第10卷第1期 智能系统学报 Vol.10No.1 2015年2月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Feh.2015 D0I:10.3969/j.issn.1673-4785.201405022 网络出版地址：http://www.cnki.net/kcms/doi/10.3969/j.issn.1673-4785.201405022.html 贝叶斯概率向赵森烽-克勤概率的转换与应用 赵克勤2，赵森烽3 (1.浙江大学非传统安全与和平发展研究中心集对分析研究所，浙江杭州310058；2.诸暨市联系数学研究所，浙江 诸暨311811：3.浙江工业大学之江学院，浙江杭州310024) 摘要：为研究贝叶斯概率与其后验概率的联系与转化以及联系数化后的贝叶斯推理，定义了贝叶斯概型的赵森烽 -克勤概率，其数学形式等同于古典概型、几何概型、频率概型的赵森烽-克勤概率，借助赵森烽-克勤概率中随机转 换器i的作用，把贝叶斯概率的后验概率分为增益型、衰减型、维持型，在此基础上给出贝叶斯概率向赵森烽-克勤概 率转换定理与相应算法，举例说明贝叶斯概型的赵森烽-克勤概率具有智脑思维的完整性、前瞻性和灵活性等特点， 从而为人工智能和其他领域应用贝叶斯推理开辟出一条新途径。 关键词：贝叶斯概率：赵森烽-克勤概率：联系数：后验值：智脑思维特性：集对分析 中图分类号：文献标志码：A文章编号：1673-4785(2015)01-0051-11 中文引用格式：赵克勤，赵森烽.贝叶斯概率向赵森烽-克勒概率的转换与应用[J】.智能系统学报，2015,10(1)：51-61. 英文引用格式：ZHAO Keqin,ZHAO Senfeng.Bayes probability transition to Zhao Senfeng-Keqin probability and its application J].CAAI Transactions on Intelligent Systems,2015,10(1)51-61. Bayes probability transition to Zhao Senfeng-Keqin probability and its application ZHAO Keqin'2,ZHAO Senfeng (1.Center for Non-traditional Security and Peaceful Development Studies,Zhejiang University,Hangzhou 310058,China;2.Zhuji In- stitute of Connection Mathematics,Zhuji 311811;3.School of zhi jiang,Zhejiang Technology University,Hangzhou,310024,China) Abstract:In order to study the Bayesian probability and posterior Bayesian inference relation and transformation as well as the number of contact probability after,The definition of Zhao Senfeng-Keqin probability of Bayes probability model,Zhao Senfeng-Keqin probability of its mathematical form equivalent to classical subscheme,geometric proba- bility,frequency probability model,With the help of Zhao Senfeng-Keqin probability random converter I effect,The Bayesian posterior probability for gain,attenuation,maintenance,Based on this Bayesian probability transformation theorem and the corresponding algorithm to Zhao Senfeng-Keqin probability,To illustrate the characteristics of Bayesian probability model Zhao Senfeng Keqin probability with zhinao thinking integrity,foresight and flexibility etc,open up a new way for the application of artificial intelligence and other areas of Bayesian reasoning. Keywords:Bayes probability;Zhao Senfeng-Keqin probability;connection number;posterior values;wisdom brain thinking characteristics:set pair analysis 基于文献[1-3]关于事物的确定性关系与不确 pair analysis,SPA)理论，文献[4-6]先后借助“白球+ 定性关系组成一个不确定性子系统的集对分析(st 黑球”随机试验，向指定区域随机投针试验，掷分币 与掷骰子随机试验，说明随机性是事物相互联系的 收稿日期：2014-05-18.网络出版日期：2015-01-13. 一个属性，随机事件成对存在，在此基础上提出联系 基金项目：国家社会科学基金重点资助项目(08ASH006):教育部哲学 社会科学研究重大课题攻关项目(08ZD0021-D). 概率(connection probability,CP),(也称“赵森烽- 通信作者：赵克勤.E-mail:zizhaok@sohu.com. 克勤概率”(Zhao Senfeng-Keqin probability,ZKP);
