第三课单自由度振动系统的强迫振动 ●主要内容： ■强迫振动的振源可分别作用在质量和基础上，学习三种。 ■第一类强迫振动：幅相频特性 ■第一类强迫振动：单位谐函数法 ■第二类强迫振动：偏心激励 ■第三类强迫振动：基础运动 ■随处可见的共振现象 ●1.1第一类强迫振动：幅相频特性： ■强迫振动提供系统持续振动的能量。 ■强迫振动的振源形式多样，但均可处理为简谐激励的叠加。 ■研究简谐形式下，三种激励特征的强迫振动是基础 ■求解有阻尼强迫振动的特解，<支撑材料1-2> ◆初始条件无关稳态振动太武断，进一步求解<支撑材料3> ◆强迫振动的解由三部分组成，第三、四项造成拍频。 ■第一类强迫振动： ◆质量上作用个激励，希望质量运动不要过于剧烈。 ◆位移共振的频率，略小于固有频率<支撑材料4>。 ◆激励频率略大于固有频率，才有可能实现减振效果。 ◆阻尼越大，减振效果越好。 ◆品质因子定义共振程度，可测阻尼大小。<支撑材料5> ◆相位突变恰在固有频率，这是验证共振的重要特征。 ●1.2单位谐函数法 ■本质是把正弦激励转为复激励，设复振幅解，求输出相应。 ■H(ω)是单位复激励下复响应，单位化是频响。<支撑材料6> ■频率响应，包括幅频和相频响应，是系统对不同频率单位正
1 第三课 单自由度振动系统的强迫振动 主要内容： 强迫振动的振源可分别 强迫振动的振源可分别作用在质量和基础上 作用在质量和基础上 作用在质量和基础上，学习三种。 第一类强迫振动：幅相频特性 第一类强迫振动：单位谐函数法 第二类强迫振动：偏心激励 第三类强迫振动：基础运动 随处可见的共振现象 1.1 第一类强迫振动：幅相频特性： 强迫振动提供系统持续振动的能量。 强迫振动的振源形式多样，但均可处理为简谐激励的叠加。 研究简谐形式下，三种激励特征的强迫振动是基础。 求解有阻尼强迫振动的特解，<支撑材料 1-2> 初始条件无关稳态振动太武断，进一步求解<支撑材料 3> 强迫振动的解由三部分组成，第三、四项造成拍频。 第一类强迫振动： 质量上作用个激励，希望质量运动不要过于剧烈。 位移共振的频率，略小于固有频率<支撑材料 4>。 激励频率略大于固有频率，才有可能实现减振效果。 阻尼越大，减振效果越好。 品质因子定义共振程度，可测阻尼大小。<支撑材料 5> 相位突变恰在固有频率，这是验证共振的重要特征。 1.2 单位谐函数法 本质是把正弦激励转为复激励，设复振幅解，求输出相应。 H(ω)是单位复激励下复响应，单位化是频响。<支撑材料 6> 频率响应，包括幅频和相频响应，是系统对不同频率单位正
弦激励的响应特征，表征了系统的振动特性。 ●1.3第二类强迫振动：偏心激励 ■质量上作用个偏心转子激励，希望质量运动不要过于剧烈。 ■低频不振，中频共振与阻尼有关，高频等幅振动与阻尼无关。 ■希望系统固有频率远高于激励频率，这样才可能减振。 ●14第三类强迫振动：基础运动 ■质量上作用个激励力，希望质量运动不要过于剧烈， ■求解过程见<支撑材料7> ●1.5随处可见的共振现象 ■共振原理的浅显理解<支撑材料8> ■耳膜没有固定的震频吗？<支撑材料9>
2 弦激励的响应特征，表征了系统的振动特性。 1.3 第二类强迫振动：偏心激励 质量上作用个偏心转子激励，希望质量运动不要过于剧烈。 低频不振，中频共振与阻尼有关，高频等幅振动与阻尼无关。 希望系统固有频率远高于激励频率，这样才可能减振。 1.4 第三类强迫振动：基础运动 质量上作用个激励力，希望质量运动不要过于剧烈。 求解过程见<支撑材料 7> 1.5 随处可见的共振现象 共振原理的浅显理解<支撑材料 8> 耳膜没有固定的震频吗？<支撑材料 9>
●求解振动问题为什么假设正弦解<支撑材料1> 回顾单自由度无阻尼自由振动方程的求解，由于位移的二阶导数 +A*位移自身等于0。若要恒成立，必然是位移二阶导数与自身具有相 同的形式。从这一角度考虑假设解的形式为三角函数叠加，或者指数函 数形式。到有阻尼强迫振动时，也可以类似设想。前提，任何激励都可 分解成简谐函数的叠加，因此只研究简谐函数激励即可。此时，左边是 位移，速度和加速度项之和，要向左侧和右侧恒成立，必然位移的二阶 导和一阶导与自身有相同的形式，于是，仍然可以假设为三角函数叠加， 或者指数函数形式。 另一方面，什么叫线性系统？就是满足线性和叠加性的系统。既然 满足线性，那么我激励是正弦的，输出必然也是正弦的，不然怎么满足 线性？ 3
3 求解振动问题为什么假设正弦解<支撑材料 1> 回顾单自由度无阻尼自由振动方程的求解，由于位移的二阶导数 +A*位移自身等于 0。若要恒成立，必然是位移二阶导数与自身具有相 同的形式。从这一角度考虑假设解的形式为三角函数叠加，或者指数函 数形式。到有阻尼强迫振动时，也可以类似设想。前提，任何激励都可 分解成简谐函数的叠加，因此只研究简谐函数激励即可。此时，左边是 位移，速度和加速度项之和，要向左侧和右侧恒成立，必然位移的二阶 导和一阶导与自身有相同的形式，于是，仍然可以假设为三角函数叠加， 或者指数函数形式。 另一方面，什么叫线性系统？就是满足线性和叠加性的系统。既然 满足线性，那么我激励是正弦的，输出必然也是正弦的，不然怎么满足 线性？
