步：0→古0成0=0月 2.0-0型 -→-→8品 3.0°，1，°型 0°1 f0-h0 0.in co 例4求mx.(0°)型 解原式mer二e:了8支=e°-l =e =e 例5求mx反.()型 解原ter=e=e时：e 注意：洛必达法则的使用条件 例6求 解原式血1一速=m0-如)极限不有在 (洛必达法条件不满足的情况) 正确解法为原式-m1+上c0s)=1 例7求am子+月 解设)=eam(匠+子则)='(+引 因为单到=ep血hm好+到 con -expl lim 11
11 步骤： , 1 0 或 0 1 0 0 2. −型 步骤： 0 1 0 1 − − . 0 0 0 0 − 3. 0 0 ,1 , 0 型 步骤： ⎯⎯⎯→ 0 ln ln 1 0 ln 0 1 0 0 0 取对数 0 . 例 4 求 lim . 0 x x x → + ( 0 ) 0 型 解 原式= x x x e ln 0 lim → + x x x e lim ln 0 → + = x x x e 1 ln lim 0 → + = 2 0 1 1 lim x x x e − → + = 0 = e =1. 例 5 求 lim . 1 1 1 x x x − → (1 ) 型 解 原式= x x x e ln 1 1 1 lim − → x x x e → − = 1 ln lim 1 1 1 lim →1− = x x e . −1 = e 注意：洛必达法则的使用条件． 例 6 求 . cos lim x x x x + → 解 原式= 1 1 sin lim x x − → lim (1 sin x). x = − → 极限不存在 （洛必达法条件不满足的情况） 正确解法为 原式= cos ) 1 lim (1 x x x + → =1. 例 7 求 )] 2 4 lim[tan ( n n n + → 解 设 )] 2 4 ( ) [tan ( x f x x = + ，则 )] 2 4 ( ) [tan ( n f n n = + 因为 )] 2 4 lim ( ) exp[ lim ln tan( x f x x x x = + →+ →+ = ] 1 ) 2 4 ln tan( exp[ lim x x x + →+ ] ) 2 4 tan( 1 ) 2 )( 2 4 sec ( exp[ lim 2 2 2 x x x x x − + + − = →+ = 4 e
从而原式-mf)=mf)=e 小结与思考 0 1.洛必达法划是求ō型和西型未定式极限的有效方法，但是非未定式极限却不能使用。因此在实际运 算时，每使用一次洛必达法，必须判断一次条件。 2.将等价无穷小代换等求极限的方法与洛必达法则结合起来使用，可简化计算。 3。洛必达法则是充分条件，当条件不满足时，未定式的极限需要用其他方法求，但不能说此未定式的 极限不存在。 4。如果数列极限也属于未定式的极限问题，需先将其转换为函数极限，然后使用洛必达法则，从而求 出数列极限 5。求各种未定型极限的方法是怎样的？ 〖培养学生的归纳总结的能力】 6.求极限的各种方法是怎样的关系？ 【通过实践和总结完成】 四.作业 作业见练习册 第三节泰勒公式 教学目的：理解泰勒中值定理，掌握常见泰勒公式。 教学重点：泰勒中值定理。 教学难点：泰勒中值定理和泰勒中值定理的应用。 教学过程： 一、泰勒(Taylor))中值定理的引入 对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达.由于用多项式表示的 函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算，便能求出它的函数值，因此我们经常用多项式来近似 表达函数。 12
12 从而 原式= 4 lim f (n) lim f (x) e n x = = → →+ 小结与思考 1． 洛必达法则是求 0 0 型和 型未定式极限的有效方法，但是非未定式极限却不能使用。因此在实际运 算时，每使用一次洛必达法，必须判断一次条件。 2． 将等价无穷小代换等求极限的方法与洛必达法则结合起来使用,可简化计算。 3． 洛必达法则是充分条件，当条件不满足时，未定式的极限需要用其他方法求，但不能说此未定式的 极限不存在。 4． 如果数列极限也属于未定式的极限问题，需先将其转换为函数极限，然后使用洛必达法则，从而求 出数列极限. 5. 求各种未定型极限的方法是怎样的？ 〖培养学生的归纳总结的能力〗 6. 求极限的各种方法是怎样的关系？ 〖通过实践和总结完成〗 四．作业 作业见练习册 第三节 泰勒公式 教学目的：理解泰勒中值定理，掌握常见泰勒公式。 教学重点：泰勒中值定理。 教学难点：泰勒中值定理和泰勒中值定理的应用。 教学过程： 一、泰勒(Taylor)中值定理的引入 对于一些较复杂的函数 为了便于研究 往往希望用一些简单的函数来近似表达 由于用多项式表示的 函数 只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算 便能求出它的函数值 因此我们经常用多项式来近似 表达函数
