第4卷第4期 智能系统学报 Vol.4 No.4 2009年8月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Aug.2009 doi:10.3969/i.issn.1673-4785.2009.04.002 SIS0 Mamdan i模糊系统作为函数逼近器的必要条件 孙富春，杨晋，刘华平 (清华大学智能技术与系统国家重点实验室，北京100084) 摘要模糊系统已被证明是通用逼近器，但实现高精度通常需要大量规则.模糊系统满足给定精度的必要条件能 指导最优系统的构造，如输入输出模糊集、模糊规则的选取.研究了单输入单输出(SISO)Mamdani模糊系统在给定 逼近精度下作为函数逼近器的必要条件.由于通用型SIS0adni模糊系统在划分子区间单调，所以模糊系统的最 优配置是输入域的划分数至少为系统输出的单调性变化次数.当模糊系统满足给定逼近精度时，通过分析目标函数 的局部特性，基于目标函数的极点，建立了SIS0 amdanmi模糊系统的必要条件.更重要的是证明了现有的必要条件 仅仅是该文结论的一种特例.最后，使用数值实例来验证该文的结论，分析模糊系统作为函数逼近器的优劣. 关键词：模糊系统：必要条件：模糊规则：逼近精度 中图分类号：TP18文献标识码：：A文章编号：：1673-4785(2009)04-028807 Preconditions for SISO Mamdani fuzzy systems to perform as function approximators SUN Fu-chun,YANG Jin,LIU Hua-ping (State Key Laboratory of Intelligent Technology and System,Tsinghua University,Beiing 100084,China) Abstract:It has been proven that fuzzy systems are universal approximators.However,a large number of rules are usually needed for high accuracy.Knowledge of conditions necessary for a fuzzy system to have a given level of ac- curacy can provide guidance for design of an optimal system,such as selection of optimal input/output fuzzy sets and fuzzy rules.The necessary conditions for a single-input single-output(SISO))Mamdani fuzzy system to operate as a function approximator subject to a given precision were discussed.Since the general SISO Mamdani fuzzy sys- tem is monotonic at subintervals,its optimal configuration is when the number of division points is not less than the number of times its monotonicity changes.Thus by analyzing the local characteristics of the object function under the fuzzy system,necessary conditions for a SISO Mamdani fuzzy systems were obtained in accordance with the ex- trema of the object function.Furthermore,it was shown that the necessary conditions found in prior documents are only a special case of those described here.Finally,simulation examples were given to verify our conclusions and analyze the performance as well as the limitations of a fuzzy system as a function approximator. Keywords::fuzzy systems;necessary conditions;fuzzy rules;approximation accuracy 自1965年Zadch”提出模糊集合的概念以来，， 统主要有两大类：Mamdani模糊模型与Takagi--Suge 模糊理论及其应用技术得到了迅猛的发展.