基于Bayes分析小批量生产量控制与诊断

D0I:10.13374/j.issn1001053x.1998.06.021 第20卷第6期 北京科技大学学报 Vol.20 No.6 1998年12月 Journal of University of Science and Technology Beijing Dec.1998 基于Bayes分析小批量生产质量控制与诊断 卜祥民孙静张公绪 北京科技大学管理学院，北京100083 搞要应用Bays分析方法，充分利用历史信息，得出优化的参数估计，从而得出小批量控制图与 选控图，并实现了小批量情形的两种质量诊断理论，通过实例表明该理论估计符合实际， 关键词Bayes估计；常规估计；小批量休哈特控制图；小批量选控图 分类号0213.1 小批量生产的特点是批量小、样本少.根据统计理论，小样本估计不可靠，所以不能按常 规方法建立控制图.FS.Hillier及C.P.Quesenberry等人L.2i从构造其分布不含参数的统计 量人手来建立控制图，但可以证明，这样建立的小批量控制图对生产过程中出现异常的检出 能力远低于参数已知时常规控制图的检出能力.至今，还没有小批量生产的质量诊断理论， 本文以Bayes分析为理论依据，充分利用历史批产品的质量信息和当前生产的小样本， 给出当前产品质量指标的分布参数及回归系数的优良估计，从而得到小批量休图（它优于F S.Hillier等人的小批量休图)和小批量选控图，实现重复性小批量生产的质量控制和诊断. 1基于Bayes分析的小批量质量控制 如果过去产品的质量符合要求，一个自然的想法是尽量维持当前产品质量与以往一致， 因此要求尽可能维持人、机、料、法、环等各要素与历史上的相同.然而，由于种种原因，细微的 差别总是存在的，因此一般来说，不同批质量指标总体N(u,σ)的参数会有些差别，但差别不 大，可以视参数4，心分别服从某一先验分布F),G(d).由于所作估计是统计推断，已包含出 现偏差的可能，出现偏差就会产生损失，现实问题的这2个特点正符合Byes分析的要 求.Bayes分析假设指标的分布参数包含先验分布，利用这一先验分布和当前样本对参数作 统计推断.在先验分布选择合理且其方差较小的条件下，小样本Bayes估计能很好地改进常 规估计.因此可充分利用过去生产的样本和现在生产的较小样本，给出当前产品质量指标参 数的Byes估计.由于重复性生产的特点，各批指标的差别不大，因而先验分布方差很小.另 外，这里应用工程估计法去寻找先验分布，使所作的假设客观合理，由此得到的Bays估计应 是比较理想的， Byes分析只对单参数指数族有比较良好的结果，而这里的分布有2个参数(u和g2),为 能应用Bayes分析理论，我们的作法是先求c的Bayes估计，然后在a已知的条件下利用原样 本再求u的Bayes估计， 199712-25收稿卜样民男，30岁，副牧授，博士 ·国家自然科学基金资助课题

第20卷 第6期 1 9 8年 1 2 月 北 京 科 技 大 学 学 报 OJ u r n a l o f U n i v e r s i ty o f cS i e n e e a n d T e e h n o l o g y B e i j i n g V 0 1 . 2 0 N 0 . 6 】k e . 1 9 9 8 基于 B a y es 分析小批量生产质量控制与诊断 卜祥 民 孙 静 张公绪 北京科技大学管理学 院 . 北京 10 0 0 8 3 摘要 应用 B ay es 分析方法 , 充分利用历史信息 , 得 出优化的参数估计 , 从而得 出小批量控制 图与 选控 图 , 并实现了小批量情形 的两种质量诊断理论 . 通过实例表 明该理论估计符合实际 . 关扭词 B ay es 估计 ; 常规估计 ; 小批量休哈特控制 图; 小批量选控图 分类号 0 2 1 3 . 1 小 批 量 生 产的特 点 是批 量小 、 样 本少 . 根据 统计理 论 , 小样 本估计 不 可靠 , 所 以 不 能 按 常 规方 法 建立 控 制 图 . E 5 . 