在微分的应用中已经知道，当x很小时，有如下的近似等式： e≈l+x,ln(1+x)≈x 这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子.但是这种近似表达式还存在着不足之处：首先是精确 度不高，这所产生的误差仅是关于X的高阶无穷小：；其次是用它来作近似计算时，不能具体估算出误差大 小，因此，对于精确度要求较高且需要估计误差时候，就必须用x高次多项式来近似表达函数，同时给出误 差公式 设函数f(x)在含有的开区间内具有直到n+I阶导数，现在我们希望做的是：找出一个关于x一x,的 n次多项式 P(x)=a+a(x-x)+a,(x-o)尸+.+a(x-xo)” 来近似表达f()，要求p.(x)与)之差是比(x-x,广高阶的无穷小，并给出误差 R(x=f(x)-P(x)的具体表达式 我们自然希望p.(x)与f(x)在x,的各阶导数（直到n+1阶导数）相等，这样就有 Pn(x)=a+a,(x-x)+a2(x-x)2+.+an(x-x)" P'(x)=a+2a,(x-x)+.+na(x-x)" Px)=2a+32a,(x-x)++n-1)a.(x-x)） P)=3!a,+4.3.2a.(x-x)+.+nn-1n-2)a.(x-x) .p(x)=nla. 于是p.(x)=ap(x)=ap(x)=2la,px)=3a"p(x)=a 按要求有f(x)=p.(x)=a,f'(x)=p.(x)=a, f"(x)=p(x)=2a,f"(x)=px)=3a,., f(x)=p(x)=na. 从而有a,=fx),a=f'(x,)马=7f"(). 4=3∫"6)，a=f(w), 13
13 在微分的应用中已经知道 当 x 很小时 有如下的近似等式 e x x 1+ ln(1+ x) x 这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子 但是这种近似表达式还存在着不足之处 首先是精确 度不高 这所产生的误差仅是关于 x 的高阶无穷小 其次是用它来作近似计算时 不能具体估算出误差大 小 因此 对于精确度要求较高且需要估计误差时候 就必须用 0 x 高次多项式来近似表达函数 同时给出误 差公式 设函数 f (x) 在含有的开区间内具有直到 n +1 阶导数 现在我们希望做的是 找出一个关于 0 x − x 的 n 次多项式 n n n P (x) a a (x x ) a (x x ) a (x x ) 0 2 = 0 + 1 − 0 + 2 − 0 ++ − 来近似表达 f (x) 要 求 p (x) n 与 f(x) 之差是比 n (x x ) − 0 高阶的无穷小 并给出误差 R (x) f (x) P (x) n = − n 的具体表达式 我们自然希望 p (x) n 与 f (x) 在 0 x 的各阶导数(直到 n +1 阶导数)相等 这样就有 n n n P (x) a a (x x ) a (x x ) a (x x ) 0 2 = 0 + 1 − 0 + 2 − 0 ++ − 1 1 2 0 0 ( ) 2 ( ) ( ) − = + − + + − n n n P x a a x x na x x 2 2 3 0 0 ( ) 2 3 2 ( ) ( 1) ( ) − = + − + + − − n n n P x a a x x n n a x x 3 3 4 0 0 ( ) 3 4 3 2 ( ) ( 1)( 2) ( ) − = + − + + − − − n n n P x ！a a x x n n n a x x ., n n pn (x) n!a ( ) = 于是 0 0 pn (x ) = a , 0 1 pn (x ) = a , 0 2 pn (x ) = 2!a , 0 3 pn (x ) = 3!a ,., n n pn (x0 ) n!a ( ) = 按要求有 0 0 0 f (x ) = pn (x ) = a 0 0 1 f (x ) = pn (x ) = a 0 0 2 2 f (x ) = pn (x ) = a 0 0 3 f (x ) = pn (x ) = 3!a , n n n n f (x ) p (x0 ) n!a ( ) 0 ( ) = = 从而有 ( ) 0 0 a = f x ( ) 1 0 a = f x ( ) 2! 1 2 0 a = f x ( ) 3! 1 3 0 a = f x . ( ) ! 1 0 ( ) f x n a n n =
