第5卷第1期 智能系统学报 Vol.5 No.1 2010年2月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Feb.2010 doi:10.3969/i.issn.1673-4785.2010.01.007 基于集对分析的不确定性多属性决策模型与算法 赵克勤 (诸暨市联系数学研究所，浙江诸暨311811) 摘要：针对不确定性多属性决策问题，提出统计学中的样本特征参数均值和方差也是模糊数（区间数、三角模糊 数、梯形模糊数)特征参数的理论，并用联系数A+B脉表示“均值+方差”，再根据集对分析中的联系数理论计算“均 值+方差”的“模”，用这种“模”代表属性权重和属性值进行不确定性多属性决策，简便实用；利用“均值+方差”联 系数中的不同取值可以考察不确定性对排序的影响.应用实例表明该理论是有效和可行的. 关键词：不确定性；多属性决策；模糊数；联系数；集对分析 中图分类号：TP18文献标识码：A文章编号：16734785(2010)010041-10 Decision making algorithm based on set pair analysis for use when facing multiple uncertain attributes ZHAO Ke-qin Institute of Zhuji Connection Number,Zhuji 311811,China) Abstract:To help those making decisions when faced with multiple uncertainties,a theory was put forward that in statistics,the average and variance of characteristic parameters of a sample have the characteristic parameters of a fuzzy number.This includes interval number,triangular fuzzy number,and trapezoidal fuzzy number.Average variance was shown as a connection number A+Bi.The modular of average variance was then calculated accord- ing to connection number theory in set pair analysis.The module,representing the weight and value of attributes, can be employed to help make decisions when there are multiple uncertain attributes.The method is simple and practical.Taking various values of i,the effect of uncertainty on sorting can be determined.Practical examples were used to demonstrate the feasibility and effectiveness of the proposed theory. Keywords:uncertainty;multiple attribute decision making;fuzzy number;connection number;set pair analysis 多属性决策是科学技术及社会经济领域中相当 虽然各有特色而且有效，但另一方面，由于不同算法 广泛的一类决策问题.也是智能决策中的常见问题. 之间互有交集，也使得决策时难以适从；从科学研究 当属性权重与属性值都是确定的实数时，已有许多 的角度看，需要对不同的算法探讨其中共性的规律. 成熟的算法；当属性权重与属性值含有一定程度的因而讨探具有一定普适意义的不确定性多属性决策 不确定性时，相应的算法还在探讨之中.