特别是 no(T-S))模糊模型.2类模型的主要区别是Mamdani 模糊系统具有直观、有效地表示非线性系统的优势， 模型的后件是单点模糊集，而TS模糊模型的后件 使得模糊理论在控制领域得到了大规模的应用，并 是线性函数.在许多应用中，涉及的模糊系统都可视 掀起了新的一轮研究热潮.目前，广泛的应用模糊系 为基于模糊规则的函数逼近器.近年来，有很多学者 对此展开了广泛而深入的研究，证明了多类模糊系 收稿日期：：2009-01-01· 基金项：国家自然科学基金资助项目(9071602L,60621062) 统是通用逼近器.还有学者建立了一些模糊系统作 通信作者：杨晋.Eail:yangjino6@mas.tsinghuaedu.cn. 为函数逼近器的充分条件和必要条件.而研究模糊
SISO Mamdani模糊系统作为函数逼近器的必要条件 统主要有两大类: Mamdani模糊模型与Takagi-Sugeno(T-S) 模糊模型.2类模型的主要区别是 Mamdani 模型的后件是单点模糊集,而 TS模糊模型的后件 是线性函数.在许多应用中,涉及的模糊系统都可视 为基于模糊规则的函数逼近器.近年来,有很多学者 对此展开了广泛而深入的研究,证明了多类模糊系 统是通用逼近器.还有学者建立了一些模糊系统作 为函数逼近器的充分条件和必要条件.而研究模糊 摘 要:模糊系统已被证明是通用逼近器,但实现高精度通常需要大量规则.模糊系统满足给定精度的必要条件能 指导最优系统的构造,如输入输出模糊集、模糊规则的选取.研究了单输入单输出(SISO) Mamdani模糊系统在给定 逼近精度下作为函数逼近器的必要条件.由于通用型 SISO Mamdani模糊系统在划分子区间单调,所以模糊系统的最 优配置是输入域的划分数至少为系统输出的单调性变化次数.当模糊系统满足给定逼近精度时,通过分析目标函数 的局部特性,基于目标函数的极点,建立了SISO Mamdanmi模糊系统的必要条件.更重要的是证明了现有的必要条件 仅仅是该文结论的一种特例.最后,使用数值实例来验证该文的结论,分析模糊系统作为函数逼近器的优劣. Preconditions for SISO Mamdani fuzzy systems to perform as function approximators Abstract:It has been proven that fuzzy systems are universal approximators. However,a large number of rules are usually needed for high accuracy. Knowledge of conditions necessary for a fuzzy system to have a given level of accuracy can provide guidance for design of an optimal system,such as selection of optimal input/output fuzzy sets and fuzzy rules. The necessary conditions for a single-input single-output(SISO) Mamdani fuzzy system to operate as a function approximator subject to a given precision were discussed. Since the general SISO Mamdani fuzzy system is monotonic at subintervals, its optimal configuration is when the number of division points is not less than the number of times its monotonicity changes. Thus by analyzing the local characteristics of the object function under the fuzzy system, necessary conditions for a SISO Mamdani fuzzy systems were obtained in accordance with the