第 员园 卷第 员 期摇摇摇摇摇 摇摇摇 摇摇摇 摇摇摇 智 能 系 统 学 报摇摇摇摇摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 灾燥造援员园翼援员 圆园员缘 年 圆 月摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 悦粤粤陨 栽则葬灶泽葬糟贼蚤燥灶泽 燥灶 陨灶贼藻造造蚤早藻灶贼 杂赠泽贼藻皂泽 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 云藻遭援 圆园员缘 阅韵陨院员园援猿怨远怨 辕 躁援蚤泽泽灶援员远苑猿鄄源苑愿缘援圆园员源园缘园圆圆 网络出版地址院澡贼贼责院 辕 辕 憎憎憎援糟灶噪蚤援灶藻贼 辕 噪糟皂泽 辕 凿燥蚤 辕 员园援猿怨远怨 辕 躁援蚤泽泽灶援员远苑猿鄄源苑愿缘援圆园员源园缘园圆圆援澡贼皂造 贝叶斯概率向赵森烽原克勤概率的转换与应用 赵克勤员袁圆 袁赵森烽猿 渊员援浙江大学 非传统安全与和平发展研究中心集对分析研究所袁浙江 杭州 猿员园园缘愿曰 圆援 诸暨市联系数学研究所袁 浙江 诸暨 猿员员愿员员曰 猿援浙江工业大学 之江学院袁浙江 杭州 猿员园园圆源冤 摘 要院为研究贝叶斯概率与其后验概率的联系与转化以及联系数化后的贝叶斯推理袁定义了贝叶斯概型的赵森烽 原克勤概率袁其数学形式等同于古典概型尧几何概型尧频率概型的赵森烽原克勤概率袁借助赵森烽原克勤概率中随机转 换器 蚤 的作用袁把贝叶斯概率的后验概率分为增益型尧衰减型尧维持型袁在此基础上给出贝叶斯概率向赵森烽原克勤概 率转换定理与相应算法袁举例说明贝叶斯概型的赵森烽原克勤概率具有智脑思维的完整性尧前瞻性和灵活性等特点袁 从而为人工智能和其他领域应用贝叶斯推理开辟出一条新途径遥 关键词院贝叶斯概率曰赵森烽原克勤概率曰 联系数曰 后验值曰智脑思维特性曰集对分析 中图分类号院 文献标志码院粤摇 文章编号院员远苑猿鄄源苑愿缘渊圆园员缘冤园员鄄园园缘员鄄员员 中文引用格式院赵克勤袁赵森烽援 贝叶斯概率向赵森烽原克勤概率的转换与应用咱允暂援 智能系统学报袁 圆园员缘袁 员园渊员冤 院 缘员鄄远员援 英文引用格式院在匀粤韵 运藻择蚤灶袁在匀粤韵 杂藻灶枣藻灶早援 月葬赠藻泽 责则燥遭葬遭蚤造蚤贼赠 贼则葬灶泽蚤贼蚤燥灶 贼燥 在澡葬燥 杂藻灶枣藻灶早鄄运藻择蚤灶 责则燥遭葬遭蚤造蚤贼赠 葬灶凿 蚤贼泽 葬责责造蚤糟葬贼蚤燥灶 咱允暂援 悦粤粤陨 栽则葬灶泽葬糟贼蚤燥灶泽 燥灶 陨灶贼藻造造蚤早藻灶贼 杂赠泽贼藻皂泽袁 圆园员缘袁 员园渊员冤 院 缘员鄄远员援 月葬赠藻泽 责则燥遭葬遭蚤造蚤贼赠 贼则葬灶泽蚤贼蚤燥灶 贼燥 在澡葬燥 杂藻灶枣藻灶早鄄运藻择蚤灶 责则燥遭葬遭蚤造蚤贼赠 葬灶凿 蚤贼泽 葬责责造蚤糟葬贼蚤燥灶 在匀粤韵 运藻择蚤灶员袁圆 袁 在匀粤韵 杂藻灶枣藻灶早猿 渊员援悦藻灶贼藻则 枣燥则 晕燥灶原贼则葬凿蚤贼蚤燥灶葬造 杂藻糟怎则蚤贼赠 葬灶凿 孕藻葬糟藻枣怎造 阅藻增藻造燥责皂藻灶贼 杂贼怎凿蚤藻泽袁 在澡藻躁蚤葬灶早 哉灶蚤增藻则泽蚤贼赠袁 匀葬灶早扎澡燥怎 猿员园园缘愿 袁悦澡蚤灶葬曰圆援在澡怎躁蚤 陨灶鄄 泽贼蚤贼怎贼藻 燥枣 悦燥灶灶藻糟贼蚤燥灶 酝葬贼澡藻皂葬贼蚤糟泽袁 在澡怎躁蚤 猿员员愿员员曰猿援杂糟澡燥燥造 燥枣 扎澡蚤 躁蚤葬灶早袁 在澡藻躁蚤葬灶早 栽藻糟澡灶燥造燥早赠 哉灶蚤增藻则泽蚤贼赠袁 匀葬灶早扎澡燥怎袁猿员园园圆源袁悦澡蚤灶葬冤 粤遭泽贼则葬糟贼院陨灶 燥则凿藻则 贼燥 泽贼怎凿赠 贼澡藻 月葬赠藻泽蚤葬灶 责则燥遭葬遭蚤造蚤贼赠 葬灶凿 责燥泽贼藻则蚤燥则 月葬赠藻泽蚤葬灶 蚤灶枣藻则藻灶糟藻 则藻造葬贼蚤燥灶 葬灶凿 贼则葬灶泽枣燥则皂葬贼蚤燥灶 葬泽 憎藻造造 葬泽 贼澡藻 灶怎皂遭藻则 燥枣 糟燥灶贼葬糟贼 责则燥遭葬遭蚤造蚤贼赠 葬枣贼藻则袁栽澡藻 凿藻枣蚤灶蚤贼蚤燥灶 燥枣 在澡葬燥 杂藻灶枣藻灶早鄄运藻择蚤灶 责则燥遭葬遭蚤造蚤贼赠 燥枣 月葬赠藻泽 责则燥遭葬遭蚤造蚤贼赠 皂燥凿藻造袁在澡葬燥 杂藻灶枣藻灶早鄄运藻择蚤灶 责则燥遭葬遭蚤造蚤贼赠 燥枣 蚤贼泽 皂葬贼澡藻皂葬贼蚤糟葬造 枣燥则皂 藻择怎蚤增葬造藻灶贼 贼燥 糟造葬泽泽蚤糟葬造 泽怎遭泽糟澡藻皂藻袁 早藻燥皂藻贼则蚤糟 责则燥遭葬鄄 遭蚤造蚤贼赠袁 枣则藻择怎藻灶糟赠 责则燥遭葬遭蚤造蚤贼赠 皂燥凿藻造袁宰蚤贼澡 贼澡藻 澡藻造责 燥枣 在澡葬燥 杂藻灶枣藻灶早鄄运藻择蚤灶 责则燥遭葬遭蚤造蚤贼赠 则葬灶凿燥皂 糟燥灶增藻则贼藻则 陨 藻枣枣藻糟贼袁栽澡藻 月葬赠藻泽蚤葬灶 责燥泽贼藻则蚤燥则 责则燥遭葬遭蚤造蚤贼赠 枣燥则 早葬蚤灶袁 葬贼贼藻灶怎葬贼蚤燥灶袁 皂葬蚤灶贼藻灶葬灶糟藻袁月葬泽藻凿 燥灶 贼澡蚤泽 月葬赠藻泽蚤葬灶 责则燥遭葬遭蚤造蚤贼赠 贼则葬灶泽枣燥则皂葬贼蚤燥灶 贼澡藻燥则藻皂 葬灶凿 贼澡藻 糟燥则则藻泽责燥灶凿蚤灶早 葬造早燥则蚤贼澡皂 贼燥 在澡葬燥 杂藻灶枣藻灶早鄄运藻择蚤灶 责则燥遭葬遭蚤造蚤贼赠袁 栽燥 蚤造造怎泽贼则葬贼藻 贼澡藻 糟澡葬则葬糟贼藻则蚤泽贼蚤糟泽 燥枣 月葬赠藻泽蚤葬灶 责则燥遭葬遭蚤造蚤贼赠 皂燥凿藻造 在澡葬燥 杂藻灶枣藻灶早 运藻择蚤灶 责则燥遭葬遭蚤造蚤贼赠 憎蚤贼澡 扎澡蚤灶葬燥 贼澡蚤灶噪蚤灶早 蚤灶贼藻早则蚤贼赠袁 枣燥则藻泽蚤早澡贼 葬灶凿 枣造藻曾蚤遭蚤造蚤贼赠 藻贼糟袁燥责藻灶 怎责 葬 灶藻憎 憎葬赠 枣燥则 贼澡藻 葬责责造蚤糟葬贼蚤燥灶 燥枣 葬则贼蚤枣蚤糟蚤葬造 蚤灶贼藻造造蚤早藻灶糟藻 葬灶凿 燥贼澡藻则 葬则藻葬泽 燥枣 月葬赠藻泽蚤葬灶 则藻葬泽燥灶蚤灶早援 运藻赠憎燥则凿泽院月葬赠藻泽 责则燥遭葬遭蚤造蚤贼赠曰 在澡葬燥 杂藻灶枣藻灶早鄄运藻择蚤灶 责则燥遭葬遭蚤造蚤贼赠曰糟燥灶灶藻糟贼蚤燥灶 灶怎皂遭藻则曰责燥泽贼藻则蚤燥则 增葬造怎藻泽曰憎蚤泽凿燥皂 遭则葬蚤灶 贼澡蚤灶噪蚤灶早 糟澡葬则葬糟贼藻则蚤泽贼蚤糟泽曰 泽藻贼 责葬蚤则 葬灶葬造赠泽蚤泽 收稿日期院圆园员源鄄园缘鄄员愿援 摇 网络出版日期院圆园员缘鄄园员鄄员猿援 基金项目院国家社会科学基金重点资助项目渊 园愿粤杂匀园园远冤 曰教育部哲学 社会科学研究重大课题攻关项目渊园愿允在阅园园圆员原阅冤援 通信作者院赵克勤援耘鄄皂葬蚤造院 扎躁扎澡葬燥噪岳 泽燥澡怎援糟燥皂援 摇 摇 基于文献咱员鄄猿暂关于事物的确定性关系与不确 定性关系组成一个不确定性子系统的集对分析渊 泽藻贼 责葬蚤则 葬灶葬造赠泽蚤泽袁杂孕粤冤理论袁文献咱源鄄远暂先后借助野白球垣 黑球冶随机试验袁向指定区域随机投针试验袁掷分币 与掷骰子随机试验袁说明随机性是事物相互联系的 一个属性袁随机事件成对存在袁在此基础上提出联系 概率 渊 糟燥灶灶藻糟贼蚤燥灶 责则燥遭葬遭蚤造蚤贼赠袁 悦孕冤 袁渊也称野赵森烽原 克勤概率冶 渊 在澡葬燥 杂藻灶枣藻灶早鄄运藻择蚤灶 责则燥遭葬遭蚤造蚤贼赠袁在运孕 冤 曰