这些算法大 新算法仍显得十分重要，集对分析是站在确定性与 致可分为基于模糊集理论的算法和基于概率统计的 不确定性对立统一哲学角度建立起来的一种新的不 算法2大类，其中基于模糊集理论的算法又分为基 确定性系统理论1o21,近年来在不确定性多属性决 于区间数的多属性决策算法「12]、基于三角模糊数 策研究中也崭露头角.例如文献[13-14]把集对分析 的多属性决策算法34]、以及基于梯形模糊数的多 的同异反联系数用于区间数多属性决策；文献[15- 属性决策算法56这样3个子类，每个子类算法又分 17]把集对分析的二元联系数用于区间数多属性决 别结合地应用TOPSIS(technique for order preference 策；文献[18]把二元联系数用于三角模糊数多属性 by similarity to ideal solution)方法r、灰色理论[8] 决策等等.事实上，根据集对分析的不确定性系统理 AHP(analytic hierarchy process)法[9]等等.这些算法 论，可以把模糊集理论和概率统计理论在一定条件 下统一起来加以研究.基于这一理念，并在文献[15 收稿日期：20090601. 通信作者：赵克勤.E-mail:对zhaok@sohu.com, 18]的基础上，提出统计学中的样本特征参数“均
42 智能系统学报 第5卷 值”和“方差”也是模糊数（区间数、三角模糊数、梯 形模糊数)特征参数的观点，并用联系数A+Bi表示 (-)2 （为-x)2 “均值+方差”这种特征参数，再根据集对分析(st n-1 2 pair analysis,.简记为SPA)中的联系数理论把 (x-x)2+(xM-)2+(x-x) (5) “均值+方差”转换成D-U空间中的三角函数表达 式.在此基础上给出不确定性多属性决策的“主值 作为三角模糊数x=[x,x“,x]的特征参数是合理 模型”和“一般模型”，其中的“主值模型”仅涉及到 的.因为至少从统计学的样本意义上说明了三角模 “均值+方差”的“模”的计算，用这种“模”代表属 糊数的集中性（确定性）与离散性（不确定性）. 性权重和属性值进行不确定性多属性决策，得到了 1.3梯形模糊数的特征参数 与其他算法相同的结果，算法相对简便；“一般模 记R为实数域，称 型”则通过联系数中的不同取值考察不确定性对 x=[x,x",x",x"] (6) 方案排序稳定性的影响，从而为不确定性多属性决 是一个梯形模糊数，其中0<x<xM<x<x”∈R, 策问题给出了既便于实际应用也适合智能机处理的 且称x、x”为梯形模糊数的下确界和上确界，称区 间[x“,x]为梯形模糊数的中值区间. 一种统一算法。 显然，若把x、x“、x、x”看成是同一对象X的4 1均值和方差也是模糊数的特征参数 个观察值（忽略不计x、x“、x、x”出现的先后），那 么，这4个观测值的平均值 1.1区间数的特征参数 1 记R为实数域，称闭区间[x,x+]为区间数， x= 与=+++ (7) n 记为x=[x,x*],其中xeR,x∈R,x≤x*. 与方差 显然，若把xˉ、x*看成是同一对象X的2个观 察值（忽略不计x、x+出现的先后），那么，把这2 （-)2 （-x)2 个观测值的平均值 n-1 3 =1公两=2 (x+x） (1) (x-x)2+(xM-x)2+(xW-x)2+(x”-x) n 与方差 (8) 作为梯形模糊数x=[x,xM,x,x”]的特征参数是 ∑（-）2 2 合理的，因为至少从统计学的样本意义上说明了梯 n-1 形模糊数的集中性（确定性）与离散性（不确定性）. √(x-x)2+(x*-x) (2) 2均值和方差的集对分析 作为区间数x=[xˉ，x+]的特征参数是合理的.因 为至少从概率统计学的样本意义上1说明了区间 根据集对理论，均值x和方差s既然是反映同 数的集中性（确定性）与离散性（不确定性）· 一对象X的n(n≥2)个观察值的2个特征参数；因 1.2三角模糊数的特征参数 而可以看作是关于对象X的有联系的2个集合，并 记R为实数域，称 组成集对H=(x,s)其中的均值x又可以看作是关 =[x,] (3) 于对象X的n(n≥2)个观察值的相对确定性（严格 是一个三角模糊数，其中0<x<x“<x"∈R,且称 说是集中性)的测度，方差s是关于对象X的n(n≥ x、x分别为三角模糊数的下确界和上确界，x“为 2)个观察值相对不确定性（严格说是离散性）的测 三角模糊数的中值. 度.集对H=（(x,s)因此是一个确定-不确定集对，可 显然，若把x、x“x看成是同一对象X的3个 以用集对分析中的联系数A+B:表示均值x和方差 观察值（忽略不计x、x“、x出现的先后），那么，把 s的相互关系。 这3个观测值的平均值 定义1设x和s分别是同一对象X的n(n≥ 2)个观察值的平均值和方差，则称 (4) u(x,s)=A+Bi(A=x,B=s,i∈[-1,1])(9) 与方差 或
