有很好的鲁棒性，但 是还是有很大的保守性.文献[9]将文献[8]的结论 推广到离散系统。 12 本文在文献[8]的基础上，通过增加一个隶属 a21 022+f2m 函数自由变量，并利用线性矩阵不等式(linear ma- A trix inequalities,LMI)设计了一个使得非线性系统 渐进稳定的状态反馈控制器，并对其稳定性进行了 aal an2 理论分析和仿真验证. 0 1问题描述以及系统建模 B,=B2=·= B 1.1问题描述 考虑下面的含有不确定参数的非线性系统： 式中：f和fm.分别是f(x(t))的最小值与最大值 E=Ax+Bu+0·(x). (1) (i=1,2,…,n),M是在第i条模糊规则下f(x(t)) 式中： 的值(i=1,2,…,n,j=1,2,…,p) T11 12 din 07 规则1为当所有前件变量取下限值时的情况. 2 22 0 有1个取上限值：规则2为当第1个前件变量取上 ,B= 限值.其他均为下限值时的情况：规则3为当第2个 0n2 1 前件变量取上限值，其他均取下限值时的情况；以此 [x1中：(x)7 类推，规则2+n为当最后一个前件变量取上限值， 其他均取下限值时的情况.有2个取上限值：规则 x2中2(x) (x) n+3为前2个取最大，后面均取最小时的情况.以此 Lxn中n(x) 类推有3个取上限值：规则n+3+×(-1少.为 2
第1期 李东升，等：不确定隶属函数TS模糊控制器设计与稳定分析 ·19 前3个取最大，后面均取最小时的情况…最后，所 w(g(x(e))×…×h(gn(x(t) 有都取上限值. 应用单点模糊化、乘积推理、中心加权解模糊化 (uwr81(x(t))×…Xhw(gn(x(e)) 的推理方法，可得动态模糊系统的全局模糊系统模 (7) 型为 则整个模糊控制系统的形式为 0=左a(0)ar(0+Ba(e).(3) t)=2a(0)(a()+ 式中：立u,(()=1,,(x()∈[0,1，并且 B,(月m(()G(）= 对所有i有 w:(x(t))= 含名ax0间aao. (8) f(x(t)）×…×ugf(x(t)) 式中：Hg=A:+BG 含仙(》x…xs(e) 2不确定参数与不确定隶属度的关系 (4) 通过一个具体的实例说明不确定参数是怎么体 以上前件变量的隶属函数表达式为 现到隶属函数上的， (f(t)))=h(())+h 考虑1个球在横梁上运动的系统1o,系统用下 fimax -fimin 面的形式表示： u(fi(x(t)))=1-m(fi(x(t))), 1(t)=x2(t), 4g(x(e)=-ix(O）+i (t)B(x1 (t)x4(t)2+gsin(x3(t))), f2mt -f2min 3(t)=x4(t), f (x(t)))=1-m(f2 (x(t))), 4(t)=u(t) 在上述非线性系统中，B代表该系统的不确定 u(f.(x(t)))=-(x())+f 参数.球与横梁系统可以用4个T-S模糊规则来表 fnmm一∫fmia 示.其中第i个规则可以用下面的形式来表述： n(f (x(t)))=1-um(f.(x(t)) 规则i:如果f(x(t))是M(x(t)是M,则 其中i=1,2,…p. (t)=Ax(t)+B:u(t). (9) 根据上式，可以知道非线性模型是基于参数不 式中： 确定的，而参数不确定全部出现在隶属函数的表达 f(x(t)=k4(t)2, 式中，也就是说参数不确定转变成了隶属函数 o:(x(t))的不确定， ((t))=-k.sin(()) x3(t) 由于要将不确定参数转变为不确定的隶属函 则动态系统描述为 数，模糊模型的前件与模糊控制器的前件采取不一 致[8]的形式，并且模糊控制器与模糊模型采用相同 d=召x()A()+B,a().(10) 数量的规则. 式中：x(t)=[x,(t)x2(t)x3(t)x4()], 模糊控制器用下面的形式表示： 1(t）∈[x1mia,x1mr]=[-0.35,0.35], 规则j:如果 x2(t)∈[x2min,x2m]=[-1,1]; g(x(t)是N,…,gn(x(t))是， (5) 01 0 0 那么 0 -gf2min 0 A1= u(t)=Gx(t), 0 0 0 1 4(=m(x()Gr(). 0 0 0 (6) Γ0 1 0 07 式中：名m(x()=1,m(x()e[0,1,并且对于 0 A2= 所有有 0 0 0 1 m(x(t)）= 0 0