托 ht er 及 c . P . uQ e s en be 叮 等人 l, ’ l从构造 其分布 不 含参数 的统 计 量人 手 来建立 控 制 图 , 但可 以证明 , 这样建 立的小 批量控 制 图对生产 过程 中出现异 常 的检 出 能力 远 低于 参数 已 知 时常规控 制 图的检 出能 力 . 至今 , 还没有 小批 量生 产 的质量 诊断 理论 . 本 文 以 B ay es 分析为 理论依 据 , 充分利用历 史批 产品的质 量 信息 和 当前 生 产 的小样 本 , 给 出 当前 产品质量 指 标的分布 参数及 回归系数的优 良估计 , 从而 得到 小批 量休 图 (它 优于 E 5 . 托 lh er 等 人 的小批量休 图 ) 和小 批量 选控 图 , 实现重复 性小 批量生 产 的质量 控制 和诊 断 . 1 基于 B a ye s 分析的小批最质量控制 如果 过 去 产 品 的质 量符合要 求 , 一 个 自然 的想 法是尽 量 维持 当前产 品质量 与 以 往一致 . 因此要 求尽可 能维持 人 、 机 、 料 、 法 、 环等各要 素与历史 上的相 同 . 然而 , 由于种 种 原因 , 细微 的 差别总是 存在 的 , 因此 一 般来说 , 不 同批质量指标总体 峋 沼 , 犷)的参数会有些 差别 , 但差别不 大 , 可 以 视 参数拜 , 了分别服 从某 一 先验分 布 你) , (G 了) . 由于所 作估 计是 统计推 断 , 已 包含 出 现 偏 差 的 可 能 , 出 现 偏 差 就 会 产生 损 失 . 现 实 问题 的 这 2 个 特 点正 符 合 B ay es 分 析 的 要 求 . B ay es 分 析 假设指标 的分布 参数 包含 先 验分 布 , 利 用 这一 先验 分 布和 当前样 本 对参数作 统 计推 断 . 在 先验 分 布选择合理 且 其方 差较 小 的条件下 , 小 样 本 B ay es 估计能很好地 改 进 常 规估计 . 因 此可 充 分利 用 过 去生 产的样本 和现在 生 产的较 小样 本 , 给 出 当前 产 品质 量 指标参 数的 B ay es 估计 . 由于 重复性 生 产的特 点 , 各批 指标 的差别不大 , 因而先 验分布 方差很 小 . 另 外 , 这 里应用工 程估计法去 寻找先 验分 布 , 使所作 的假 设客观合理 , 由此得到 的 B ay es 估计应 是 比较理想 的 . B ay es 分析只对单参数指数族有 比较 良好 的结果 , 而这 里 的分布有 2 个参数 恤和 扩) , 为 能 应用 B ay es 分 析理 论 , 我 们的作法是 先求少的 B ay es 估计 , 然 后在扩已 知的条 件下利 用原样 本再求拜的 B ay es 估计 . 19 9 7 . 12 . 2 5 收稿 卜祥 民 男 , 30 岁 , 副教授 , 博士 * 国 家 自然科学基金资助课题 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1998. 06. 021

Vol.20 No.6 卜样民等：基于Bayes分析的小批量生产质量控制与诊断 ·599· 1.1 参数σ的小样本优良估计， Bayes分析需要首先确定参数的先验分布和估计的损失函数，为保证所选的先验分布既 便于数学处理又能真实地反映参数的波动情况，假设先验分布为逆T分布，lod2~T(a,b),根 据历史数据应用工程估计法来估计a,b. 设有历史生产过程的m批样本：x1“Xm…,Xm“,xm (1) 式中：x~N,(u,0,j=1,,ni=1,,m(m>10,n>20). 记s“2(6,-小3，从=点s54-25可得a6的估值4=1=z”G M, M b= M-M有了a,6便得到了先验分布.下面给出损失函数， 在已取得当前生产的一组样本x=(飞，“，x)后，记()为的估计，取二次函数 (6(x9,)=h·(6()-o)2为参数真值是o2、估计值是6()时的损失.现在给出o2的Bayes估 计. 设已获得样本x,…,x,由于S是o的充分统计量，故可直接从S出发考虑问题.由于二 次损失下参数的后验均值即是其Bayes估计.所以o2的Bayes估计为： =G1=,9+2b 2a+(n-3) 1.2均值u的小样本优良估计 现在解决正态分布的另一参数一均值μ的检验与估计问题，其思路和方法与σ的检验 与估计相同.