extrema of the object function. Furthermore, it was shown that the necessary conditions found in prior documents are only a special case of those described here. Finally, simulation examples were given to verify our conclusions and analyze the performance as well as the limitations of a fuzzy system as a function approximator. 孙富春,杨 晋,刘华平 (清华大学智能技术与系统国家重点实验室,北京100084) 第4卷第4期 2009年8月 SUN Fu-chun,YANG Jin,LIU Hua-ping (State Key Laboratory of Intelligent Technology and System,Tsinghua University,Beiing 100084,China) 自1965年Zadch"提出模糊集合的概念以来, 模糊理论及其应用技术得到了迅猛的发展.特别是 模糊系统具有直观、有效地表示非线性系统的优势, 使得模糊理论在控制领域得到了大规模的应用,并 掀起了新的一轮研究热潮.目前,广泛的应用模糊系 doi: 10.3969/j.issn.1673-4785.2009.04.002 CAAI Transactions on Intelligent Systems 智 能 系 统 学 报 关键词: 模糊系统;必要条件;模糊规则;逼近精度 Keywords: 通信作者: 杨 晋.E-mail: yangjin06@ mails.tsinghua.edu.cn. fuzzy systems; necessary conditions; fuzzy rules; approximation accuracy Vol.4 No.4 Aug.2009 中图分类号: TP18 文献标识码: A 文章编号: 1673-4785(2009) 04-0288-07 收稿日期: 2009-01-01 基金项目: 国家自然科学基金资助项目(90716021,60621062)
第4期 孙富春，等：SIS0 Mamdani模糊系统作为函数逼近器的必要条件 ·289· 系统满足给定精度的必要条件更符合实际需求，它 充分条件.这样不仅减少了计算，还避免了2步法中 为模糊系统的最优设计提供指导原则，为模糊系统 多项式函数一致逼近期望函数时所引入的误差，从 的广泛应用提供理论支持 而显著改进了模糊系统充分条件的性能.2007年， 相关工作 文献[11]考虑期望函数的局部特性，给出了SIS0 1 TS模糊系统充分条件的动态构造方法，进一步优化 模糊控制系统性能的优劣关键在于模糊系统逼 了模糊系统的充分条件.纵规这些方法，虽然模糊系 近期望控制的逼近程度.因此，研究模糊控制的首要 统的充分条件不断改进，但代价是不断增加计算量 问题是研究模糊系统的逼近性[2] 充分条件给出了构造简洁模糊系统的途径.但 有关模糊系统通用逼近性的第一个重要结果由 存在许多局限性，如2步法引入二次误差势必影响 王立新提出，他采用Stone-Weierstrass定理，证明了 其优越性.此外，在构造实际系统中，充分条件所需 采用高斯隶属度函数、乘积推理和中心平均解模糊 的一致逼近目标函数的多项式函数和目标函数的导 法的一类模糊系统是万能逼近器3].紧接着，许多 数信息都是很难得到的.那么，是否存在更优的满足 学者从不同方面证明多类模糊系统是通用函数逼近 逼近精度的模糊系统呢？最优模糊系统具备哪些特 器45.但这些研究主要集中在“存在性问题”，即给 性呢？答案就在模糊系统的必要条件中，模糊系统 定一个紧集上的连续函数，存在一模糊系统能以任 的必要条件就是模糊系统实现逼近精度的最优配置 意精度一致逼近该函数.结合这些文献的推导发现： (最少模糊规则数).目前这方面的研究很少 给定待逼近函数，随着逼近精度的提高，模糊系统需 文献[12]根据通用型SIS0 Mamdani模糊系统在划 要更多的模糊规则才能实现逼近精度.特别是在高 分子区间单调，证明模糊系统作为通用函数逼近器 维空间，还存在“维数灾”的问题.模糊系统规模越 的必要条件是：模糊系统实现一致逼近所需规则数 大，需要的存储空间和计算量就越多.这势必给模糊 与期望函数的极点相关，而与函数的具体形式无关 系统的设计和使用带来很大困难， 基于类似思想，文献[13-14]给出了TS模糊系统和 意识到这一点，如何构造使用尽可能少的模糊 MISO Mamdani模糊系统在给定隶属度函数下的必 规则来实现逼近精度成为模糊逼近的一个研究热点 要条件.