即a=f()(k=12,n 于是就有 p.（)=f)+∫八x-)+7∫"(xx-P++f(x-xP. 二、泰勒中值定理 泰勒中值定理如果函数∫(x)在含有，的某个开区间(a,b)内具有直到n+1阶导数，则当X在 (a,b)内时，f(x)可以表示为x-x的一个n次多项式与一个余项R(x)之和，即 f(x)=f(xo)+f(xoXx-xo)+f"(xoXx-xo)+.+f(xoXx-xo)"+R(x) 其中R()=ax-6y(E介于与x之间 (n+01 证明：由假设，R(x)在(a,b)内具有直到(n+)阶导数，且 R.(x)=R(x)=R(6)==R(x)=0 两函数R(x)及(x一X)在以x及x为端点的区间上满足柯西中值定理的条件，得 Rx)=R()-R()R(5)(5介于x与x之间 x-m(-00n+-xJ 两函数R(x)及(n+1(x-x)”在以x及为端点的区间上满足柯西中值定理的条件，得 R(5) R(5)-Rx) n+W=无分m+后-P-0=n+x厂5介于与x之间，以此下去，经过a+女 次后，得P(x)=0,所以R(x)=f(x) 则由上式得R(x)=x-x广（传介于名与x之间证华 说明： 1.这里多项武2的=X-+g-r++:-r 称为函数f(x)按x-x的幂展开的n次近似多项式，公式 2.f(x)=f(x)+f(Xx-x)+jI"(Xx-x)+.+(Xx-xr+R.(x) 称为f(x)按x-x的幂展开的n阶泰勒公式，而R(x)的表达式 14
14 即 ( ) ! 1 0 ( ) f x k a k k = ( k =1,2, ,n ) 于是就有 n n n f x x x n p x f x f x x x f x x x ( )( ) ! 1 ( )( ) 2! 1 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 2 ( ) = 0 + 0 − 0 + 0 − 0 + + − 二、泰勒中值定理 泰勒中值定理 如果函数 f (x) 在含有 0 x 的某个开区间 (a,b) 内具有直到 n +1 阶导数 则当 x 在 (a,b) 内时 f (x) 可以表示为 0 x − x 的一个 n 次多项式与一个余项 R (x) n 之和，即 ( )( ) ( ) ! 1 ( )( ) 2! 1 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 2 ( ) 0 0 0 0 0 f x x x R x n f x f x f x x x f x x x n n n = + − + − + + − + 其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x ( 介于 0 x 与 x 之间) 证明：由假设, R (x) n 在 (a,b) 内具有直到 (n +1) 阶导数,且 ( ) ( ) ( ) ( 0 ) 0 ( ) R x0 = R x0 = R x0 = = R x = n n n n n 两函数 R (x) n 及 1 0 ( ) + − n x x 在以 0 x 及 x 为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 0 − − − = − + n+ n n n n x x R x R x x x R x n n n x R ( 1)( ) ( ) 1 0 1 + − = ( 介于 0 x 与 x 之间) 两函数 R (x) n 及 n (n 1)(x x ) + − 0 在以 0 x 及 1 为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得 ( 1)( ) 0 ( ) ( ) ( 1)( ) ( ) 1 0 1 0 1 0 1 + − − − = + − n n n n n n x R R x n x R 1 2 0 2 ( 1)( ) ( ) − + − = n n n n x R ( 介于 0 x 与 x 之间), 以此下去,经过 (n +1) 次后,得 ( ) 0, ( 1) = + P x n n 所以 ( ) ( ) ( 1) ( 1) R x f x n n n + + = 则由上式得 ( ) 1 0 ( 1) ( ) 1 ! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x ( 介于 0 x 与 x 之间). 证毕 说明： 1．这里多项式 n n n x x n f x x x f x P x f x f x x x ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 − + + − = + − + 称为函数 f (x) 按 0 x − x 的幂展开的 n 次近似多项式 公式 2． ( )( ) ( ) ! 1 ( )( ) 2! 1 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 2 ( ) 0 0 0 0 0 f x x x R x n f x f x f x x x f x x x n n n = + − + − + + − + 称为 f (x) 按 0 x − x 的幂展开的 n 阶泰勒公式 而 R n(x)的表达式