第1期 赵克勤：基于集对分析的不确定性多属性决策模型与算法 ·43 u(x,s)=x+si(i∈[-1,1]) (10) 0=arctan s (17) 中的u(x,s)为对象X的n个观察值的均值-方差联 系数，简称均值-方差联系数或直称联系数. 为均值-方差联系数u(x,s)在集对分析二维D-U空 均值-方差联系数u(,s)中的均值x和方差s 间中的幅角，称式(17)为均值-方差联系数u(x,s) 的相互作用则可以映射到基于集对分析的二维确 的幅角公式，记为argu(x,s). 定-不确定空间[(determination-ncertain,简称D-U 3均值-方差联系数的运算 空间)作进一步分析.如图1、2所示，其中的y轴表 示相对不确定性测度，x轴表示相对确定性测度. 3.1普通运算 由于均值-方差联系数u(x,s)在形式上就是集对 分析中的二元联系数A+Bi,因此其普通运算就是二 元联系数A+B的普通运算0，为此可以在不计不 0 确定性层次的条件下，对i的运算遵循以下规则： i=花=流=…=”，n=1,2,…,k.(18) 图1D-U空间 Fig.1 D-U space 据此可以使运算结果仍然为形为A+Bi或x+ s形式的联系数， 4=T+S 3.2加法运算 若山1(x1,51)=x1+51i,山2(x2,2)=x2+2i,则 山1(1,1)+山2(2,52）= (x1+2)+（s1+s2)i. (19) 图2H=(x,)在D-U空间上的映射 由(19)式易知2个均值-方差联系数u(x,s)的加法 Fig.2 The mapping of H=(,s)on the D-U space 运算满足交换律，也就是 由图2看出，均值-方差联系数u(x,s)中的x、s u1(x1,s1)+42（x2,2）= 在D-U空间中存在相互协同作用，其相互协同作用 2(2,52）)+41(1,s1). (20) 的空间映像是从原点O指向U的向量OU,该映像 3个或更多个均值-方差联系数相加的运算还 的大小即相互协同作用的大小，也就是向量OU的 满足加法结合律： “模”，记为 山1(x1,1)+山2(x2,2）+山3(x3,3）= r=|0U1=√e2+s (11) 41(,s1)+[山2（名，2）+4(，3)].(21)》 0表示均值-方差联系数u(x,s)经映射后得到的向 证明略. 量OU与x轴正向的夹角.由图2易知： 3.3n个均值-方差联系数的平均 x=rcos 0, (12) 记n个均值-方差联系数山1(x1,s1),山2(2，s2), y rsin 6. (13) …,4n(xn,sn)的平均均值-方差联系数为u(x,s)= 于是，有 元+，则有 u(x,s)=r(cos 0 isin 0). (14) u(,)=14(4)=1(4+)= n n 式(14)称为均值-方差联系数u(x,s)在集对分析二 维D-U空间中的三角函数表达式， L∑+n (22) n n台 为明确起见，以下给出均值-方差联系数u(x, 3.4乘法运算 s)的模以及幅角的定义， 设有均值-方差联系数山1（名1，s1)=x1+s1i, 定义2设有均值-方差联系数u(x,s),则称 山1(x2,52)=x2+2i,山1(x1,s1)与山2(x2,2)的乘积 r=√e+s (15) 为u(x,s),则 为均值-方差联系数u(x,s)在集对分析二维D-U空 u(x,s)=[41(x1,s1)][42(x2,2)]= 间中的模.称式(15)为u(x,s)求模公式，记为 +i+i+siszi. (23) r=|u(x,s)1. (16) 根据式(18)，可简化式(23)得 定义3设有均值-方差联系数u(x,s),则称 [u1(x1,s1）][山2(x2,s2)]=