.52· 智能系统学报 第10卷 论证了无论是古典概型概率(classical probability, 场上的畅销与否作出判断，由于难以在开发前做大量 CP),几何概型概率(geometric probability,GP),还 的随机试验，只能由企业家根据经验和信念作出估 是频率型概率(frequency probability,FP),都可以 计，例如认为畅销的概率是0.8；又如投资家认为“购 化为赵森烽-克勤概率ZKP来补充伴随事件的信息 买某节能环保股票能获得高收益”的概率是0.9：科技 作新的研究；文献[7-8]将赵森烽-克勤概率ZKP应 人员认为“某课题获得立项”的概率为0.95，肿瘤外科 用到风险决策研究得到了新的风险决策模型。习惯 医生根据自己多年的临床经验和一位肿瘤患者的病 上，古典概型概率CP、几何概型概率GP和频率型 情估计该患者肿瘤的手术成功可能性是99%，乘坐某 概率FP统称为“客观概率”(objective probability, 航班安全到达目的地的概率是99.999%等，都是人们 OP),因为这三类概率都能用客观上可重复或可大 凭经验、知识或判断能力对所关注事件发生可能性给 量重复的随机试验验证。但在现实世界中，有些随 出的一个信念的度量值，其“主观色彩”昭然若揭，称 机现象不能大量重复甚至不能重复，例如远程导弹 其为“主观概率”名副其实。 的精确打击，航天器的成功升空，地外天体探索器的 1.3贝叶斯概率的特性 返回，粒子对撞机的建造和正常运行，以及大地震、 特性1主观性。贝叶斯概率的主观性前文已 核泄漏、飞机失事、列车追尾相撞、商厦大火、山体滑 述。历史上，贝叶斯概率的主观性曾遭到一些数学 坡等等非传统安全问题，对于这类事件，又如何确定 家的批评，认为这种主观的概率确定方法不可取，但 相应的概率？在概率论的发展史上和概率的大量实 贝叶斯概率的广泛和深入应用已经表明贝叶斯概率 际应用中，人们已有相应的解决办法，这就是与上述 有一定的客观合理性，这种客观合理性本质上是因 “客观概率”相对立的所谓“主观概率(subjective 为贝叶斯概率具有特性2。 probability,SP)”。历史上，贝叶斯(Thomas Bayes) 特性2后验性。人们事先凭经验、知识或判 首先研究了此类概率，所以也称“贝叶斯概率” 断能力对所关注事件发生的可能性给出的贝叶斯概 (Bayes probability,BP),如今，“贝叶斯概率”已得到 率，可以在事后得到验证。例如，事先认为某新产品 广泛应用，基于“贝叶斯概率”的不确定性推理已是 畅销的概率是0.8，当这一新产品投放市场后，究竟 人工智能的一项重要推理技术[9)。人们会问：对 是否畅销就有了客观上的答案：课题立项一旦公布， 于贝叶斯概率，是否也存在着类似于文献[4-6]所述 申报的课题是否立项也明确无疑：航班在飞历了预 的“赵森烽-克勤概率”，贝叶斯公式又能否采用赵 定的航程后安全到达目的地等。 森烽-克勤概率加以表达和运算，以开辟出人工智 特性3不确定性。贝叶斯概率的不确定性既 能不确定性推理的新途径，本文试对这一问题作出 来自其主观性，如不同的企业家对同一个新产品的市 回答，举例说明贝叶斯概型的赵森烽一克勤概率 场信任度会不同：也来自其后验结果的不确定性，谁 Bayes probability-Zhao Senfeng-Keqin probability, 能确切地事先知道一个贝叶斯概率的实际后验结果 BZKP)的应用，并简要讨论贝叶斯概型的赵森烽- 是必然还是偶然等。 克勤概率BZKP的智能化思维特性。 人们会问：贝叶斯概率的不确定性和后验性以 及后验值是否可以被一种适当的数学形式（一种 1贝叶斯概率 “新的贝叶斯概率”)蕴含在其中，从而使得这种“新 1.1贝叶斯 的贝叶斯概率”是一种“完整的概率”，借此体现出 贝叶斯(1702-1763)是英国数学家，创立了著名的 人脑思维的完整性：并进一步借助一定的规则由原 贝叶斯概率(BP)和贝叶斯理论(Bayes theory,BT),在 先的贝叶斯概率去推知其后验值，借此体现出人脑 统计决策、统计推断和统计估算等方面有重要贡献，促 思维的前瞻性：并且还能用一定的数学形式对应可 进了现代概率论和数理统计的形成和发展。 能出现的各种后验结果，借此体现出人脑思维的灵 1.2贝叶斯定义的概率 活性：回答是肯定的，这就是：贝叶斯概率的联系数 贝叶斯把概率定义为人们根据经验和认识对一 化，由此引出贝叶斯概型的赵森烽-克勤概率。 个命题的主观信任程度的描述，这种描述用一个在 2 贝叶斯概型的赵森烽-克勤概率 [0,1]取值的信任函数-置信度表示，显然，这样的 概率是一种“主观概率”，在概率统计发展史上，人 2.1原理 们把这种“主观概率”称为“贝叶斯概率”。 认识论和人类的社会实践告诉我们，人们对客 例如企业开发某新产品，需要预先对该产品在市 观事物的认识是一个从知之不多到知之较多、从知
