证明：设f闭=3 arcs-ac0s(3x-4r）, 2 31-4x2) f'(x)=- -F+0-rx0-4r序=0 1=0=天， 例5证明当x>0时， 证明：令f)=n1+)。当x>0时，显然f)在0，上满足拉格朗日中值定理的条件。根据拉格 朗日中值定，存在5e0动，俊-0=5x.由于f0=0,0=1,所以 +话，z,数1* X 1 三、柯西中值定理 柯西中值定理如果函数fs)及Fd)在闭区间[a,b)上连续，在开区间(a,b)内可导，且F()在(a,b)内每 点处均不为零，那末在(a,)内至少有一点5(a<<b),使等式fb)-@=（但成立. Fb)-Fa）F(③ 几何解释：设曲线弧C由参数方程X=)(a5x≤b)表示，其中x为参数。如果曲线C上除端点外 Y=f(x) 处处具有不垂直于横轴的切线，那么在曲线C上必有一点x=5,使曲线上该点的切线平行于连结曲线端 点的弦AB,曲线C上点x=5处的切线的斜率为少=2，弦AB的斜率为/-@.于是 dxF() F(b)-F(a) 8品得甲在雀线a上至者-点C53,八9》在孩的发行于货 [X=F(x) y=f OFO)FE)FEFO)主 6
6 证明： 设 ( ) 3arccos arccos(3 4 ) 3 f x = x − x − x ， − 2 1 , 2 1 x ，则当 ) 2 1 , 2 1 x (− 时 ， 0 (1 )(1 4 ) 3(1 4 ) 1 3 ( ) 2 2 2 2 2 / = − − − + − = − x x x x f x ，即 f (x) f (0) = ， − 2 1 , 2 1 x 。 例 5 证明当 x 0 时， x x x x + + ln(1 ) 1 。 证明：令 f (t) = ln(1+ t) 。当 x 0 时，显然 f (t) 在 0, x 上满足拉格朗日中值定理的条件。根据拉格 朗日中值定 理，存在 (0, x) ，使 f (x) f (0) f ( )x / − = 。由于 f (0) = 0 ， t f t + = 1 1 ( ) / ，所以 + + = 1 ln(1 ) x x 。又 x x x x + 1+ 1 ，故 x x x x + + ln(1 ) 1 。 注： n n n 1 ) 1 ln(1 1 1 + + ， ) 1 1 ln(1 1 + + n n n n 。 三、柯西中值定理 柯西中值定理 如果函数 f (x) 及 F(x) 在闭区间 [a,b] 上连续,在开区间 (a,b) 内可导,且 ( ) ' F x 在 (a,b) 内每 一点处均不为零，那末在 (a,b) 内至少有一点 (a b) ,使等式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' F f F b F a f b f a = − − 成立． 几何解释: 设曲线弧 C 由参数方程 = = ( ) ( ) Y f x X F x ( a x b )表示 其中 x 为参数 如果曲线 C 上除端点外 处处具有不垂直于横轴的切线 那么在曲线 C 上必有一点 x = 使曲线上该点的切线平行于连结曲线端 点的弦 AB 曲线 C 上点 x = 处的切线的斜率为 ( ) ( ) F f dX dY = 弦 AB 的斜率为 ( ) ( ) ( ) ( ) F b F a f b f a − − 于是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F f F b F a f b f a = − − , 即在曲线弧 AB 上至少有一点 C(F( ), f ( )) ,在该点处的切线平行于弦 AB. ( ) 1 F ( ) 2 o F x y = = ( ) ( ) Y f x X F x F(a) A F(b) B F(x) N M
证明：作辅助函数 a-o-8Fa-Rol 则p(x)满足罗尔定理的条件，于是在(a,b)内至少存在一点5，使得o()=0,即 f⑤-f-@r⑤=0，所以f-f@-g.证华. b-a F(b)-F(a）F'(5) 特别地当F(x)=x时，F(b)-F(a)=b-a,F(x)=1 由 f-fa-f2有)-@=3 F(b)-F(a)F() b-a 即f(b)-f()=∫"(5(b-a),故拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，而柯西中值定理是拉格朗日 中值定理的推广 例5设函数f(x)在0,1]上连续，在(0，内可导，证明：至少存在一点5∈(0,1)，使 f'(5)=2Lf(1)-f0] 玉与米#可务四0：是-得 1-0 设g(x)=x2,则f(x),g(x)在0，]上满足柯西中值定理的条件 于是至少存在一点5∈(0,1，使f0-f0-f⑤ 1-0 25 所以至少存在-点5∈0,1，使f四-0-固 1-0 25 即f'(5)=2Lf(1)-f(0] 思考题： 1、证明若函数在(-0，+∞)满足'()=f),且f0)=1,则fx)=e. 方法：px)=fx)1e,o'()=0
7 证明: 作辅助函数 [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x F a F b F a f b f a x f x f a − − − = − − 则 (x) 满足罗尔定理的条件，于是在 (a,b) 内至少存在一点 ，使得 ( ) = 0 , 即 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) = − − − F b a f b f a f , 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F f F b F a f b f a = − − ．证毕． 