经过综合分析发现：这些必要条件的成立仅 和难点.因此，有学者采用数值方法裁减冗余规则， 限于逼近精度趋于零；当给定逼近精度时，这些结论 如正交变换6、树搜索]等.为了给出构造最优模 不再成立.而在实际应用中，设计系统的目的是设计 糊系统的指导原则，许多学者对模糊系统的充分条 一模糊系统，使之以给定精度逼近期望函数.为此， 件和必要条件进行了深入研究，模糊系统逼近的充 Wang]从数据对提取模糊规则时，采用几何工具 分条件是指：对于一个给定的紧集上的连续函数，怎 给出了模糊系统实现给定逼近精度的最小系统配置 样设计隶属度函数以及需要多少条模糊规则，模糊 的动态构造方法.这种方法虽然首次研究了逼近精 系统才能实现给定的逼近精度.这方面的第一个重 度给定的情况，但他是基于数据对的，不能保证模物 要结论是Yig在1994年给出的[8].其核心思想是 系统的整体逼近性，也不能分析模糊系统的逼近性 采用2步法：第1步是利用多项式一致逼近紧集上 因此，研究模糊系统满足给定逼近精度的必要 的连续实函数：第2步是使用模糊系统逼近多项式 条件更具有理论意义和应用价值.本文研究了通用 函数.在模糊系统逼近多项式函数时，对多项式进行 型SISO Mamdani模糊系统在给定逼近精度下的必 二项式展开，推导了模糊系统实现逼近精度所需要 要条件.因为通用型SIS0 Mamdani模糊系统在划分 的模糊规则数，即模糊系统逼近的充分条件.基于同 子区间是单调的，所以模糊系统的最优配置应该具 样的思想，Yig得出了T-S模糊系统的充分条 有以下特点：输入域的划分点个数最少为模糊系统 件9).同样采用2步法，文献[10]在模糊系统逼近 输出单调性的变化次数.然后通过分析模糊系统输 多项式函数时，利用多项式函数的泰勒级数，分别推 出和目标函数的特性，建立了通用型SIS0 Mamdani 导了模糊系统的充分条件的明晰表达式，并证明该 模糊系统的必要条件.这个必要条件不仅给出了模 方法要优于Yg的结论.使用泰勒级数还有一个优 糊系统输人域划分点的选择原则，还能指导输入模 点，就是当期望函数可导时，可避开2步法，直接对 糊集隶属度函数的设计.同时，本文证明了 期望函数进行泰勒级数展开，就可得到模糊系统的 文献[12]中的结果是本文结论的一种特例.最后
290. 智能系统学报 第4卷 通过数值算例验证了本文结论的正确性和分析模糊 代x),ε是给定逼近精度.那么总是存在式(3)定义 系统作为函数逼近器的优劣。 的，且系统输出F(x)满足 IF(x)-f(x)‖m≤e (4) 2 SIS0 Mamdani模糊系统的配置和 的模糊系统必须具备必要条件，即模糊系统的必要 问题描述 条件.其中无穷范数‖*Ⅱ的定义为 2.1通用型SIS0 Mamdani模糊系统的配置 ‖g(x)‖m=supsevl g(x)I. 定待逼近函数f(x)是定义在U=[a,b]上的连 续实函数.假设模糊系统的输入域U被划分为N个 3通用型SIS0 Mamdani模糊系统的 子区间(S:是区间端点)： 必要条件和比较分析 a=S0<S1<S2<…<Sw=b, 那么模糊系统有N+1个完备的、标准的和一致的 3.1通用型SIS0 Mamdani模糊系统的必要条件 模糊集来模糊化输入真值6]，如图1所示.每个输 为进一步推导方便，首先给出以下引理， 入模糊集A:(0≤i≤N)对应的隶属度函数u:(x)定 引理12)】式(3)定义的模糊系统在输入域是 义如下： 连续函数， rl(x),x∈[S1,a1): 引理2式(3)定义的函数F(x)在子区间 1, x∈[a-lB+1); [S:-1,S],0<i≤N上是单调的， 4,(x)= D:(x),x∈(B1,S+1): (1) 证明在任意划分子区间[S:-1,S:]上，由于只 有山-1(x)和山：(x)取值非零，因此模糊系统只激活 0, x∈U/[S-1,S+1). 2条模糊规则： 式中：，(x)是连续单调递增的，在x=S-1时，I(x) Ri IF x is Ai-1,THEN y is Bi, 为0，在x=a-i时，l,(x)为1；D(x)是连续单调递 Ri:IF x is A:,THEN y is B:, 减的，在x=B时，D(x)为1，在x=S:+1时，D:(x) 那么模糊系统的输出为 为0. F()==（)yl+,(x)y= 成员 w-1(x)+4(x) 1.0(x 4(x(x4(x) Aur (x) y1+p(x)（y-y-). (5) 式中： SoB SS:aS.Ba S.B,aS B S SS p(x)= (x) -1()+4,()= 图1输入模糊集隶属度函数的定义 .0 4:(x）=0; Fig.1 Illustrative definitions of input fuzzy sets 1 (6) 通用型SIS0 Mamdani模糊系统的N+1条模糊 1+1()4,()'4:(x)≠0. 