论证了无论是古典概型概率渊 糟造葬泽泽蚤糟葬造 责则燥遭葬遭蚤造蚤贼赠袁 悦孕冤袁几何概型概率 渊 早藻燥皂藻贼则蚤糟 责则燥遭葬遭蚤造蚤贼赠袁 郧孕冤 袁还 是频率型概率 渊枣则藻择怎藻灶糟赠 责则燥遭葬遭蚤造蚤贼赠袁 云孕 冤 袁都可以 化为赵森烽原克勤概率 在运孕 来补充伴随事件的信息 作新的研究曰文献咱苑鄄愿暂将赵森烽原克勤概率 在运孕 应 用到风险决策研究得到了新的风险决策模型遥 习惯 上袁古典概型概率 悦孕尧几何概型概率 郧孕 和频率型 概率 云孕 统称为野客观概率冶 渊 燥遭躁藻糟贼蚤增藻 责则燥遭葬遭蚤造蚤贼赠袁 韵孕冤 袁因为这三类概率都能用客观上可重复或可大 量重复的随机试验验证遥 但在现实世界中袁有些随 机现象不能大量重复甚至不能重复袁例如远程导弹 的精确打击袁航天器的成功升空袁地外天体探索器的 返回袁粒子对撞机的建造和正常运行袁以及大地震尧 核泄漏尧飞机失事尧列车追尾相撞尧商厦大火尧山体滑 坡等等非传统安全问题袁对于这类事件袁又如何确定 相应的概率钥 在概率论的发展史上和概率的大量实 际应用中袁人们已有相应的解决办法袁这就是与上述 野客观概率冶 相对立的所谓野 主观概率渊 泽怎遭躁藻糟贼蚤增藻 责则燥遭葬遭蚤造蚤贼赠袁 杂孕冤 冶 遥 历史上袁贝叶斯渊 栽澡燥皂葬泽 月葬赠藻泽冤 首先研究了此类概率袁 所以也称 野 贝叶斯概率冶 渊月葬赠藻泽 责则燥遭葬遭蚤造蚤贼赠袁月孕冤 袁如今袁野贝叶斯概率冶已得到 广泛应用袁基于野贝叶斯概率冶的不确定性推理已是 人工智能的一项重要推理技术咱怨鄄员猿暂 遥 人们会问院对 于贝叶斯概率袁是否也存在着类似于文献咱源鄄远暂所述 的野赵森烽原克勤概率冶 袁贝叶斯公式又能否采用赵 森烽原克勤概率加以表达和运算袁以开辟出人工智 能不确定性推理的新途径袁本文试对这一问题作出 回答袁举例说明贝叶斯概型的赵森烽 原 克勤概率 渊 月葬赠藻泽 责则燥遭葬遭蚤造蚤贼赠鄄在澡葬燥 杂藻灶枣藻灶早鄄运藻择蚤灶 责则燥遭葬遭蚤造蚤贼赠袁 月在运孕冤的应用袁并简要讨论贝叶斯概型的赵森烽原 克勤概率 月在运孕 的智能化思维特性遥 员摇 贝叶斯概率 员援员摇 贝叶斯 摇 摇 贝叶斯渊员苑园圆鄄员苑远猿冤是英国数学家袁创立了著名的 贝叶斯概率渊月孕冤和贝叶斯理论渊月葬赠藻泽 贼澡藻燥则赠袁月栽冤袁在 统计决策尧统计推断和统计估算等方面有重要贡献袁促 进了现代概率论和数理统计的形成和发展遥 员援圆 摇 贝叶斯定义的概率 贝叶斯把概率定义为人们根据经验和认识对一 个命题的主观信任程度的描述袁这种描述用一个在 咱园袁员暂取值的信任函数原置信度表示袁显然袁这样的 概率是一种野主观概率冶 袁在概率统计发展史上袁人 们把这种野主观概率冶称为野贝叶斯概率冶 遥 例如企业开发某新产品袁需要预先对该产品在市 场上的畅销与否作出判断袁由于难以在开发前做大量 的随机试验袁只能由企业家根据经验和信念作出估 计袁例如认为畅销的概率是 园援愿曰又如投资家认为野购 买某节能环保股票能获得高收益冶的概率是 园援怨曰科技 人员认为野某课题获得立项冶的概率为 园援怨缘袁肿瘤外科 医生根据自己多年的临床经验和一位肿瘤患者的病 情估计该患者肿瘤的手术成功可能性是 怨怨豫袁乘坐某 航班安全到达目的地的概率是 怨怨援怨怨怨豫等袁都是人们 凭经验尧知识或判断能力对所关注事件发生可能性给 出的一个信念的度量值袁其野主观色彩冶昭然若揭袁称 其为野主观概率冶名副其实遥 员援猿摇 贝叶斯概率的特性 特性 员摇 主观性遥 贝叶斯概率的主观性前文已 述遥 历史上袁贝叶斯概率的主观性曾遭到一些数学 家的批评袁认为这种主观的概率确定方法不可取袁但 贝叶斯概率的广泛和深入应用已经表明贝叶斯概率 有一定的客观合理性袁这种客观合理性本质上是因 为贝叶斯概率具有特性 圆遥 特性 圆摇 后验性遥 人们事先凭经验尧知识或判 断能力对所关注事件发生的可能性给出的贝叶斯概 率袁可以在事后得到验证遥 例如袁事先认为某新产品 畅销的概率是 园援愿袁当这一新产品投放市场后袁究竟 是否畅销就有了客观上的答案曰课题立项一旦公布袁 申报的课题是否立项也明确无疑曰航班在飞历了预 定的航程后安全到达目的地等遥 特性 猿 摇 不确定性遥 贝叶斯概率的不确定性既 来自其主观性袁如不同的企业家对同一个新产品的市 场信任度会不同曰也来自其后验结果的不确定性袁谁 能确切地事先知道一个贝叶斯概率的实际后验结果 是必然还是偶然等遥 人们会问院贝叶斯概率的不确定性和后验性以 及后验值是否可以被一种适当的数学形式渊一种 野新的贝叶斯概率冶 冤蕴含在其中袁从而使得这种野新 的贝叶斯概率冶是一种野完整的概率冶 袁借此体现出 人脑思维的完整性曰并进一步借助一定的规则由原 先的贝叶斯概率去推知其后验值袁借此体现出人脑 思维的前瞻性曰并且还能用一定的数学形式对应可 能出现的各种后验结果袁借此体现出人脑思维的灵 活性曰回答是肯定的袁这就是院贝叶斯概率的联系数 化袁由此引出贝叶斯概型的赵森烽原克勤概率遥 圆摇 贝叶斯概型的赵森烽原克勤概率 圆援员摇 原理 认识论和人类的社会实践告诉我们袁人们对客 观事物的认识是一个从知之不多到知之较多尧从知 窑缘圆窑 智 能 系 统 学 报摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 第 员园 卷
第1期 赵克勒，等：贝叶斯概率向赵森烽-克勤概率的转换与应用 ·53· 部分到全部认知、从片面认识到全面认识、从现象性 P(A)具有以上3条性质，就称其是赵森烽-克勤概 的表面认识到本质性的深层次认识、从错误认识到 率ZKP一一种把随机试验中第一关注事件（主事 正确认识的过程：在这个过程中，对已知部分的认识 件)A出现之概率与非第一关注事件（主事件的伴 呈现出相对的确定性，对未知部分的认识呈现相对 不确定性；需要在“实践一认识一再实践一再认识” 随事件)A出现之概率按关注次序联系在一个数学 的过程中不断地把“未知”转化为“已知”，据此来减 表达式中的联系概率CP。当然，由此将引出许多需 少对于“未知”认识的不确定性；因此，当需要客观 要深入研究的问题。 地定量刻画和系统地分析人们认知一个事物的全过 2.3转换定理 程时，既需要对已知的相对确定性部分知识作出可 定理对任意的一个贝叶斯概率，都可以转换 置信意义上的刻画，也需要对未知的不确定性部分 为赵森烽-克勒概率ZKP。 知识作出置信与否不确定意义上的刻画：并把这两 证明根据定义1即可得证。 方面的刻画结果反映在同一个数学表达式中，既体 2.4后验取值 现出人脑思维的完整性和灵活性，又便于前瞻地根 由于式(1)所示的贝叶斯概型的联系概率中， 据“已知”对“未知”展开系统性的分析并作出预见， 不仅有贝叶斯概率P(A)和P(A)的补数1- 以体现出人脑思维的前瞻性。这一陈述称之为贝叶 P(A)=P(A),而且该补数1-p(A)=P(A)还乘有 斯概率联系数化的基本原理，以下简称原理。 反映不确定性的系数，由于i是一个随机转换器， 2.2定义 因此可以借助i的数值性质与系统分析，反映出贝 基于以上原理和文献[5]中给出的概率补数定 叶斯概率可能的后验结果，一般而论，这些结果为以 理以及有关集对分析联系数的知识，定义贝叶斯概 下3种类型。 