44 智能系统学报 第5卷 (x1x2)+(x12+251+s1s2)i (24) 为Pu(k=1,2,…,m),权重0，与评价值P各为模 式(24)也称为均值-方差联系数乘法公式， 糊数（区间数、三角模糊数、梯形模糊数）或“均值+ 均值-方差联系数乘法与加法的混合运算满足： 方差”的特征参数，决策矩阵为P=(P)mxm,(k= 1)交换律： 1,2,…,m,t=1,2,…,n),假定属性Pa已经过规范 [山1(x1,1)][2(x2,S2)]= 化处理为越大越好型，规范化处理后的属性决策矩 [u2(x2,s2)][u1(1,s1)] (25) 阵为R=(Tu）mxa 2)结合律： 要求对m个方案中决策出最优方案，并对这些 [山1(x1,s1)][2(2,s2)][4(,3)]= 方案作出从优到劣的排序， [u1(,s1)]{[2(,2)][山(，3)]}.(26) 4.2决策模型 3)分配律： 4.2.1基本模型 [山(x1,s1)][2(x2,2)+山3(x3,s3)]= 设方案S(k=1,2,…,m)的各属性权重为0， [山1(x1,s1)][山2(x2,52)]+ 属性值为P（t=1,2,…,n),其综合评价结果为 [山1（元1，s1)][4(3,3)]. (27) M(S),则有 显然，根据上面相应的运算规则，易证式(25)、 (26)、(27)成立，证明略。 M(S)= (31) 3.5均值-方差联系数三角函数式的运算 式(31)称为不确定性多属性决策加权综合基本模 设 型，其值称为加权综合值，或简称基本值 u1(1,s1)=r1(co801+i8in0), 由基本值M(S)(k=1,2,,m)构成的矩阵： 42(x2,s2）=r2(c0s02+i8in02). M(S:)=[M(S)M(S2)M(S3)M(S:) 这时2个均值-方差联系数的乘法运算公式为 称为方案的加权综合基本值决策矩阵，有时也不加 山1（x1,51)山2(x2,52）= 区分地用M(S)表示，以下类同. r (cos 0 isin 0)r2 (Cos 02 isin 02)= 4.2.2一般综合模型 rr2[cos(01+02)+i8in(01+02)].(28) 把式(31)中的权重0，与属性值P.各自转换成 从而有 均值-方差联系数“(x,s)的三角函数表达式，即 1山1(1，s1)山2(2,52）1= 0,=Tm,(cos0。,+isin0）, |山1(x1,s1)11h2(2,52)1=T1T2, (29) arg[w1(x1,s1)2(x2,s2)]= Du =Tp (cos isin on ) 其中均值-方差联系数u(x,s)的模和幅角由式 arg[山1(x1,s1)]+arg[2(名，s2)].(30)） 也就是说：2个用三角函数表示的均值-方差联系数 (16)、(17)确定，则有 u(x,s)相乘，结果仍是形如x+si的均值-方差联系 数，且乘积的模等于这2个联系数模的乘积，乘积的 Ms）=.e(a,+8)+ (32) 辐角等于它们辐角的和. isin(0,.+0)]. 以上仅就本文涉及的均值-方差联系数u(x,s) 式(32)称为基于集对分析的不确定性多属性 运算作了介绍，进一步的运算可以参照文献[18]. 决策一般综合模型，其值称为SPA综合决策值，也 有关均值-方差联系数u(x,s)运算的统计学意义也 简称一般综合值.称式 将另文讨论. Tm'p[cos(0+0p）+isin(0,+0）](33) 为一般综合值的分量，M(S)为方案的综合一般值 4基于均值-方差联系数的不确定性 决策矩阵， 多属性决策模型与算法 4.2.3主值模型 4.1问题描述 当式(32)中的[cos(0。.+8,.）+isin(,+ 设有m个方案：S1,S2,…,Sm;每个方案各有n 0)]=1时，得 个属性：Q1,Q2,…,Q.,每个属性的权重0，(t=1,2, Ms)=5 (34) …,n)且∑0，=1，第k个方案第t个属性的评价值 称式(34)为基于集对分析的不确定性多属性