●求解有阻尼强迫振动的特解<支撑材料2> (k-mw)X=F。cosp coX=Fosino ·平方，开根号，求振幅 (k-max=Fcos c2arx2=F2sin2o (k-max2+cax2=Fo'sin+Fcoso (k-mai)+cax2=F2 F X=k-mw扩+6a ·相除，求初相位 (k-ma)X=F cos cax=Fosin coX (k-ma)x=tano o=tan"(k-mo) ·进一步引入阻尼比等 X= √k-mwyP+c2a Fo/k h-5o Fo/k h-,a证-aa门swa亦石 F/k u m品m号m合m
4 求解有阻尼强迫振动的特解<支撑材料 2> 2 0 0 ( ) cos sin k m X F c X F ω φ ω φ − = = 平方，开根号，求振幅 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 ( ) cos sin ( ) sin cos ( ) ( ) k m X F c X F k m X c X F F k m c X F F X k m c ω φ ω φ ω ω φ φ ω ω ω ω − = = − + = + − + = = − + 相除，求初相位 2 0 0 2 1 2 ( ) cos sin tan ( ) tan ( ) k m X F c X F c X k m X c k m ω φ ω φ ω φ ω ω φ ω − − = = = − = − 进一步引入阻尼比等 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 2 1 1 1 0 2 2 ( ) 2 (1 ) (1 ) 1 (2 2 1 2 (1 ) tan ( ) 2 2 tan tan tan ( ) ( ) 1 n n n n n n n n n n F X k m c F k F k c m k k F k F k F k c k m c m k m k m ω ω ω ζ ω ω ζ ω ω ω ω ζ ω ω λ ζλ ω ω ω ζ ω ω ω ω ω φ ω ζ ω ζ ω ω ζ ω ω ω ω ω − − − − = − + = = − + − + = = = − + − + − + = − = = = − − − （ ） ） ( ) 1 2 2 2 = tan 1 n ζλ ω λ − −
●初始条件无关稳态振动太武断<支撑材料3> x=Ce-cos@+Ce sin+ X sin a 1-+(262 x(0)=x0(0)= o=C C=0 =-S@.Cesu cos@1-@Ce so sin@t+ -5@Cze-sin @+@Ce-s cos@1+- )osa XO Xo =-50C,+0C3+ V1-'+(2 C,=玉+@ Xo @@@,V-+2 x=xe-5 cos@1+- X -sin @x -+(2 +玉+细玉 @V1-）+(259
5 初始条件无关稳态振动太武断<支撑材料 3> ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 0 0 0 1 1 0 0 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 e cos e sin sin 1 2 (0) (0) e cos e sin e sin e cos cos 1 2 1 2 n n n n n n t t d d t t t t n d d d t t n d d d n d X x C t C t t x x x x x C C x x C t C t X C t C t t X C C C ζω ζω ζω ζω ζω ζω ω ω ω λ ζλ ζω ω ω ω ω ζω ω ω ω ω λ ζλ ω ζω ω λ ζλ − − = − − = − − = + + − + = = = = = − − + − + + − + = − + + − + = ɺ ɺ ɺ ɺ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 2 2 0 2 2 2 0 0 2 2 2 1 2 e cos sin 1 2 e sin 1 2 n n n d d d t d n t d d d d x x X X x x t t x x X t ζω ζω ζω ω ω ω ω λ ζλ ω ω λ ζλ ζω ω ω ω ω ω λ ζλ − − + − − + = + − + + + − − + ɺ