型的赵森烽-克勤概率如下： 类型1衰减型后验 定义1设P(A)(0≤P(A)≤1)是关于事件 由贝叶斯概型的赵森烽-克勤概率定义可见， 4发生与否的一个主观信念值，则称 在已知贝叶斯概率的情况下写出贝叶斯概率的赵森 P(A,A)=P(A)+P(A)i,i∈[-∞，1](1) 烽-克勤概率十分简便。例如，前面提到的新产品 为贝叶斯概型的赵森烽-克勒概率，其中的事件A与A是 畅销的概率0.8，按定义1可以改写成0.8+0.2i,当 对最坏情况作直接计算时，令i=-1,这时，实际上 基本事件空间2中互不相容的对位事件：A+A=2。 的畅销概率衰减成0.6：若其间还要考虑“0.8”中受 贝叶斯概型的赵森烽-克勤概率也简称贝叶斯 “02”与“0.8”的“相互作用影响”这一部分时，则应 概型联系概率或联系概率(contact probability,CP); 当先把0.8+0.2i改写成0.64+0.16i+0.2i,再令i= 这是因为式(1)与古典概型联系概率、几何概型联 -1,这时，实际上的畅销概率衰减成0.28：如此低的 系概率、频率概型联系概率，具有相同的数学形式， 畅销概率，就是不畅销：这种出乎前期主观预料之 并具有以下3条性质： 外、客观上又在市场情理之中的事，在激烈的市场竞 性质1P(A)与P(A)的非负性，也就是 争环境中屡见不鲜：类似地可以解释满怀信心投资 股市无收益甚至亏损或严重亏损、精心申报的项目 P(A)≥0，P(A)≥0 (2)》 性质2归一性，也就是 不获批、多年相安无事的商厦或厂房突发大火、历年 来正常客运的航班突然失联等出乎前期主观预料之 P(A)+P(A)=1 (3 外的事件。这里的赵森烽-克勤概率P(A,A)= 性质3完备性，也就是 0.8+0.2i就是这类前期对于事件A有较高主观信 P(A)+P(A)i∈[-1,1]，i∈[-0,1](4) 念值，事后却出现主观预料之外事件A的一个数学 证明根据P(A)与P(A)的定义可证性质1 模型，不妨简称此模型为“八二衰减后验模型”或简 显然。根据定义1可知P(A)+P(A)=1成立，性质 称“八二模型”；类似地还可以有“九一模型”、“七三 3由于i∈[-o,1]而成立。 模型”等，以对应不同的衰减情况。 类似于经典概率中的概率三公理，这里把式 衰减型后验可以用以下的不等式表示： (2)~(4)称为赵森烽-克勤概率三公理，也就是说， P(AA)=P(A)+P(A)i<P(A),iE[-,0] 如果有一对随机事件A和A,它们的概率P(A)和 (5)
部分到全部认知尧从片面认识到全面认识尧从现象性 的表面认识到本质性的深层次认识尧从错误认识到 正确认识的过程曰在这个过程中袁对已知部分的认识 呈现出相对的确定性袁对未知部分的认识呈现相对 不确定性曰需要在野实践要认识要再实践要再认识冶 的过程中不断地把野未知冶转化为野已知冶 袁据此来减 少对于野未知冶认识的不确定性曰因此袁当需要客观 地定量刻画和系统地分析人们认知一个事物的全过 程时袁既需要对已知的相对确定性部分知识作出可 置信意义上的刻画袁也需要对未知的不确定性部分 知识作出置信与否不确定意义上的刻画曰并把这两 方面的刻画结果反映在同一个数学表达式中袁既体 现出人脑思维的完整性和灵活性袁又便于前瞻地根 据野已知冶对野未知冶展开系统性的分析并作出预见袁 以体现出人脑思维的前瞻性遥 这一陈述称之为贝叶 斯概率联系数化的基本原理袁以下简称原理遥 圆援圆摇 定义 基于以上原理和文献咱缘暂中给出的概率补数定 理以及有关集对分析联系数的知识袁定义贝叶斯概 型的赵森烽原克勤概率如下院 定义 员 摇 设 孕渊粤冤 渊 园臆孕 粤( ) 臆 员冤是关于事件 粤 发生与否的一个主观信念值袁则称 孕 粤袁粤 原 ( ) 越 孕 粤( ) 垣 孕 粤原 ( ) 蚤袁蚤 沂 咱 原 ∞袁员暂 渊员冤 为贝叶斯概型的赵森烽原克勤概率袁其中的事件粤 原 与粤 是 基本事件空间 赘 中互不相容的对立事件院 粤 垣 粤 原 越 赘 遥 贝叶斯概型的赵森烽原克勤概率也简称贝叶斯 概型联系概率或联系概率渊 糟燥灶贼葬糟贼 责则燥遭葬遭蚤造蚤贼赠袁悦孕 冤 曰 这是因为式渊员冤与古典概型联系概率尧几何概型联 系概率尧频率概型联系概率袁具有相同的数学形式袁 并具有以下 猿 条性质院 性质 员摇 孕渊粤冤 与 孕渊粤 原 冤 的非负性袁也就是 孕渊粤冤 逸 园袁孕渊粤 原 冤 逸 园 渊圆冤 摇 摇 性质 圆摇 归一性袁也就是 孕渊粤冤 垣 孕渊粤 原 冤 越 员 渊猿冤 摇 摇 性质 猿摇 完备性袁也就是 孕渊粤冤 垣 孕渊粤 原 冤蚤 沂 咱 原 员袁员暂 袁蚤 沂 咱 原 ∞袁员暂 渊源冤 摇 摇 证明 根据 孕渊粤冤 与 孕渊粤 原 冤 的定义可证性质 员 显然遥 根据定义 员 可知 孕渊粤冤 垣 孕渊粤 原 冤 越 员 成立袁性质 猿 由于 蚤 沂 咱 原 ∞袁员暂 而成立遥 类似于经典概率中的概率三公理袁这里把式 渊圆冤 耀 渊源冤称为赵森烽原克勤概率三公理袁也就是说袁 如果有一对随机事件 粤 和 粤 原 袁 它们的概率 孕渊粤冤 和 孕渊粤 原 冤 具有以上 猿 条性质袁就称其是赵森烽原克勤概 率 在运孕要要要一种把随机试验中第一关注事件渊主事 件冤 粤 出现之概率与非第一关注事件渊主事件的伴 随事件冤 粤 原 出现之概率按关注次序联系在一个数学 表达式中的联系概率 悦孕遥 当然袁由此将引出许多需 要深入研究的问题遥 圆援猿摇 转换定理 定理 对任意的一个贝叶斯概率袁都可以转换 为赵森烽原克勤概率 在运孕遥 证明 根据定义 员 即可得证遥 圆援源摇 后验取值 由于式渊员冤 所示的贝叶斯概型的联系概率中袁 不仅有 贝 叶斯 概 率 孕渊粤冤 和 孕渊粤冤 的补数 员 原 孕渊粤冤 越孕渊粤 原 冤 袁 而且该补数 员 原 责渊粤冤 越 孕渊粤 原 冤 还乘有 反映不确定性的系数 蚤袁 由于 蚤 是一个随机转换器袁 因此可以借助 蚤 的数值性质与系统分析袁反映出贝 叶斯概率可能的后验结果袁一般而论袁这些结果为以 下 猿 种类型遥 类型 员摇 衰减型后验 由贝叶斯概型的赵森烽原克勤概率定义可见袁 在已知贝叶斯概率的情况下写出贝叶斯概率的赵森 烽原克勤概率十分简便遥 例如袁前面提到的新产品 畅销的概率 园援愿袁按定义 员 可以改写成园援愿垣园援圆蚤袁 当 对最坏情况作直接计算时袁令 蚤 越 原员袁这时袁实际上 的畅销概率衰减成 园援远曰若其间还要考虑野园援愿冶中受 野园援圆冶与野园援愿冶的野相互作用影响冶这一部分时袁则应 