这里的基本前提是：已获得了当前生产过程方差的估计（从文献[2]已知：只要 先验分布真实地反映σ的变化，而且方差不大，则σ是十分优良的估计).这里在方差已知情 况下讨论均值问题， 设有某产品的5批历史样本： ,X’,无，x (2) x,~Mu,)(G已知，它根据先验分布及标准变换后的x,,xn用Byes估计法求出；j=1, …,r,i=1,…,x~N4,)(2已知，k=1,…,)为当前生产过程的1组样本，41…，44 独立同分布于某一先验分布，方差已知时，可取μ的先验分布为NMc,).其中c,d如下确定： 假如前面已有较多批的生产，每批有较多的样本如（式2） 令2：K-2k=,亡产-K八则K,k德是6d之矩估计. 下面给出参数估计的损失函数并求出u的Bayes估计. 在已取得当前生产的1组样本x=(:,…,x)后，记6《)为的估计，取二次函数6'(， w)=,d8'(x)-)为参数真值是u、估计值是6'(x)时的损失.于是得μ的Bayes估计为： 4B=Euy)=rd+co/rd+o,其中y=x. l.3基于Bayes分析的小批量休哈特控制图 在参数已知的情况下，常规休图优于Q控制图及Hillier等人建立的小批量x-R控制图 等，而常规休图应用于小批量生产过程的难点是，因为样本少，不能得到较理想的常规参数估

V o l . 2 0 N O . 6 卜祥 民等 :基 于 B ay se 分析的小批量生产质量 控制与诊 断 1 . 1 参数 a Z的 小样本优良估计 ’ 31 B ay se 分析 需 要 首先 确定 参数 的先验分 布 和估 计的损 失 函 数 . 为保证所选 的先 验 分布 既 便 于数 学处理 又 能 真 实地 反 映 参数 的波 动情 况 , 假 设先验 分 布 为逆 r 分 布 , 1勺, 一 (r a , b) , 根 据历 史数据应用 工程 估计法来 估计 a , b . 设 有 历史 生产过 程 的 m 批样 本 : xl , ” ,xl 扩’, 气 ,1 ” 蠕 . (l ) 式 中 : x 。一 N, 恤 , a , , ) , j = l , 一 n ` ; i 一 l , 一 m (m > 1 0 , n , > 2 0 ) · 1 上 l _ 、 1 . 理 , I J 七 几f 自 记 S 子= 一二二一 ) (工 一 二 } 2 , 从 = 去》 S 子 , 从 = 今) S 乎 , 可 得 a , b 的估值4 = 1 = = , 斗下 , 。 一 1昌 “ , ’ ` ’ m昌 “ m昌 ” 一 城 一 鲜 从从 从 一 M : . 有 了 d , 石 , 便得到 了先验 分布 . 下面 给出损失 函数 . 在 已 取 得 当 前 生 产 的 一 组 样 本 x = (xl , … , 、 ) 后 , 记 (x) 为 a ’ 的 估 计 , 取 二 次 函 数 双叔x) , 犷) = h · (6 (x) 一 扩) ’ 为参数真值是 少 、 估 计值是 创x) 时的损失 . 现 在给 出了的 B ay es 估 计 . 设 已获 得样 本 xl , … , x 。 , 由于 S 是 a ’ 的充分 统计量 , 故 可直 接从 S 出发 考虑 问题 . 由于 二 次损失 下参数的后 验均值即是其 B ay es 估计 . 所 以 a ’ 的 B ay es 估计为 : 心 二 (E a ’ }习 = s + Zb Z a + ( n 一 3 ) 1 . 2 均询 理的小样本优良估计 现 在解 决正态 分布 的另 一参数— 均 值召的检验 与 估计 问题 , 其 思 路 和方 法 与a ’ 的检 验 与估计相 同 . 这里 的基本前 提是 : 已获 得 了 当前 生产 过程方 差 的估计 嵘(从文 献 【2] 已 知 : 只要 先 验分 布真 实地 反 映扩的变化 , 而且 方 差不 大 , 则嵘是 十分优 良的 估计 ) . 这 里 在方 差 已 知 情 况下 讨论均值间题 . 设有某 产品的 s 批历 史样本 : xl l , ” ” xl r , ` ’ ` , xs L, ” ’ , xs .r 养 ,一 雌 ` , 峭 (讨已 知 , 它根 据先验分 布及标 准变换 后 的 气, , … , 气 . 