东南大学：《路面工程》课程教学资源（教案讲义）第六章 挡土墙设计（1/2）

背法线成δ角,且偏于阻止棱体下滑的方向;R的方向与破裂面法线成ψ角,且 偏于阻止棱体下滑的方向。取挡土墙长度为1m计算,作用于棱体上的平衡力三 角形abc可得: =sn(90-9G=sm+ (b+p) (6-1) 式中:中=φ+a+6 因 G=YAB· BCsin(a+0)2 而 AB=H coS(a BC Ab=Hsec a B) sin(909-6-B) cos(8+B) G=yH sec2 cos(a-B)sib(e+ a) cos(8+B) 将式(6-2)代入式(6-1),得 ea=yh 2 cos(a-B)sib(6+a) cos(8+o) (6-3) cos(8+B) sin(0+y) 令A 则Ea=yA sib(b+a)cos(6+φ (6-4) cos(8+B)sin(8+y) 当参数ψ、φ、δ、a、β固定时,Ea随破裂面的位置而变化,即Ea是破裂 角θ的函数。为求最大土压力Ea,首先要求对应于最大土压力时的破裂角。 取dE/dθ=0,得 1Ar coS(8+p)cos(8+ B)cos(0+a)+sin(0+ B)sin( 0+a) sin(e+y) cos"(6+B) sin(+a). sin(+ y)sin( +9)+ cos(+ v)cos(8+9)1=0 cos(6+ B) sin(6+y) 整理化简后得 Ptg 0 + 0 +R=O Q±√Q2-4PR (6-5) 2P 式中:P= cos a sinβcos(中一φ)- -sancosψcos(a-B) Q=cos(a-β)cos(中十φ)-cos(中一φ)cos(a+8 R= cousin中cos(a-B)- sin a cos(中-φ)cosB 将式(6-5)求得的0值代入式(6-4),即可求得最大主动土压力Ea值。最大主动 土压力Ea也可用式(66)表示。 E,=-yi-k (KN) cos acos(a+8)1+ in(φ+d)sin(φ-B) cos(a+o)cos(a-B) 式中:y—墙后填土的容重,kN/m3 φ—填土的内摩擦角,°

6 背法线成δ角，且偏于阻止棱体下滑的方向；R 的方向与破裂面法线成角，且 偏于阻止棱体下滑的方向。取挡土墙长度为 1m 计算，作用于棱体上的平衡力三 角形 abc 可得： Ea = G G − − + = + + sin( ) sin( ) cos( ) sin( ) 90         (6-1) 式中：ψ＝＋＋δ 因 G＝γAB·BCsin(α＋θ）/2 而 AB＝Hsec BC＝ sin( ) sin( ) sec cos( ) cos( ) 90 90 − + − − = − +          AB H G＝ 1 2 2 2         H sib sec cos( ) ( ) cos( ) − + + （6－2） 将式(6-2)代入式(6-1)，得 E H sib a = − + + + + 1 2 2 2             sec cos( ) ( ) cos( ) cos( ) sin( ) （6－3） 令 A＝ 1 2 2 2 H sec  cos( − ) 则 E sib a = + + + +          A ( ) cos( ) cos( ) sin( ) （6－4） 当参数ψ、、δ、α、β固定时，Ea 随破裂面的位置而变化，即 Ea 是破裂 角θ的函数。为求最大土压力 Ea，首先要求对应于最大土压力时的破裂角θ。 取 dE/dθ=0，得                              A[ cos( ) sin( ) cos( ) cos( ) sin( )sin( ) cos ( ) sin( ) cos( ) sin( )sin( ) cos( ) cos( ) sin ( ) ] + +  + + + + + + − + +  + + + + + + = 2 2 0 整理化简后得 Ptg2θ＋Qtgθ＋R＝0 tg Q Q PR P  = −  − 2 4 2 （6－5） 式中：P＝cosαsinβcos(ψ－）－sincosψcos（α－β） Q=cos(α－β)cos（ψ＋）－cos(ψ－）cos（α＋δ） R＝cossinψcos(α－β）－sinαcos（ψ－）cosβ 将式(6-5)求得的θ值代入式(6-4)，即可求得最大主动土压力 Ea 值。最大主动 土压力 Ea 也可用式(6-6)表示。 E H K H a = a − + + + − + −       1 2 1 2 1 2 2 2 2 2                (KN) = cos ( ) cos cos( ) sin( )sin( ) cos( ) cos( ) （6－6） 式中：γ——墙后填土的容重，kN/m3 ； ——填土的内摩擦角，；