当先把 园援愿垣园援圆蚤 改写成 园援远源垣园援员远蚤 垣园援圆 蚤袁 再令 蚤 越 原员袁这时袁实际上的畅销概率衰减成 园援圆愿曰如此低的 畅销概率袁就是不畅销曰这种出乎前期主观预料之 外尧客观上又在市场情理之中的事袁在激烈的市场竞 争环境中屡见不鲜曰类似地可以解释满怀信心投资 股市无收益甚至亏损或严重亏损尧精心申报的项目 不获批尧多年相安无事的商厦或厂房突发大火尧历年 来正常客运的航班突然失联等出乎前期主观预料之 外的事件遥 这里的赵森烽 原 克勤概率 孕 粤袁粤 原 ( ) 越 园援愿 垣园援圆蚤 就是这类前期对于事件 粤 有较高主观信 念值袁事后却出现主观预料之外事件 粤 原 的一个数学 模型袁不妨简称此模型为野八二衰减后验模型冶或简 称野八二模型冶 曰类似地还可以有野九一模型冶尧野七三 模型冶等袁以对应不同的衰减情况遥 衰减型后验可以用以下的不等式表示院 孕 粤粤原 ( ) 越 孕 粤( ) 垣 孕 粤原 ( ) 蚤约孕粤( ) 袁蚤 沂 咱 原 ∞袁园暂 渊缘冤 第 员 期摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 赵克勤袁等院贝叶斯概率向赵森烽原克勤概率的转换与应用 窑缘猿窑
·54 智能系统学报 第10卷 显然，根据赵森烽-克勤概率的性质3可知不 型。所谓“良好”，是指既满足式(2)所示的归一化 等式(5)的左边有可能是负值。例如，设P(A)= 要求，又借助随机转换器i在i∈[-o,1]的不同取 0.4,P(A)=0.6,则在i=-1时，P(A)+P(A)i= 值预设了不同方向的后验和后验的不同结果：例如 可以是对前期主观概率的一次“简单衰减”，也可以 -0.2,令A为某项目风险投资收益，A为该项目风 是一次“复合衰减”（计及赵森烽-克勤概率中2个 险投资亏损，P(4)为该项目风险投资收益的概率， 概率相互作用的“衰减”（见本节开头和后面的例 P(A)为该项目风险投资亏损的概率，则当P(A)+2),甚至是“多阶段随机过程的多次简单或多次复 P(A)i=-0.2时，表明亏损发生，但由于P(A)+ 合衰减”的后验：也可以是对前期主观概率的一种 “增益”性的后验，还可以是对前期主观概率的“一 P(A)i=0.2<1,又说明发生的亏损还不十分严重。 致”性后验。 类型2增益型后验 虽然由已知的贝叶斯概率得出贝叶斯概型的赵 例如投资获得超预期收益、申报的项目获特批， 森烽-克勤概率简便容易，但采用赵森烽-克勤概率 开发的新产品意外地畅销，这时的i在[0,1]取值。 进行贝叶斯公式的计算不是易事，因为涉及到赵森 增益型后验可以用以下不等式表示： 烽-克勤概率的条件概率计算。 P(A,A)=P(A)+P(A)i>P(A),i∈[0,1] 3基于赵森烽-克勤概率的条件概率 (6) 显然，根据赵森烽-克勤概率的性质3可知不 条件概率是概率论中的一个基本概念[0)。顾 等式(6)的左边有可能是接近于1的值。例如，设 名思义，就是在已知一事件(B)发生条件（概率）下 P(A)=0.75,P(A)=0.25,则在i=0.8时，P(A)+ 计算另一事件(A)发生的概率，记为P(AB)。 条件概率的计算公式为 P(A)i=0.95,令A表示某个环保项目风险投资收 益，A表示该项目风险投资亏损，P(A)为该项目风 P(AIB)=P(AB) P(B) (6) 险投资收益的概率，P(A)为该项目风险投资亏损 例如，某公司从甲、乙2个生产厂家采购了N 个节能灯泡，其中有不合格品，假定情况如表1。 的概率，则当P(A)+P(A)i=0.95>0.75时，表明 表1采购结果 该项目投资得到超预期收益，原因是该项目实施后， Table 1 The result of procurement 政府加大了对环保项目的政策性补贴，从而使该项 厂家 合格 不合格 目实际收益超过预期。 甲厂 类型3一致型后验 a b 后验值与前期给出的贝叶斯概率一致。一致型 乙厂 c d 后验公式为 现从N个节能灯泡中任意取一个，考察以下事 件：A为“取到次品”，B为“取到甲厂的”，不难得到 P(AA)=P(A)+P(A)i=P(A),i=0(7) 事件A、B以及AB(取到甲厂生产的次品)的概率 例如，设P(A)=0.98,P(A)=0.02,则在i=0 如下： 时，P(A)+P(A)i=0.98:令P(A)为某个深海潜水 P(A)=6+d (7) 器在某次下海深潜中下潜到预定深度的贝叶斯概 N 率，P(A)为不能下潜到预定深度的贝叶斯概率，则 P(B)=a N (8) 当P(A)+P(A)i=0.98时，表明该潜水器在某次下 海深潜中恰好深潜到预定深度。 P48)=R (9) 另一方面看，上面所说的“衰减”，“增益”，“一 现在考虑B发生条件下事件A发生的概率：由 致”，其实质都是一种“后验”，即由后来的事实验证 于所有可能发生的基本事件仅限于甲厂中的a+b, 先前给出的贝叶斯概率，由此可见，贝叶斯概型的赵 这当中事件A包含的基本事件为B,因此在事件B 森烽-克勤概率是蕴含了后验结果和后验值及其不 发生条件下事件A发生的概率为 确定性的一种新型概率，是能体现贝叶斯概率后验 P(AB) (10) 性和后验结果及其不确定性的一种良好的数学模 P(A B)=-b=b/N a+b (a+b)/N P(B)
摇 摇 显然袁根据赵森烽原克勤概率的性质 猿 可知不 等式渊缘冤 的左边有可能是负值遥 例如袁设 孕渊粤冤 越 园援源袁 孕渊粤 原 冤 越 园援远袁 则在 蚤 越 原 员 时袁 孕渊粤冤 垣 孕渊粤 原 冤蚤 越 原 园援圆袁 令 粤 为某项目风险投资收益袁 粤 原 为该项目风 险投资亏损袁 孕渊粤冤 为该项目风险投资收益的概率袁 孕渊粤 原 冤 为该项目风险投资亏损的概率袁则当 孕渊粤冤 垣 孕渊粤 原 冤蚤 越 原 园援圆 时袁表明亏损发生袁但由于 孕渊粤冤 垣 孕渊粤 原 冤蚤 越 园援圆约员袁又说明发生的亏损还不十分严重遥 类型 圆摇 增益型后验 例如投资获得超预期收益尧申报的项目获特批袁 开发的新产品意外地畅销袁这时的 蚤 在咱园袁员暂取值遥 增益型后验可以用以下不等式表示院 孕 粤袁粤 原 ( ) 越 孕 粤( ) 垣 孕 粤原 ( ) 蚤跃孕粤( ) 袁蚤 沂 咱园袁员暂 渊远冤 摇 摇 显然袁根据赵森烽原克勤概率的性质 猿 可知不 