规则定义如下： 当x从S-增加到S,时，-1(x)从1单调减小 R::IF x is A:,THEN y is Bi,i=0,1,,N.(2) 到0，而4(x)从0单调增加到1.所以式(6)定义的 式中：A是输入模糊集；B,是单点输出模糊集，它的 p(x)从0单调增加到1. 隶属度函数在y=y:(任意常值)处取值1，其他地方 因此，根据式(5)，当y:>y:-1时，模糊系统的输 都为0. 出F(x)在[S:-1,S:]上单调增加；否则，F(x)单调递 本文的模糊系统采用乘积推理和中心平均解模 减，即F(x)在子区间[S1,S,](0<i≤W)是单调的. 糊法「.那么系统的输出为 注：如果y:=y:-1,那么模糊系统在划分子区间 ∑u,(x)y 上满足F(x)=y. F(x)= 2A() (3) 根据引理2给出的通用型SIS0 Mamdani模糊 系统输出的单调特性，模糊系统的最优配置应该是： 2.2模糊系统必要条件的描述 模糊系统输入区间的划分点个数至少为模糊系统输 记定义在紧集U=[a,b]上的连续实函数为 出单调性的变化次数.这个结论可以通过以下方式
第4期 孙富春，等：SIS0 Mamdani模糊系统作为函数逼近器的必要条件 ·291· 验证 内存在划分点.证毕。 对模糊系统输出F(x)的每个单调区间[a, 定理1说明当目标函数在一点的函数值比其2 α.]，不妨假设是单调递增的，根据扇区非线性设计 个临近点的函数值同时大或者小2倍精度时，模糊 2条模糊规则： 系统在这一点附近必须具有划分点才能实现逼近精 F(a.）-F(x) 度.但是定理1还存在一定的局限性，因为要比较连 (）=Fa)-Fai=F(a,),() 续函数任意3点的函数值关系是不可能的.为此，引 F(x)-F(a,) ()）=F武a)-Fa=F(a,） (8) 入如下引理解决此问题，它确保了只使用很有限的 信息就足够刻画连续函数. 即可使模糊系统的输出为期望输出. 引理3连续实函数f(x)在区间[T1,T2]CU 根据引理2，可得到以下结论： 上具有如下2个等价关系 定理1假设式(3)定义的模糊系统F(x)在输 1)存在T1≤x1<x2<x3≤T2,使得 入域U上能以给定精度ε逼近期望函数(x).如果 f(x1)-fx2)>2e,fx2）-f八3）<-28， 存在x1<x2<3∈U,使得f(x1)-f(x)>28, 或者 fx2)-fx3)<-2e,或者f(x1)-f(x2)<-2e, f(x1)-fx2)<-2e,f(x2)-fx)>2e; f八x2)-八3)>2e,那么模糊系统在[x1,3]内存在划 2)存在T1≤5：<52<53≤T2(5:是f八x)在[T1, 分点 T2]上的极点)，使得 证明为了不失一般性，假设存在x1<x2< f(5)-f52)>2ef(52)-f5)<-2e, x3∈U使得 或者 f(x)-fx2）>2e, f(51)-f52)<-2ef(52)-f53)>2e. f八x2)-fx3)<-28. (9) 证明2)→1)显然成立.仅需证明1)2)： 首先使用反证法证明：在[x1,x2]上存在子区间 不妨假设存在T1≤x<x2≤T2,使得 [x,x2]使得模糊系统的输出F(x)单调递减。 f八x1)-f八x2)>2e, 假设使模糊系统输出F(x)单调递减的子区间 f(x2)-fx3)<-2e. (15) [x1,x2]不存在，那么F(x)在区间[x1,2]上单调 首先找到f(x)定义域中包含x2点的单调区间 递增，故可得 [B2,B],B:是极点.不失一般性，假设f(x)在[B2, F(x)≤F(2). (10) B]上严格单调递增.由x2在[B2,B]内，知 根据定理的假设前提：模糊系统F(x)能以给定 fB2)≤fx2). (16) 精度ε逼近目标函数，知 如果B2≤x1,则由x1也在单调区间知f(x1)≤ -E≤f(x)-F(x1)≤e, (11) f八x2),与f(x1)-f(x2)>2ε相矛盾.因此，可得 -E≤f(x2)-F(x2)≤B (12) x1<B2≤x2<x3 (17) 将式(12)减式(11)得 结合式(17)，得： fx)-f2)≤2e+F(x1)-F(x2).(13) f1)-fB2)>2e, 然后，将式(13)减去式(10)，得 fB2）-f(x3)<2e (18) f(x1)-f代x2)≤2e (14) 令专2=B2,同理可得专1和专3.证毕。 由于式(14)与式(9)相矛盾，故在[x1,x2]上存 根据引理3的等价条件，定理1可重写如下： 在子区间[x1,x2],使得模糊系统的输出F(x)单调 定理2假设式(3)定义的模糊系统F(x)在输 递减. 入域U上能以给定精度ε逼近期望函数f(x).如果 同理可证在[x2,x3]上存在子区间[x2,x3],使 存在专1<2<53∈U(5:是期望函数的极点)，使得 得模糊系统的输出F(x)单调递增。 f(51)-f(52)>2e, 综上所述，在区间[x1,x3]上存在2个子区间 f八52)-f八53)>-2e, [x1,xa]和[x2,x3]分别使得模糊系统的输出F(x) 或者 单调递减和递增.根据引理2，模糊系统在划分子区 f八5)-f八52)<-2e, 间单调.因此，模糊系统为实现逼近精度，在[x1,x3] f(52)-f53)>28