δ——墙背与填土间的摩擦角,°; β—墙后填土表面的倾斜角,°; 墙背倾斜角,°,俯斜墙背α为正,仰斜墙背α为负; H挡土墙高度 主动土压力系数 土压力的水平和垂直分力为 Ex=Acos( a+8) E、=Easn(a+6) (6-7) 2.破裂角交于路基面(图6-14 1)破裂面交于荷载中部(图6-14b) mmmm mm非 IIIIIIIIII b 图6-14破裂面交于路基面 a)交于荷载内侧;b)交于荷载中部;c)交于荷载外侧 破裂棱体的断面面积S为 S=(a+h(g0+tga)--(b+atga )a [(a+H)ig8+ Higa-b-ano (a+H+2h0(a+H)g6 (b+d)ho+H(H+2a+2ho)tga 令A (a+H+hoa+h) 2 (6-8) Bo=ab+(6+d)h,-H(H+2a+ 2ho ) 则S=Aotg0-Bo 因此,破裂棱体的重量为 G=Y (Aotge-Bo) 将G代入式(6-1)得 E。=y(Atg0-B0) n(+g) 令dEd0=0 即 [(A, 0 -Bo) sin(0+sin(0+o)-cos(0+o)cos(8+o) n(6+q) sin(6+o)cos 6

7 δ——墙背与填土间的摩擦角，； β——墙后填土表面的倾斜角，； α——墙背倾斜角，，俯斜墙背α为正，仰斜墙背α为负； H——挡土墙高度，m； Ka——主动土压力系数。 土压力的水平和垂直分力为： Ex＝Eacos(α＋δ） Ey＝Easin(α＋δ） （6－7） 2．破裂角交于路基面(图 6-14) 1)破裂面交于荷载中部(图 6-14b) 图 6-14 破裂面交于路基面 a)交于荷载内侧；b)交于荷载中部；c)交于荷载外侧 破裂棱体的断面面积 S 为   S a H tg tg b atg a a H tg Htg b a h a H h a H tg ab b d h H H a h tg = + + − + + + + − − = + + + − − + + + + 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )        令 A = B 0 0 1 2 2 1 2 1 2 2 2 0 0 0 ( )( ) ( ) ( ) a H h a H ab b d h H H a h tg + + + = + + − + +  （6－8） 则 S＝A0 tgθ－B0 因此，破裂棱体的重量为 G＝γ（A0 tgθ－B0） 将 G 代入式(6-1)得 Ea = − B + +      ( cos( ) sin( ) A0 tgθ 0） （6－9） 令 dEa /dθ＝0 即 γ[( θ ) sin( )sin( ) cos( ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) cos ] A0 tg − − + + − + + + + + + = B A 0 0 2 0               