特别地 当 F(x) = x 时, F(b) − F(a) = b − a, F(x) =1 由 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F f F b F a f b f a = − − 有 ( ) ( ) ( ) f b a f b f a = − − 即 f (b) − f (a) = f ( )(b − a), 故拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，而柯西中值定理是拉格朗日 中值定理的推广. 例 5 设函数 f (x) 在 [0,1] 上连续,在 (0,1) 内可导,证明:至少存在一点 (0,1) ，使 f f f ( ) 2 [ (1) (0)] = − 证明与分析: 结论可变形为 2 ( ) 1 0 f (1) f (0) f = − − = = x x f x ( ) ( ) 2 设 2 g(x) = x ，则 f (x), g(x) 在 [0,1] 上满足柯西中值定理的条件 于是至少存在一点 (0,1) ，使 2 ( ) 1 0 f (1) f (0) f = − − 所以至少存在一点 (0,1) ，使 2 ( ) 1 0 f (1) f (0) f = − − 即 f ( ) = 2[ f (1) − f (0)] 思考题： 1、证明若函数 f (x) 在 (−,+) 满足 ( ) ( ) / f x = f x ，且 f (0) = 1 ，则 x f (x) = e 。 方法： x (x) = f (x)/ e ， ( ) 0 / x =
2、设f)∈Ca,b,在(a,b)内二阶可导，若曲线y=fx)与点(a,f(a)、(6,fb)的连线交于 点(cf(c》,其中ce(a,b),则存在5e(a,b),使f"(5)=0。 3、设不为常数的函数f)∈Ca,月，在a,b)内可导，且fa)=f),则存在5∈(a,b),使得 f'(>0. 方法：由题意知，存在c∈(a,b),使f(c)≠f(a。若f(c)>f(a,则存在5∈(a,c),使 ()-K(o-fa0 c-a 若f(c)<f(a,则存在ne(c,b),使 f'm=f)-f@0 6-c 4、设f,gx)∈Ca】,在a,b)内可导，则存在5e(a,b),使得 o r- g(a）g(b) 方法：F)=f(a)g(x)-g(afx). 小结与思考： 1,罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广：拉格朗日中值定理 是柯西中值定理的特例，而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，使用时要注意中值定理成立的条件， 2,罗尔定理的几何意义是什么？ 【将抽象而严格的数学定理形象化和生动化，既是学习过程中的有效方法，也是培养观察能力，进行 科学研究的基础】 3.如何证明拉格朗日中值定理？ 〖通过几何观察和动画演示，引导学生作出曲线扭曲的方法：通过结论分析，结合罗尔定理的结论， 启发学生得出结论 4.柯西中值定理的错误证明给我们什么启示？ 【先作出柯西中值定理的错误证明，让学生查错刀 作业：作业见练习册 8
8 2、 设 f (x)Ca,b ，在 (a,b) 内二阶可导，若曲线 y = f (x) 与点 (a, f (a)) 、(b, f (b)) 的连线交于 点 (c, f (c)) ，其中 c (a,b) ，则存在 (a,b) ，使 ( ) 0 // f = 。 3、设不为常数的函数 f (x)Ca,b ，在 (a,b) 内可导，且 f (a) = f (b) ，则存在 (a,b) ，使得 ( ) 0 / f 。 方 法： 由题意知，存在 c (a,b) ，使 f (c) f (a) 。若 f (c) f (a) ，则存在 (a, c) ，使 0 ( ) ( ) ( ) / − − = c a f c f a f ；若 f (c) f (a) ，则存在 (c,b) ，使 0 ( ) ( ) ( ) / − − = b c f b f c f 。 4、设 f (x), g(x)Ca,b ，在 (a,b) 内可导，则存在 (a,b) ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / / g a g f a f b a g a g b f a f b = − 。 方法： F(x) = f (a)g(x) − g(a) f (x)。 小结与思考： 1.罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广; 拉格朗日中值定理 是柯西中值定理的特例，而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广. 使用时要注意中值定理成立的条件. 2.罗尔定理的几何意义是什么？ 〖将抽象而严格的数学定理形象化和生动化，既是学习过程中的有效方法，也是培养观察能力，进行 科学研究的基础〗 3.如何证明拉格朗日中值定理？ 〖通过几何观察和动画演示，引导学生作出曲线扭曲的方法；通过结论分析，结合罗尔定理的结论， 启发学生得出结论〗 4.柯西中值定理的错误证明给我们什么启示？ 〖先作出柯西中值定理的错误证明，让学生查错〗 作业：作业见练习册
第二节洛必达法则 教学目的：理解洛必达法则，掌握用洛必达法则求8型和二型以及0：0,0一山型未定式的极限的方法 了解0°，1，口°型极限的求法 教学重点：洛必达法则。 教学难点：理解洛必达法则失效的情况，0·0,0一0型的极限的求法. 教学过程： 一。日型和巴型未定式的解，法洛必达法则 :若当x→a(或x→o)时.函数f)和F都趋于或无穷大.则极限m 在、也可能不存在，通常称为0型和贮型未定式 0 物马学，(g马细是号 定理：设（①）当x→0时，函数fx)和Fx)都趋于零 (2)在a点的某去心邻域内，了(x)和F(x)都存在且F(x)≠0： 自巴周在黄无穷丸 则得周 证明：作辅助函数 - 在U(a,⊙)内任取一点x,在以a和x为端点的区间上函数f(x)和F)满足柯西中值定理的条件，则有 得侧品得在与之间 当x→0有5→a,所微当如铝小有得 故巴得典得=4E华 9
