西安石油大学电子工程学院：《自动控制理论 Modern Control System》精品课程教学资源（重点难点与例题解析）第七章 线性离散系统的分析与校正

当单位斜坡输入时, e()=lim(-1)1 =lr 1+G(=)(二-1) (二-1)G(z)K2 式中K,=lim(2-1)G(=),称为速度误差系数。 当单位抛物线输入时, e(∞)=lim(二-1) (二+1) lim 1+G(x)2(z-1)3(x-1)2G(x)K 式中K lim(二-1)G(=),称为加速度误差系数。 和连续系统类似,离散系统可按G(二)有几个z=1的极点来确定系统的类型 6.最小拍采样系统的综合 0(s) 图7.4采样控制系统综合 如图7.4所示,离散控制系统的综合,就是确定满足一定性能指标的数字校正装置 D(=)。最小拍采样系统是从瞬态过程快速性加以考虑的。综合的目的是使系统在一定输 入信号作用下,其瞬态过程能在有限个采样周期(拍)内结束。综合的任务是要确定采 样控制器D()的脉冲传递函数,保证闭环系统的传递函数为 Φ()=φ+q2-+…+nnn为有限值 如图74所示的系统,校正装置的传递函数为 D(=) 1d(=) G0(=)1-d() 式中G0()=1-e()对于无稳态误差的最少拍系统的综合,因d()不同 最少拍系统的性能也就不同。因此可以选择适当的Φ(=),使系统对某种输入信号的稳态 误差为零

·6· T G0(s) T 当单位斜坡输入时， K z G z T z Tz G z e z z z 1 ( 1) ( ) lim 1 ( ) ( 1) 1 ( ) lim( 1) 1 2 1 *            式中 lim( 1) ( ) 1 1 z G z T K z     ，称为速度误差系数。 当单位抛物线输入时， a z z z G z K T z T z z G z e z 1 ( 1) ( ) lim 2( 1) ( 1) 1 ( ) 1 ( ) lim( 1) 2 2 1 3 2 1 *             式中 lim( 1) ( ) 1 2 1 2 z G z T K z a    ，称为加速度误差系数。 和连续系统类似，离散系统可按G(z) 有几个 z  1的极点来确定系统的类型。 6. 最小拍采样系统的综合 图 7.4 采样控制系统综合 如图 7.4 所示，离散控制系统的综合，就是确定满足一定性能指标的数字校正装置 D(z)。最小拍采样系统是从瞬态过程快速性加以考虑的。综合的目的是使系统在一定输 入信号作用下，其瞬态过程能在有限个采样周期（拍）内结束。综合的任务是要确定采 样控制器 D(z)的脉冲传递函数，保证闭环系统的传递函数为 z z z n n n ( ) 1 0 1        为有限值 如图 7.4 所示的系统，校正装置的传递函数为 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 0 z z G z D z      式中          ( ) 1 ( ) 0 G s s e G z z Ts 。对于无稳态误差的最少拍系统的综合，因(z)不同， 最少拍系统的性能也就不同。因此可以选择适当的(z)，使系统对某种输入信号的稳态 误差为零。 D(z) G(s) s e Ts 1 

难点及求解方法 1.Z变换及反变换 在进行Z变换时必须注意输入部分和输出部分均可以按开关方式传输信号,否则会 引起错误,Z的反变换可用G(=)进行部分分式展示,然后再进行Z反变换 2.校正网络的设计 当采样周期T较小时,可以用连续域的方法先设计连续系统,然后再离散化。连续 域的设计方法可参见第六章 3.W变换时的处理 为了简化计算,在分析系统稳定性时,W变换应该按下面方法进行 若特征方程按 1+GH(二)=0 形式给出,则 1+GH(=) 即先代入后展开 若特征方程按 的多项式表达的形式给出,则 1+(=) 0 1( q1()+q2(2)=(=) 用上述方法可以减少计算量。 三、基本要求 (1)掌握采样定理及采样系统与连续系统的区别与联系 (2)Z变换及反变换、二域稳定性、稳态误差分析方法,系统的响应求法 (3)离散域及连续一离散化设计方法。 φ例题解析 例71根据定义E*(s)=∑e(m7)em试求E(s)= 的z变换 (S+a)