经整理化简,得 1g 0+2tgotg0-ctgpigo-(ctgg+tg)=0 故g=-g9±1(cg+g9+2q)=0 (6-10) 将求得的0值代入式(6-9),即可求得主动土压力Ea 必须指出,式(6-9)和式(6-10)具有普遍意义。因为无论破裂面交于荷载中部、 荷载的内侧或外侧,破裂棱体的断面面积S都可以归纳为一个表达式,即 S=Atg e-B 式中Ao和B0为边界条件系数。将不同边界条件下的A、B0值代入式中, 即可求得与之相应的破裂角和最大主动土压力 2)破裂面交于荷载外侧(图6-14c) S=a(a+H)(g8+tga)-=(b+atga )a+loho 2 a+H)180+2H(H+2a)ga-2ab+ loho 则S=Aotg0-B 式中: (6-11) B Loho- H(H+2a)tga 3)破裂面交于荷载内侧(图6-14a) 在式(6-8)或式6-11)中,令h0=0 则S=Aotg0-Bo A 式中 2 (6-12) Bo=sab-H(H+2a)tg 3.破裂面交于外边坡(图6-15) 图中AB=bL+(H+atgB1-Htga BC=AB- AB sin90°+6-B)cos(6-B) D=BCsin B=AB cassin B (6-B 三角形ABC的面积为 SMBc =AB CD=X[b+L+(H+a)ctg B 1-Htg a cos 0 cosR cos(8-B)

8 经整理化简，得 tg tg tg ctg tg B A ctg tg 2 0 0  + 2   −   − (  + ) = 0 故 tg tg ctg tg B A  = −   (  + )( + tg) = 0 0 0 （6－10） 将求得的θ值代入式(6-9)，即可求得主动土压力 Ea。 必须指出，式(6-9)和式(6-10)具有普遍意义。因为无论破裂面交于荷载中部、 荷载的内侧或外侧，破裂棱体的断面面积 S 都可以归纳为一个表达式，即 S＝A0 tgθ－B0 式中 A0 和 B0 为边界条件系数。将不同边界条件下的 A0、B0 值代入式中， 即可求得与之相应的破裂角和最大主动土压力。 2)破裂面交于荷载外侧(图 6-14c) S a H tg tg b atg a l h a H tg H H a tg ab l h = + + − + + = + + + − + 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 0 0 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )      则 S＝A0 tgθ－B0 式中： A = B 0 0 1 2 1 2 1 2 2 2 0 0 ( ) ( ) a H ab l h H H a tg + = − − +  （6－11） 3)破裂面交于荷载内侧(图 6-14a) 在式(6-8)或式(6-11)中，令 h0＝0 则 S＝A0 tgθ－B0 式中： A = B 0 0 1 2 1 2 1 2 2 2 ( ) ( ) a H ab H H a tg + = − +  （6－12） 3．破裂面交于外边坡(图 6-15) 图中 AB＝b+L+(H+a)ctgβ1－Htgα BC＝ AB AB sin( ) sin( ) cos cos( ) 90 90 1 1 − + − = −       CD＝ BCsin AB cos sin cos( )      1 1 = − 三角形 ABC 的面积为 SABC = AB CD = − 1 2 1 2 2 1 1 [b + L + (H + a)ctgβ1－Htgα] cos cos cos( )    

Zy D 图6-15破裂面交于外边坡 破坏棱体的面积S为 S=(H+a)(b+L)+-(H+a)ctgA-aab +l0 b+L+(H+a)cigB-Hige 2 coSSing s-B1) Bsin B (H+a)cg月-Hgo 0(-月 +5(H+a)[(b+L)(H+a)2cigB1-ab-H21ga+loho 令A-[b+L+(H+a)gA-gq小smn月 Bo=5(H+a)[2(b+)+H+a)2c1gR1-ab-H'iga+loho 则S=A s(-B) s(6-B) 代入式(6-1),得 s(6+p) E. =Y(o cOS(B-p. ) Bo)sin(+9) (6-13) 令dEd0=0 6 (0+o)sin(0+0)-cos(0+)cos( 0+g) Y oS(6-B) Bo (6+q) 即 +a os(0+o)-cos(e-A)sine+ sin(8-A)cose n(6+q) (6-B) 经整理化简,得 0+Otg 0 tg