第1期 赵克勤：基于集对分析的不确定性多属性决策模型与算法 ·45 决策综合主值模型，简称综合主值决策模型或主值 3)利用均值-方差联系数模及幅角的计算公式 模型，也称为“模”模型；其值称为综合决策主值，也 把决策问题中的各属性权重与属性值改写成三角函 简称主值或模值.称'为综合主值的分量，M 数表达式 (S)为方案的综合主值决策矩阵或简称模矩阵. 4)利用基于集对分析的综合主值决策模型 4.2.4决策步骤 式(34)，计算各方案的综合主值，主值大的方案优 1)先把决策问题中给出的属性值作规范化处理， 先于主值小的方案. 当属性值P表示第k个方案在t个属性上的评 5)如果同一决策问题已有采用其他方法所得 价值是区间数，即P=[P,Pt](k=1,2,…,m) 结果，则把上面所得结果与其他方法所得结果相比 时，规范化公式为 较，完全一致时，可作出决策结论；不完全一致时，或 对于效益型属性值，经规范化后的区间数为 者需要考虑属性权重和属性值的不确定性对方案排 =[P,p店] 序稳定性的影响，则进入下一步. I max pi max pi 6)利用一般综合决策模型式(32)计算各决策 [x%],k=1,2,…,m (35) 方案的一般综合值时，建议其中的按比例取值原 对于成本型属性值，经规范化后的区间数为 理取值，计算公式为 co8(0+02） 「min Pk min p xp6= i=c0s(0,+0)+sim(0,.+0) (41) 有时也可以分别取i=-0.5,i=0,i=0.5等这些特 [x],k=1,2,…,m,Pa≠0. (36) 殊值，以考察由不确定性引起的一般综合值的变化 当属性值P,表示第k个方案在t个属性上的评 及对决策方案排序的影响. 价值是三角模糊数，即Pa=[p,p,p](k=1,2, …,m,t=1,2,…,n)时，规范化公式为 5应用举例 对于效益型属性值，经规范化后的三角模糊数为 5.1在区间数多属性决策中的应用 -小 例1考虑某所大学的5个学院(S1,S2,S3,S4, S5)的综合评估，假定采用教学、科研和服务3个属 [%,,0],k=1,2,…,m; (37) 性作为评估指标，各属性的权重和决策矩阵见表1， 对于成本型属性值，经规范化后的三角模糊数为 试做出综合评估和排序[21 「minpmin p min p购]= 表15个学院的区间数决策矩阵和属性权重 Table 1 Five colleges interval numbers decision matrix and [x,x数，x如]，k=1,2,…,m,p≠0.(38) attribute weight 当属性值P:表示第斥个方案在t个属性上的评 教学Q1 科研Q2 服务Q3 价值是梯形模糊数，即Pa=[p,P“,P如，P](k=1, 学院 01= 现2 03= 2,…,m,t=1,2,…,n)时，规范化公式为 [0.3350,0.3755][0.3009,0.3138][0.3194,0.3363] 「0.214.0.2201 [0.166,0.178] [0.184,0.190] 对于效益型属性值，经规范化后的梯形模糊数为 =,,心，= S2 [0.206,0.225] [0.220,0.229] [0.182.0.191] S3 [0.195,0.204] [0.192,0.198] [0.220,0.231] max p max pa'max pa'maxpl U [0.181,0.190] [0.195,0.205] [0.185,0.195 [xk,x,x0,x0],=1,2,…,m;(39) S [0.175,0.184] [0.193,0.201] [0.201,0.211] 对于成本型属性值，经规范化后的梯形模糊数为 解：步骤1)：先按综合主值决策模型式(34)处 min P min p min pi min pe 理如下： *pu= 「Ip，p，p，pk可 a)由于教学、科研和服务这3个属性都是越大 [x点，x,x0,x],k=1,2,…,m,P≠0.(40) 越好的效益型属性，且题给出的各属性值已作无量 2)计算规范化后的各属性权重和属性值的特 纲的规范化处理，所以可以直接应用式(1)和式(2) 征参数均值x和方差s,写成均值-方差联系数 计算权重区间数和决策矩阵中的各属性值区间数的 u(x,s)的形式 均值-方差联系数得表2