等式渊远冤的左边有可能是接近于 员 的值遥 例如袁设 孕渊粤冤 越 园援苑缘袁 孕渊粤 原 冤 越 园援圆缘袁 则在 蚤 越 园援愿 时袁 孕渊粤冤 垣 孕渊粤 原 冤蚤 越 园援怨缘袁 令 粤 表示某个环保项目风险投资收 益袁 粤 原 表示该项目风险投资亏损袁 孕渊粤冤 为该项目风 险投资收益的概率袁 孕渊粤 原 冤 为该项目风险投资亏损 的概率袁则当 孕渊粤冤 垣 孕渊粤 原 冤蚤 越 园援怨缘 酆 园援苑缘 时袁表明 该项目投资得到超预期收益袁原因是该项目实施后袁 政府加大了对环保项目的政策性补贴袁从而使该项 目实际收益超过预期遥 类型 猿摇 一致型后验 后验值与前期给出的贝叶斯概率一致遥 一致型 后验公式为 孕 粤粤原 ( ) 越 孕 粤( ) 垣 孕 粤原 ( ) 蚤 越 孕 粤( ) 袁蚤 越 园 渊苑冤 摇 摇 例如袁设 孕渊粤冤 越 园援怨愿袁 孕渊粤 原 冤 越 园援园圆袁 则在 蚤 越 园 时袁 孕渊粤冤 垣 孕渊粤 原 冤蚤 越 园援怨愿曰令 孕渊粤冤 为某个深海潜水 器在某次下海深潜中下潜到预定深度的贝叶斯概 率袁 孕渊粤 原 冤 为不能下潜到预定深度的贝叶斯概率袁则 当 孕渊粤冤 垣 孕渊粤 原 冤蚤 越 园援怨愿 时袁表明该潜水器在某次下 海深潜中恰好深潜到预定深度遥 另一方面看袁上面所说的野衰减冶袁野增益冶袁野一 致冶 袁其实质都是一种野后验冶 袁即由后来的事实验证 先前给出的贝叶斯概率袁由此可见袁贝叶斯概型的赵 森烽原克勤概率是蕴含了后验结果和后验值及其不 确定性的一种新型概率袁是能体现贝叶斯概率后验 性和后验结果及其不确定性的一种良好的数学模 型遥 所谓野良好冶 袁是指既满足式渊圆冤所示的归一化 要求袁又借助随机转换器 蚤 在 蚤 沂 咱 原 ∞袁员暂 的不同取 值预设了不同方向的后验和后验的不同结果曰例如 可以是对前期主观概率的一次野简单衰减冶 袁也可以 是一次野复合衰减冶 渊计及赵森烽原克勤概率中 圆 个 概率相互作用的野衰减冶 渊见本节开头和后面的例 圆冤袁甚至是野多阶段随机过程的多次简单或多次复 合衰减冶的后验曰也可以是对前期主观概率的一种 野增益冶性的后验袁还可以是对前期主观概率的野一 致冶性后验遥 虽然由已知的贝叶斯概率得出贝叶斯概型的赵 森烽原克勤概率简便容易袁但采用赵森烽原克勤概率 进行贝叶斯公式的计算不是易事袁因为涉及到赵森 烽原克勤概率的条件概率计算遥 猿 摇 基于赵森烽原克勤概率的条件概率 条件概率是概率论中的一个基本概念咱怨原员园暂 遥 顾 名思义袁就是在已知一事件渊 月 冤发生条件渊概率冤下 计算另一事件渊 粤 冤发生的概率袁记为 孕渊粤 月冤 遥 条件概率的计算公式为 孕渊粤 月冤 越 孕渊粤月冤 孕渊月冤 渊远冤 摇 摇 例如袁某公司从甲尧乙 圆 个生产厂家采购了 晕 个节能灯泡袁其中有不合格品袁假定情况如表 员遥 表 员摇 采购结果 栽葬遭造藻 员摇 栽澡藻 则藻泽怎造贼 燥枣 责则燥糟怎则藻皂藻灶贼 厂家 合格 不合格 甲厂 葬 遭 乙厂 糟 凿 摇 摇 现从 晕 个节能灯泡中任意取一个袁考察以下事 件院 粤 为野取到次品冶 袁 月 为野取到甲厂的冶 袁不难得到 事件 粤 尧 月 以及 粤月 渊取到甲厂生产的次品冤的概率 如下院 孕渊粤冤 越 遭 垣 凿 晕 渊苑冤 孕渊月冤 越 葬 垣 遭 晕 渊愿冤 孕渊粤月冤 越 遭 晕 渊怨冤 摇 摇 现在考虑 月 发生条件下事件 粤 发生的概率院由 于所有可能发生的基本事件仅限于甲厂中的 葬 垣 遭袁 这当中事件 粤 包含的基本事件为 月袁 因此在事件 月 发生条件下事件 粤 发生的概率为 孕渊粤 月冤 越 遭 葬 垣 遭 越 遭辕晕 渊葬 垣 遭冤 辕 晕 越 孕渊粤月冤 孕渊月冤 渊员园冤 窑缘源窑 智 能 系 统 学 报摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 第 员园 卷
第1期 赵克勒，等：贝叶斯概率向赵森烽-克勤概率的转换与应用 ·55· 省略式(10)中间的式子后就得到条件概率定义： 定义2设A、B为两事件，已知P(B)>0,则 显然，P.(AB)=P.(B) P.(AB) 与P(AB)=P(AB P(B) 在B发生的条件下A发生的概率为 相比，只是在各个“P”的右下角多了一个表示 P(AB)=P(AB) 联系概率的下标“c”,式(17)看上去比较复杂，但数 (11) P(B) 值计算过程并不复杂且容易展开分析：特别地，式 式(11)为A对B的条件概率，简称条件概率。 (17)左边是关于i的二次函数，右边是关于i的一 要进行赵森烽-克勤概率ZKP意义下的条件概 次函数，由此可见赵森烽-克勤概率意义下的条件 率计算，有2种算法：1)先把式(6)中的各个概率表 概率是一个关于i的二次函数，也就是说，条件概率 示成赵森烽-克勤概率：Pc(A)=p(A)+p(A)i的形 中蕴含着“二次不确定性”，由此决定了赵森烽-克 式，再作赵森烽-克勤概率的运算：2)利用式(6)的 勤概率意义下的条件概率值其实还涉及到对“一次 结果，把条件概率P(A|B)直接改写成赵森烽-克勤 不确定性”和“二次不确定性”的分析：请看后面的 概率： 例1和例2。 P(A B)+[1-P(A B)]i (12) 4 贝叶斯公式的赵森烽-克勤定理 显然，第2种算法简单。但是由第1种算法可 以导出用赵森烽-克勤概率表示的条件概率计算公 4.1贝叶斯公式 式，并展现出条件概率所蕴含的二次不确定性，说明 贝叶斯公式也称贝叶斯定理，是概率论中的一 如下： 个重要公式，其表述如下： 先利用式(1)把P(A|B)、P(AB)、P(B)分别 设A42…An,…是两两互不相容的事件，且有 改写成赵森烽-克勤概率的形式得 UA=2,P(4)>0Jj=1,2,…,则对任一事件 C[P(A B)]=Pe(A B)=P(A B)+[1-P(A B)]i B(P(B)>O)都有 (13) P(A)P(BA)P(A)P(BA) C[P(AB)]=Pe(AB)=P(AB)+[1-P(AB)]i P(A B)= P(B) ∑P(A)P(BIA;) (14) C[P(B)]=Pc(B)=P(B)+[1-P(B)]i (18) (15) 证明从略。 