·7· 二、难点及求解方法 1． Z 变换及反变换 在进行 Z 变换时必须注意输入部分和输出部分均可以按开关方式传输信号，否则会 引起错误， Z 的反变换可用 ( ) 1 G z z 进行部分分式展示，然后再进行 Z 反变换。 2. 校正网络的设计 当采样周期T 较小时，可以用连续域的方法先设计连续系统，然后再离散化。连续 域的设计方法可参见第六章。 3. W 变换时的处理 为了简化计算，在分析系统稳定性时，W 变换应该按下面方法进行。 若特征方程按 1 GH (z)  0 形式给出，则 1 ( ) | 0 1  1     W W z GH z 即先代入后展开。 若特征方程按 (z)  0 的多项式表达的形式给出，则 0 ( ) ( ) 1 1 1 1 2      W W z z z   ( ) ( ) ( ) 1 2  z  z   z 用上述方法可以减少计算量。 三、基本要求 （1）掌握采样定理及采样系统与连续系统的区别与联系； （2） Z 变换及反变换、 z 域稳定性、稳态误差分析方法，系统的响应求法； （3）离散域及连续—离散化设计方法。 例题解析 例 7-1 根据定义      0 * ( ) ( ) n nTs E s e nT e 试求 2 ( ) 1 ( ) s a E s   的 z 变换

解:本例是根据E(s)求z变换。求解过程如下 求e(1),得;e(1)=te- 求e*() e*()=∑e(m7)8(-m7),e(n7)=e()l 所以 ①求E*(s) E*(s)=∑e(mn)e"b=∑ nte·em ②求E(z) E()=E*(s,=EnTe -ant +2-m =e"=)+2(e2)2+…+me")"+…pr 令(ez)-1=y,则 E(y)=(1+2y+3y2+…+my1+…)yT=(y+y2+y3+…+y+…)yT 将y=(e“)代入上式,可得E(二)为 T(ea=- -(e" 例7-2试求E() 已的二变换。 解:求二变换的另一种方法是直接利用变换表。先将E(S)展为部分分式,然后求 每一部分分式项的z变换,并将它们组合在一起便可得E()。 ①将E(s)展成部分分式,则有 E(小)s1-e=(1-e) s2(s+1) sss+I

·8· 解：本例是根据 E(s) 求 z 变换。求解过程如下： ① 求e(t) ，得： at e t te  ( )  。 ② 求e * (t)     0 * ( ) ( ) n e t e nT δt  nT ，e(nT )  e(t) | tnT anT nTe   所以      0 * ( ) n anT e t nTe δ(t  nT ) 1 求 E * (s)      0 * ( ) ( ) n nTs E s e nT e =    n 0 anT nTe * nTs e  2 求 E(z) n n anT E z E s nTe z Inz T s     ( )  *( )    * 0 1  e z e z n e z T  ( aT ) 1  2( aT ) 2  ( aT ) n  令 e z y aT  1 ( ) ，则 E y y y ny yT y y y y yT n n ( ) (1 2 3 ) ( ) 2 1 2 3                     2 1 1 y Ty yT y y           将 1 ( )  y  e z aT 代入上式，可得 E(z)为   2 2 1 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) aT aT aT aT z e Tze e z T e z E z         例 7-2 试求 ( 1) 1 ( ) 2     s se E s s 的 z 变换。 解：求 z 变换的另一种方法是直接利用 z 变换表。先将 E(s) 展为部分分式，然后求 每一部分分式项的 z 变换，并将它们组合在一起便可得 E(z)。 ① 将 E(s) 展成部分分式，则有：                 1 1 1 1 (1 ) ( 1) 1 ( ) 2 2 s s s e s s e E s Ts Ts

+1)(s2 ②求每一部分分式项的z变换:得与(1-1+1)相应的变换 T 与 r2~+1)n相应的z变换为 所以 E()=(1 T 11-(T+l)e+(T-1+e-)z z2-(1+e)z+e 例7-3试用部分分式法,幂级数法和反变换公式法求函数E()= 0.8)(二-0.1) 的〓反变换 解一:用幂级数法求z反变换 用长除法将E()展为 1+09=-+0732+05852 0.9z+0.08 0.9z+008 0.9z-0.81+0.072 0.73-0.072 0.73-0.657x-1+0.0584 0.585z1-0.0584x-2 所以E()=1+0.9+073x2+0.5853+…,相应的脉冲序列为 *(1)=(1)+0.96(t-7)+0.736(1-27)+0.5856(-37)+ e*(1)代表的脉冲序列如图7-1所示。 相应采样时刻的e(1)值为 e(0)=1,e(T)=0.9,e(2T)=0.73,e(37)=0.585, 解二:将E(s)展开成部分分式求二反变换 为了能在Z变换表中得到相应的E(S)的形式,需将E(s)表示为如下形式:

·9· Ts e s s s s s s                      1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 ② 求 每 一 部 分 分 式 项 的 z 变 换 ： 得 与          1 1 1 1 2 s s s 相 应 的 z 变 换            T z e z z z z Tz ( 1) 1 2 ，与 Ts e s s s           1 1 1 1 2 相应的 z 变换为 1 2 ( 1) 1              z z e z z z z Tz T ， 所以                  T z e z z z z Tz E z z ( 1) 1 (1 ) 2 1 ( 1)( ) 1 1 ( 1) ( 1 ) 1 1 T T T T z z e T e T e z z e z zT                   T T T T z e z e T e T e z              (1 ) 1 ( 1) ( 1 ) 2 例 7-3 试用部分分式法，幂级数法和反变换公式法求函数 ( 0.8)( 0.1) ( ) 2    z z z E z 的 z 反变换。 解一： 用幂级数法求 z 反变换 用长除法将 E(z)展为  1 2 1 2 1 1 2 1 2 3 2 2 0.73 0.657 0.0584 0.585 0.0584 0.9 0.81 0.072 0.73 0.072 0.9 0.08 0.9 0.08 1 0.9 0.73 0.585 0.9 0.08                           z z z z z z z z z z z z z z z z 所以 E(z) 1 0.9z 1  0.73z 2  0.585z 3 ，相应的脉冲序列为 e*(t)   (t)  0.9 (t T)  0.73 (t  2T)  0.585 (t  3T)  e * (t) 代表的脉冲序列如图 7-1 所示。 相应采样时刻的e(t) 值为： e(0)  1,e(T)  0.9,e(2T)  0.73,e(3T)  0.585, 解二：将 E(s) 展开成部分分式求 z 反变换 为了能在 Z 变换表中得到相应的 E(s) 的形式，需将 E(s) 表示为如下形式：

8/71/7 (-0.8)(二-0.1)z-0.8-0.1 所以 8 2 0.87 e(nT)==(0.8)"-2(0.1)”,n=0,2,… 采样时刻的值为 e(0)=1,e(7)=0.9,e(27)=0.73,e(37)=0.585 0rz4丌8 所以 e*(t)=∑e(n7)o(t-n7) ∑[。(0.8)-01)(t-n7) =6(1)+0.98(t-7)+0.736(1-27)+0.5856(1-37)+ 解三:用反变换公式法求z反变换 由c(m=2)”=∑(极点:处的留数知,它有两个极点 0.8和z2=0.1,所以 e(nT)=[E(x)2="在1=0.8处的留数]HE()=在z1=0.1处的留数 其中 61=im(2-08()2=lm(=-08)2-08X-“m (0.8) c2=lim(z-0.1)E()2=-(0.1) 所以 n1)= (0.1)",n=0,1,2 采样时刻的e()值为

·10· 图 7-1 0.1 1/ 7 0.8 8/ 7 ( 0.8)( 0.1) ( )        z z z z z z E z 所以 0.1 * 7 1 0.8 * 7 8 ( )     z z z z E z 得： (0.1) , 0,1,2, 7 1 (0.8) 7 8 e(nT)   n  n n 采样时刻的值为 e(0) 1,e(T)  0.9,e(2T)  0.73,e(3T)  0.585, 所以                   ( ) 0.9 ( ) 0.73 ( 2 ) 0.585 ( 3 ) (0.1) ] ( ) 7 1 (0.8) 7 8 [ *( ) ( ) ( ) 0 0 t t T t T t T t nT e t e nT t nT n n n n      解三: 用反变换公式法求 z 反变换 由       i i n n e nT E(z)z dz [E(z)z z ] 2 j 1 ( ) 1 1极点 处的留数  知，它有两个极点 z1 ＝0.8 和 z2＝0.1，所以 [ ] [ ] ( ) [ ( ) 0.8 ] [ ( ) 0.1 ] 1 2 1 1 1 1 c c e nT E z z z E z z z n n       在 处的留数 ＋  在 处的留数 其中 n z n n z n z z z z z z z c z E z z z (0.8) 7 8 0.1 * ( 0.8)( 0.1) lim ( 0.8) ( ) lim ( 0.8) 0.8 1 1 2 0.8 1 0.8 1                n n z c z E z z (0.1) 7 1 lim( 0.1) ( ) 1 0.1 2       所以 (0.1) , 0,1,2, 7 1 (0.8) 7 8 e(nT)   n  n n 采样时刻的e(t) 值为