用 B ay es 估计法 求出 ; j = ( 2 ) 1 , 一 ir, i = l, 一 ;s) 瓜一 雌 , 少) ( 少已 知 , k = 1 , … , )r 为 当前生产过程 的 1 组样本 , 产 1 , … , 热 , 拜 独立 同分 布于某一 先验分 布 . 方差 已 知时 , 可取产的先 验分 布为 N( 。 , 力 . 其中 。 , d 如 下确 定 : 假 如前面 已有 较多批 的生产 , 每 批有 较多的样 本 如 ( 式 2) . 令、 一 洛 ; 长 一 睿 、 一 游 (又 一 、 , 则凡 , 尤 , 一 “ 之 矩估计 · 下 面给 出参数估计的损失 函数并求出产的 Bay se 估计 . 在 已 取得 当前 生产 的 1组样 本 x = xl( , … , 劝 后 , 记 占,( x) 为群的估计 , 取 二次函 数 双6 ` ( x) , u) = . d( 占 ` (x) 一 川 ’ 为参数真值是拜 、 估 计值是 占 ’ (x) 时的损失 . 于是 得产的 B ay e s 估计为 : 产。 二 即叻 = r dy + c 扩 / dr + 少 , 其 中 y 二 又 1 . 3 基于 B ay es 分析 的小 批 . 休哈特控 制 图 在 参数已 知 的情 况下 , 常规休 图优于 Q 控制 图及 环川e : 等人 建 立 的小批 量又一 R 控制 图 等 . 而常规休 图应用 于小批量生 产过程 的难 点是 , 因为样 本少 , 不 能得 到较 理想 的常规参数估

·600· 北京科技大学学报 1998年第6期 计.现在，4和a2的优良估计4和o就解决了这个困难.下面以4和o为已知参数，按常规方 式做控制图： UCL =ua 308i CL=MBi LCL MB 308 2基于Bayes分析的小批量质量诊断 质量诊断是通过总质量与分质量来实现的.张公绪教授于1982年提出将本工序总质量 分解为上工序影响（简称上影）和本工序分质量).根据这三者就能诊断出异因何在，总质量 可用休图描述，分质量可用选控图描述.在选控图中要用到回归方程.回归方程的系数及分质 量的参数都需要估计，在大样本时用常规估计法即可，小样本时常规估计缺乏稳定性，我们仍 然应用Bayes分析方法对其改进. 2.1回归方程系数的Bayes估计 (1)回归方程的选择. 设X为上工序指标，Y为下工序指标，则在生产过程正常情况下，Y与X是有统计相关规 律的，这种规律性可表示为Y=f()+ε.其中，f()为x的解析函数(f()=4()+C,其中 C为本工序分质量均值)，e~N(0,0(未知)f()反映上工序影响（简称上影），e反映本工 序偶然因素的影响.根据问题的特点，我们可取∫()为线性函数、二次函数、指数函数、对数函 数、倒数函数等.一般先用样本(x,y)=1,…,)描点，作散布图，从中看出YX的关系和哪 种函数接近，就选哪种函数.∫()称为Y对X的回归函数.无论哪一种函数经过一定变换都可 以转化为线性函数，进而用线性回归理论求得f()的估计，另外根据连续函数的多项式通近 定理，可以将∫()取为多项式函数，而且通过方程及其系数的显著性可以确定方程的阶及保 留的项.假设回归方程如下： y=b。+bx+bX+…+bX+e, 其中，bi=0,1,…,p)待估. 设（飞y),(:y,)…,(化y)为来自上工序、本工序的一组样本，记 Y=0y2…y)'b=(bo…,b,)' (3) X x X= (4) X 根据回归分析的有关理论，b的最小二乘估计为b=(X?)?Y.作为Y对X的回归，立= 6。+b,X+…+6,X即包含上工序对本工序总质量的全部影响，又含有本工序系统固有影响 (加工质量的均值)，而Y=Y一Y则反映了本工序质量的波动情况.从另一角度看，总质量 指标Y的均值是上工序质量X(非控因素)的函数，Y-Y)便是只与当前工序分质量（欲控 因素)有关的随机变量，Y是Y-(Y)的一个统计估计，自然反映了分质量的波动. (2)利用历史信息改进回归系数 文献[3]指出当样本量不足时，b的最小二乘估计方是不稳定估计.因而，对小批量生产