9 图 6-15 破裂面交于外边坡 破坏棱体的面积 S 为     S H a b L H a ctg ab H tg l h b L H a ctg Htg b L H a ctg Htg H a b L H a ctg ab H = + + + + − − + − + + + − − = − + + + − − + + + + + − − ( )( ) ( ) ( ) cos sin cos( ) ( ) cos sin cos( ) ( )[ ( ) ( ) ] 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 0 0 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1                  2 0 0 tg + l h 令 A0= −  + + + −  1 2 1 2 b L H a 1 ( )ctg Htg sin B0＝   1 2 2 2 1 2 0 0 (H + a)[ (b + L) + (H + a) ctg ] − ab − H tg + l h 则 S＝A0 cos cos( )   − 1 +B0 G=S=( A0 cos cos( )   − 1 +B0 ) 代入式(6-1)，得 Ea = + B + + γ( ) ) cos( ) sin( ) A cos cos( - 0 1        0 （6－13） 令 dE/dθ＝0 即 γ[（ ） ) sin( )sin( ) cos( ) cos( ) sin ( ) cos( ) sin( ) ) ) ) ] A cos cos( - A - cos( - sin sin( - cos cos ( - 0 1 0 1 1 2 1                          + − + + − + + + + + +  + = B0 2 0 经整理化简，得 Ptg2θ＋Qtgθ＋R＝0

-4PR (6-14) 2P 式中 Ao sinA sin p coso+ Bo cos(o-o)sin A Q=2A6sn月cosφcosq+B0cos(q-)sin2月 R= cos Acos(q-φ)(4+B0cosB)+Asn月1 cos osin 三、大俯角墙背的主动土压力—第二破裂面法 在挡土墙设计中,往往会遇到墙背俯斜很缓,即墙背倾角α很大的情况,如 折线形挡土墙的上墙墙背,衡重式挡土墙上墙的假象墙背(图6-16)。当墙后土 体达到主动极限平衡状态时,破裂棱体并不沿墙背或假想墙背CA滑动,而是沿 着土体的另一破裂面CD滑动,CD称为第二破裂面,而远离墙的破裂面CF称 为第一破裂面,α和θ为相应的破裂角。这时,挡土墙承受着第二破裂上的土压 力Ea,Ea是G1和01的函数。因Ex是Ea的水平分力,故可以列出以下函数关系: E=f(a1,b,) (6-15) 裂面 90°0 第一戚裂面 图6-16出现第二破裂面的条件 为了确定最不利的破裂角a1和θ1及相应的主动土压力值,可以求解下列偏微 分方程组: (6-16) 并满足下列条件: a-E <0 03E.,02E,(a3E 出现第二破裂面的条件是 1.墙背或假想墙背的倾角αˆ必须大于第二破裂面的倾角α,即墙背或假想

10 tg Q Q PR P  = −  − 2 4 2 （6-14） 式中： P = −A0 1 + B0 − 2 1 sin sin cos cos( )sin  Q = 2A0 1 + B0 − 2 1 sin cos cos cos( )sin  R = cos1 cos( − )(A0 + B0 cos1 ) + A0 sin  cos sin 2 1 三、大俯角墙背的主动土压力—第二破裂面法 在挡土墙设计中，往往会遇到墙背俯斜很缓，即墙背倾角很大的情况，如 折线形挡土墙的上墙墙背，衡重式挡土墙上墙的假象墙背（图 6-16）。当墙后土 体达到主动极限平衡状态时，破裂棱体并不沿墙背或假想墙背 CA 滑动，而是沿 着土体的另一破裂面 CD 滑动，CD 称为第二破裂面，而远离墙的破裂面 CF 称 为第一破裂面，i 和i 为相应的破裂角。这时，挡土墙承受着第二破裂上的土压 力 Ea，Ea 是i 和i 的函数。因 Ex 是 Ea 的水平分力，故可以列出以下函数关系： ( , ) x i i E = f   （6-15） 图 6-16 出现第二破裂面的条件 为了确定最不利的破裂角i 和i 及相应的主动土压力值，可以求解下列偏微 分方程组： 0 0        =   =   i x i x E E   （6-16） 并满足下列条件：                      −   •         0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 i i x i x i x i x i x E E E E E       （6-17） 出现第二破裂面的条件是： 1．墙背或假想墙背的倾角’必须大于第二破裂面的倾角i，即墙背或假想