9 第二节 洛必达法则 教学目的：理解洛必达法则，掌握用洛必达法则求 0 0 型和 型以及 0, − 型未定式的极限的方法; 了解 0 0 0 ,1 , 型极限的求法. 教学重点：洛必达法则. 教学难点：理解洛必达法则失效的情况, 0, − 型的极限的求法. 教学过程： 一． 0 0 型和 型未定式的解：法洛必达法则 定义：若当 x →a （或 x → ）时，函数 f (x) 和 F(x) 都趋于零(或无穷大)，则极限 ( ) ( ) lim ( ) F x f x x x a → → 可能存 在、也可能不存在，通常称为 0 0 型和 型未定式. 例如 x x x tan lim →0 , ( 0 0 型); bx ax x ln sin ln sin lim →0 , ( 型). 定理：设 (1)当 x →0 时, 函数 f (x) 和 F(x) 都趋于零; (2)在 a 点的某去心邻域内, f (x) 和 F(x) 都存在且 F(x) 0 ; (3) ( ) ( ) lim ( ) F x f x x x a → → 存在(或无穷大), 则 ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x x a x a = → → 证明:作辅助函数 = = x a f x x a f x 0, ( ), ( ) 1 , = = x a F x x a F x 0, ( ), ( ) 1 在 U(a, ) 内任取一点 x , 在以 a 和 x 为端点的区间上函数 ( ) 1 f x 和 ( ) 1 F x 满足柯西中值定理的条件, 则有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x F a f x f a F x f x − − = ( ) ( ) F f = , ( 在 a 与 x 之间) 当 x →0 时,有 → a , 所以当 A F x f x x a = → ( ) ( ) lim , 有 A F f a = → ( ) ( ) lim 故 A F f F x f x x a a = = → → ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim . 证毕
说明】如果阳得勿属于8型且/有F四济足海参达法测的条件，可维线位用洛金达法即 需-得得. 2当→四味谈进测份槛成立有巴侣典得 3.对x→a(或x→0)时的未定式”，也有相应的洛必达法则 4.。洛必达法则是充分条件 5。如果数列极限也属于未定式的极限问题，需先将其转换为函数极限，然后使用洛必达法则，从而 求出数列极限. 0 例1求下列极限(“0”型) r-少-x In tan(ax) (1) (2 tar(b) (a>0,b>0) 1 =lim 2m。x 解：(1)原式 (2)原式 阅1 州2求马部（倍到 由船中 解原式60o8r9m云 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好 例3求里 解原与担产月 二.00,0-0,0°，1,0°型未定式的求法 关键：将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型8型和二型 1.00型未定式的求法 10
10 说明: 1.如果 ( ) ( ) lim F x f x x a → 仍属于 0 0 型, 且 f (x) 和 F(x) 满足洛必达法则的条件,可继续使用洛必达法则, 即 = = = → → → ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x F x f x x a x a x a ; 2.当 x → 时, 该法则仍然成立, 有 ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x x x = → → ; 3.对 x →a （或 x → ）时的未定式 ，也有相应的洛必达法则; 4. 洛必达法则是充分条件; 5. 如果数列极限也属于未定式的极限问题，需先将其转换为函数极限，然后使用洛必达法则，从而 求出数列极限. 例 1 求下列极限（“ ”型） （1） x x x x 2 tan ln( 1) lim 1 0 − − → + （2） ln tan( ) ln tan( ) lim 0 0 bx ax x→ + （ a 0,b 0 ） 解：（1）原式 0 1 2 cos lim 2 2 )sec 2 ( 1 1 1 lim 2 1 0 2 2 1 0 = − = − − − − = → + → + x x x x x x x ； （2）原式 1 sec ( ) sec ( ) tan( ) tan( ) lim 2 2 0 0 = = → + b bx a ax ax bx x 。 例 2 求 bx ax x ln sin ln sin lim →0 , ( 型). 解 原式= b bx ax a ax bx x cos sin cos sin lim 0 → = ax bx x cos cos lim →0 =1 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好. 例 3 求 x x x x x tan tan lim 2 0 − → 解 原式= 3 0 tan lim x x x x − → = 2 2 0 3 sec 1 lim x x x − → = 2 2 0 tan lim 3 1 x x x→ = 3 1 二． 0 0 0, −,0 ,1 , 型未定式的求法 关键: 将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 0 0 型和 型. 1． 0 型未定式的求法