292 智能系统学报 第4卷 那么模糊系统在[e1,6]内存在划分点。 根据定理3，模糊系统输入域在每个极点处都 定理2指出了当存在模糊系统能以给定逼近精 存在划分点.即模糊系统所需的最少划分点个数等 度逼近期望函数时，目标函数在子区间所具有的特 于目标函数的极点个数，这正是Ying Hao的结论. 性.同时，这些特性是基于目标函数极点序列的，它 因此，Ying Hao的结论是本文结论在给定逼近精度 具有如下优势：1)只需要目标函数的极点信息和逼 趋于零时的一种特例. 近精度，假设前提很少；2)在实际应用中易于实现。 4数值算例 这将有力支撑模糊系统作为函数逼近器比传统逼近 器的优势， 这一节将使用数值算例来验证上述结论，并探 根据定理2即可建立通用型SIS0 Mamdani模 讨分析模糊系统的逼近性能。 糊系统满足给定逼近精度的必要条件， 算例1设计通用型Mamdani模糊系统一致逼 定理3（模糊系统的必要条件）为使式(3)定 近定义在U=[-3,3]上的连续实函数f(x)= 义的通用型SISO Mamdani模糊系统F(x)在输入域 sinx/x,逼近精度是E=0.2和8=0.02. U上能以给定逼近精度e逼近期望函数f(x),至少 很容易知道期望函数f(x)在x=0处存在一个 将模糊系统输入域划分为满足如下关系的N个子 极点，且f(0)=1.所以目标函数的极点集是专= 区间：在每个划分子区间[S,S+1](0≤i<N)上，不 {-3,0,3. 存在S:≤5<52<5≤S:+1(5:是期望函数在子区间 1)B=0.2 的极点)，使得 根据定理3，模糊系统在x=0处需要划分点， (x1)-f八2）>2e, 即至少需要3条规则才能实现逼近精度.而 fx2)-f代x3)<-2ε， 文献[8]建立的充分条件表明需要207条规则才能 或者 实现逼近精度，文献[10]建立的改进型充分条件也 f(1)-fx2)<-2e, 需要9条规则才能达到逼近精度.其主要原因是它 f(x2)-f八x3)>-2e, 们没有考虑隶属度函数和目标函数的特性，这也说 因此，模糊系统至少需要N+1条模糊规则. 明这些充分条件还有很大的改善空间. 证明通过定理2容易得证，这不再赘述， 2)8=0.02. 定理3给出的模糊系统必要条件需要的信息仅 根据定理3，模糊系统在x=0处需要划分点， 包含逼近精度和目标函数的极点.这既能有效保证 即至少需要3条规则才能实现逼近精度.而文献 模糊系统作为函数逼近器优于其他发展完备的传统 [8]建立的充分条件表明需要6843条规则才能实 函数逼近器，又可实际操作 现逼近精度，文献[10]建立的改进型充分条件也需 3.2 Mamdani模糊系统必要条件的比较分析 要25条规则才能达到逼近精度.因此，以前建立模 Ying Hao和他的合作者们针对模糊系统作为通 糊系统充分条件的方法还有很大的改进空间. 用函数逼近器给出了完美的必要条件，并且根据这些 算例2设计通用型Mamdani模糊系统一致逼 结论详细分析了模糊系统的逼近性能2-4.但是，这 近定义在U=[0,2π]上的连续实函数f(x)=sinx, 些结果只局限于逼近精度趋于零的情况.下面将说明 逼近精度是￡=0.3. Ying Hao的结论2是本文结论的一种特例， 因为 给定专={50=a,51,52,…,5m,5m+1=b}是目标 f八T/2)-f0)=1>2e=0.6, 函数f(x)在定义域U=[a,b]的极点集合.当给定 fπ/2)-f八π)=1>2ε=0.6， 逼近精度趋于零时，对于任意3个相邻极点5-1,5， f3π/2)-f(T）=-1<-28=-0.6, +1∈(1≤i≤m),都满足以下关系： f(3π/2)-f(2m)=-1<-2e=-0.6. f(5-1)-f5:)>28, 根据定理3，模糊系统为实现逼近精度，分别在x= f八5：)-f八5+1)<-2e, 0.5π和x=1.5π处存在划分点.如图2所示，将目 或者 标函数向上和向下平移逼近精度0.3，形成一个逼 f(5-1)-f八5)<-2e, 近通道(2条虚线内)，设计一个单调性变化2次（最 f(5:)-f(5+1)>2e. (19) 少)的模糊系统的输出，如图2中的点画线.因为他