上述C[P(A|B)]、C[P(AB)]、C[P(B)]是 4.2基于联系数的贝叶斯公式 把概率P(AB)、P(AB)、P(B)联系数化的意思， 由于式(17)所示贝叶斯公式中的P(A:|B)是 符号“C”是联系数的英译“Connection number'”的 一个条件概率，根据赵森烽等在文献[5]中给出的 第一个字母，这里作为“联系数化”的“运算符”使 概率补数定理和前面的论述，可以联系数化得 用，不致于引起混淆时，也简称为“C运算”，例如， Pc(Ax B)=P(Ax B)+(1-P(Ag B))i(19) 对条件概率P(AB)作“C运算”，就是把条件概率 或 P(AB)联系数化，其具体的算式就是式(13)。 P(A)P(BA) Pc(A:.B)= P(A)P(BA) .+1 由此得赵森烽-克勤概率意义下的条件概率计 P(B) P(B) 算公式： (20) P(AB) 或 P.(AIB)=P.(B) Pc(Ax B)= P(A.)P(BIA) P(AIB)+[1-P(AIB)]i=P(AB)+[1-P(AB)]i ∑P(A,)P(BA) P(B)+[1-P(B)]i P(A)P(B|A)】 (16) 1 (21) 式(16)也称为贝叶斯概型的赵森烽--克勤定理。 ∑P(A)P(BA) 整理式(16)得 根据第3节，可以称式(18)是贝叶斯公式联系 {P(AB)+1-P(AB)]i}· 数化的第1种形式，或简称为一次式：式(19)和式 {P(B)+[1-P(B)]i}= (20)是贝叶斯公式联系数化的第2种形式，或简称 P(AB)+[1-P(AB)]i (17) 为二次式：在实际计算中采用何种形式，则根据问题
省略式渊员园冤中间的式子后就得到条件概率定义院 定义 圆摇 设 粤 尧 月 为两事件袁已知 孕渊月冤 酆 园袁 则 在 月 发生的条件下 粤 发生的概率为 孕渊粤 月冤 越 孕渊粤月冤 孕渊月冤 渊员员冤 式渊员员冤为 粤 对 月 的条件概率袁简称条件概率遥 要进行赵森烽原克勤概率 在运孕 意义下的条件概 率计算袁有 圆 种算法院员冤先把式渊远冤中的各个概率表 示成赵森烽原克勤概率院 孕糟渊粤冤 越 责渊粤冤 垣 责渊粤 原 冤蚤 的形 式袁再作赵森烽原克勤概率的运算曰圆冤利用式渊远冤的 结果袁把条件概率 孕渊粤 月冤 直接改写成赵森烽原克勤 概率院 孕渊粤 月冤 垣 咱员 原 孕渊粤 月冤 暂蚤 渊员圆冤 摇 摇 显然袁第 圆 种算法简单遥 但是由第 员 种算法可 以导出用赵森烽原克勤概率表示的条件概率计算公 式袁并展现出条件概率所蕴含的二次不确定性袁说明 如下院 先利用式渊员冤 把 孕渊粤 月冤 尧孕渊粤月冤 尧孕渊月冤 分别 改写成赵森烽原克勤概率的形式得 悦咱孕渊粤 月冤暂 越 孕糟渊粤 月冤 越 孕渊粤 月冤 垣 咱员 原 孕渊粤 月冤暂蚤 渊员猿冤 悦咱孕渊粤月冤 暂 越 孕糟渊粤月冤 越 孕渊粤月冤 垣 咱员 原 孕渊粤月冤 暂蚤 渊员源冤 悦咱孕渊月冤 暂 越 孕糟渊月冤 越 孕渊月冤 垣 咱员 原 孕渊月冤 暂蚤 渊员缘冤 摇 摇 上述 悦咱孕渊粤 月冤暂 尧 悦咱孕渊粤月冤暂 尧 悦咱孕渊月冤 暂 是 把概率 孕渊粤 月冤 尧 孕渊粤月冤 尧 孕渊月冤 联系数化的意思袁 符号野悦冶 是联系数的英译野 悦燥灶灶藻糟贼蚤燥灶 灶怎皂遭藻则冶 的 第一个字母袁这里作为野联系数化冶 的野运算符冶 使 用袁不致于引起混淆时袁也简称为野 悦 运算冶 袁例如袁 对条件概率 孕渊粤 月冤 作野 悦 运算冶 袁就是把条件概率 孕渊粤 月冤 联系数化袁其具体的算式就是式渊员猿冤 遥 由此得赵森烽原克勤概率意义下的条件概率计 算公式院 孕糟渊粤 月冤 越 孕糟渊粤月冤 孕糟渊月冤 越 孕渊粤 月冤 垣 咱员 原 孕渊粤 月冤暂蚤 越 孕渊粤月冤 垣 咱员 原 孕渊粤月冤暂蚤 孕渊月冤 垣 咱员 原 孕渊月冤暂蚤 渊员远冤 式渊员远冤也称为贝叶斯概型的赵森烽原原克勤定理遥 整理式渊员远冤得 { } 孕渊粤 月冤 垣 咱员 原 孕渊粤 月冤 暂蚤 窑 { } 孕渊月冤 垣 咱员 原 孕渊月冤 暂蚤 越 孕渊粤月冤 垣 咱员 原 孕渊粤月冤 暂蚤 渊员苑冤 摇 摇 显然袁 孕糟渊粤 月冤 越 孕糟渊粤月冤 孕糟渊月冤 与 孕渊粤 月冤 越 孕渊粤月冤 孕渊月冤 摇 摇 相比袁只是在各个野 孕 冶的右下角多了一个表示 联系概率的下标野糟冶袁式渊员苑冤看上去比较复杂袁但数 值计算过程并不复杂且容易展开分析曰特别地袁式 渊员苑冤左边是关于 蚤 的二次函数袁右边是关于 蚤 的一 次函数袁由此可见赵森烽原克勤概率意义下的条件 概率是一个关于 蚤 的二次函数袁也就是说袁条件概率 中蕴含着野二次不确定性冶 袁由此决定了赵森烽原克 勤概率意义下的条件概率值其实还涉及到对野一次 不确定性冶和野二次不确定性冶的分析曰请看后面的 例 员 和例 圆遥 源 摇 贝叶斯公式的赵森烽原克勤定理 源援员摇 贝叶斯公式 贝叶斯公式也称贝叶斯定理袁是概率论中的一 个重要公式袁其表述如下院 设 粤员粤圆噎粤灶 袁 噎是两两互不相容的事件袁且有 胰 躁 粤躁 越 赘袁 孕 粤躁 ( ) 跃 园袁躁 越 员袁圆袁噎袁 则对任一事件 月渊孕 月( ) 跃 园冤 都有 孕渊粤噪 月冤 越 孕渊粤噪冤孕渊月 粤噪冤 孕渊月冤 越 孕渊粤噪冤孕渊月 粤噪冤 移 躁 孕渊粤躁 冤孕渊月 粤躁 冤 渊员愿冤 证明从略遥 源援圆摇 基于联系数的贝叶斯公式 由于式渊员苑冤所示贝叶斯公式中的 孕渊粤噪 月冤 是 一个条件概率袁根据赵森烽等在文献咱缘暂 中给出的 概率补数定理和前面的论述袁可以联系数化得 孕糟渊粤噪 月冤 越 孕渊粤噪 月冤 垣 { } 员 原 孕渊粤噪 月冤 蚤渊员怨冤 或 孕糟渊粤噪 月冤 越 孕渊粤噪冤孕渊月 粤噪冤 孕渊月冤 垣 员 原 孕渊粤噪冤孕渊月 粤噪冤 孕渊月冤 { } 蚤 渊圆园冤 或 孕糟渊粤噪 月冤 越 孕渊粤噪冤孕渊月 粤噪冤 移 躁 孕渊粤躁 冤孕渊月 粤躁 冤 垣 员 原 孕渊粤噪冤孕渊月 粤噪冤 移 躁 { } 孕渊粤躁冤孕渊月 粤躁 冤 蚤 渊圆员冤 摇 摇 根据第 猿 节袁可以称式渊员愿冤是贝叶斯公式联系 数化的第 员 种形式袁或简称为一次式曰式渊 员怨冤 和式 渊圆园冤是贝叶斯公式联系数化的第 圆 种形式袁或简称 为二次式曰在实际计算中采用何种形式袁则根据问题 第 员 期摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 赵克勤袁等院贝叶斯概率向赵森烽原克勤概率的转换与应用 窑缘缘窑