·20 智能系统学报 第5卷 0 1 0 0 定理1如果存在对称矩阵Q、Y,满足下面 0 -gf2min 0 的线性矩阵不等式，则所设计的模糊控制器(5)使 A3= 0 0 0 得模糊系统(2)能够渐进稳定， 0 0 0 0 pa-Ym>0,p2-Y猫>0， 1 0 07 p"Q+p"Qy+p"-(Y +Ya +Y)>0, 0 一f2mas 0 p"Q+pQy +p"e (Ywg+Ym +Yi)>0, 0 0 0 PiQi +pey +p (YY +Y')>0, 。00 0 0- piQa +pQy +p-(Y +Y +Y)>0, 「07 p"Q pQy +pQ (Yug +Yu+Y)>0, B1=B2=B3=B4= pQu p"Qy+pe (Ywg Yu +Yg)>0, 0 piQa +pQy +pe-(Y+Y+Yi)>0, L1J p2:+p2g+p2a-(Y+Y+Y)>0. 选择fmin=-1,fm=1,fm=0.6fimm=1.其中：fimi 式中： 是(x(t))的最小值fi是f(x(t))的最大值； p=pap=Pap≤%≤p, ω：(x(t)= (f(x(t)))xu(f(x(t))) pQ +p:Q:+prQ:+pQg +p:Q +pQa- (Y+Y西+Ym+Y+Y西+)>0， (x)）×s(x(o)） p"Qy +p"Os p"Q:p"Qy p"Qu+prQa mG(x()）=-fx(O）+f=, （Y+Y西+Ym+Y+Y西+Y)>O, fimax fimin p"Qy p"Q p"Q:p"Qy pQ p"Q- wf(x()）=1-u(f(x(t)), (Y+Y画+Ya+Y+Y西+Y)>O, g(xe)=-6x()）+h= p"Qy p"Q;p"Q:pfQy p"Q.p"Q: f2max -f2min (Y+Y西+Ya+Y+Y西+Y)>0, (f (x(t)))=1-pm(f (x(t))) 可以看出，参数不确定性全部在隶属函数中，参 p"Qg p"Or p"Ox pfQy p"Os prQn 数不确定性就转变为隶属函数的不确定性， (Y+Y西+Ya+Y+Y+y)>0, [Yu Yi2…Yp7 3主要结果 Y2a1Y2a… Yip ≥0， 3.1新结论 LYa Yi…Yp 本文的结论是对文献[8]结论的改进.整体思 i=1,2,…,p 路与文献[8]是一致的，但是所得到的线性矩阵不 证明考虑下面的Lyapunov函数V=x(t)T 等式与文献[8]所得到的线性矩阵不等式相比，降 Px(t),其中P是对称正定矩阵. 低了条件的保守性.该方法扩充了矩阵的调参范围. V=x(t)Px(t)+x(t)"Px(t)= 文献[3-7]中提到的模糊模型与控制器都采用 相同的前件变量，但是由于本文中隶属函数都是不 含含enr(a0r(o 确定的，如果模糊模型与控制器还采用相同的前件 式中： 变量，将不能够处理这类不确定隶属函数的控制器 =-(HP +PH;), m(x(t))=p:(x(t))@(x(t)), 的设计，因此，在本文中，模糊模型与控制器采用不 同的前件变量。 0<&==8》 ①1m 本文的结论在以前的基础上，通过增加一个隶 属函数自由变量，放宽了参数的范围.由此得到以下 p(r(t))≤max ax(mi(x(t)) w,(x(t)) ）=pai=m=<0. @imin 定理 因此
第1期 李东升，等：不确定隶属函数TS模糊控制器设计与稳定分析 ·21· 0=-含年aor0Q,w. →A(Asp,+月名sap0,）- Pi=napa nnpa. (Y+Y)≥0 则 →店(n0,+p.0,）-(,+g)≥0， (11) 含2含(w07p.04到r(0- 结合式(11)，可以得到第2个不等式.同理可以得 2 出第3个不等式，因此可以得到 p≤-么ir(a0'y(or- (p2g十npa2er()】<0. 2 含京++g)+ 亦即 2 (Y+Yg+Y是+Yg+Y写+阳)]= x(t) -(存后名A0(w,0mw 02x(t) 2 L①x(t)J [Yia Y g… Y]Y@x(t)] 含名含an0.+n0,+np.0）- Y2a Y2n w2x(t) 41 艺套op0心： LYa Y … 几0x(t) mapiey+nupuea napaOn +nupuQa). 当满足定理中的线性矩阵不等式时，结合定理 -z(t)"Yz(t)=-x(t) W2 02 x(t)= 中的不等式，有 Puei-Yu >0 L@, -x(t)Px(t). →2p0.-a）>0 因此V<0,这就证明了定理1中的结论. =ap0.-y。>0 3.2与文献[8]结论的比较 文献[8]得到的线性矩阵不等式为 式中：i=1,2,…Pk=1,2.并且 (pQ -X>0,p-Xa>0, 2 ap,0,+p,2.-Y-w)≥0 p0+p0n-(X+X）>0, p0+p2n-（X+X)>0, →2sp0,+p,2.-。-r)≥0 p2g+p“0-(Xg+X)>0, →2gwo0+ng- p0+p2元-(Xg+Xa)>0. 「X1…X] 名，.(。+g）≥0 式中： :::>0. -含gwa0,*n,-,+g0 LX4…Xn」 当把Y矩阵选取为下列特殊情况下时，本文所得 22 到的稳定性条件与文献[8]得到的条件是一致的. →AAwp0,+ 「Ym=X,Y尚=X到，Y球=X, 含玄wn0.-,+)a0 Y=X,Y西=X,X=X 令1≤i<j<l≤p得到