. 0 0 6 · 8 99 北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 1 6 计 . 现 在 , 拜 和a ’ 的优 良估计 拜B和嵘就 解决 了这个 困难 · 下 面 以 拜B和嵘为 已 知参数 , 按 常规方 式 做控 制 图 : U C L = 拜a + 3 a 。 ; C L = 群B ; L C L = 拜a 一 3 a 。 · 2 基于 B ay es 分析的小批 量质量诊断 质量 诊 断是通 过总 质量 与分 质量 来 实 现 的 . 张公 绪 教授 于 19 82 年提 出将本 工序 总质 量 分 解 为 上工 序影 响 (简称 上影 ) 和 本 工序分 质量 13] . 根据 这 三 者就 能 诊 断 出异 因何 在 . 总质 量 可 用休 图描述 , 分 质量可 用选控 图描 述 . 在 选控 图 中要 用到 回 归方程 . 回 归方程 的系 数及 分质 量 的参数都需妥 估计 , 在 大样本时用 常规估 计法 即可 , 小样 本 时常规估计 缺 乏稳定 性 , 我们仍 然 应用 B ay es 分析方 法对其改 进 . 2 . 1 回归方程 系数 的 B ay es 估计 ( l) 回 归方程 的选 择 . 设 X 为上 工序指 标 , Y 为下工 序指 标 , 则 在生 产过 程正 常情 况 下 , Y 与 X 是有 统 计相 关规 律 的 , 这种 规律 性可 表示 为 Y = f (幻 + 。 . 其中 , f (x) 为 x 的 解析函数 了(刀 = 风幻 + C , 其中 c 为本工 序分质量 均值 ) , ￡ 一 N (0 , 扩X 少未 知 ) .f (幻 反 映上 工序 影 响 (简 称上 影 ) , 。 反映 本工 序偶 然 因素 的影响 . 根据 问题的特点 , 我们可 取 f ( x) 为线性 函数 、 二 次 函数 、 指数函数 、 对数函 数 、 倒 数函数等 一般先 用样本 认 , y之i( 一 l, 一 )n 描点 , 作 散布 图 , 从中看 出 K X 的 关系和 哪 种 函数接近 , 就 选哪 种 函数 . f x() 称为 Y 对 X 的 回归 函数 . 无论哪一 种 函 数经 过一 定变 换都可 以 转 化 为线 性 函数 , 进而 用线 性 回归理 论求得 f (x) 的估计 . 另外 根 据连 续 函数的多 项式 逼 近 定 理 , 可 以 将 f (刀 取 为多项 式 函数 , 而 且通 过方程 及其系数的显 著性 可 以 确定 方程 的 阶及保 留的 项 . 假设回 归 方程 如下 : 夕 = b 。 + b . x + b Z尹 + … + 气犷 + 。 , 其 中 , 红i( = 0, ,1 一 )P 待 估 · 设 x(l , yl ) , (兮 凡) , … , (戈 , yn ) 为来 自上 工序 、 本 工序 的一 组样本 , 记 Y = 伽 1 , 夕2 , ’ 一 夕 。 ) , , b = ( b 。 , ’ · ’ , 坏) , ( 3 ) 、 ! z p-p ó月,P XX X 二 x - x z ( 4 ) 根 据 回 归分 析 的有 关 理 论 , b 的 最 小 二乘 估 计为 乙= (尸刀 一 ’ ’x .Y 作为 Y对 x 的 回 归 , 夕= ` 。 + 石 , x + … + 氏尸 即包含 上工序对本 工序总质量 的全部 影响 , 又 含有本1 序系统 固有 影 响 咖 工质 量 的均 值 ) , 而 荞 、 一 Y 一 夕则 反 映 了本 工序 质量 的 波 动情况 . 从另一 角度看 , 总 质量 指 标 Y 的 均值是 上工 序 质量 X (非控 因素) 的 函数 , Y 一 (E )r 便是 只 与 当前工 序分质量 (欲控 因素 )有 关的 随机 变量 , Y cs 是 y 一 (E 均 的一 个统计估计 , 自然 反 映了分质 量的波 动 · ( 2) 利 用历 史信 息改进 回 归系数 . 文献 3[ ]指 出 当样 本量 不足 时 , b ,的最 小二乘 估计 石 ,是不 稳定 估计 . 因而 , 对小批 量生 产

Vol.20 No.6 卜祥民等：基于Bayes分析的小批量生产质量控制与诊断 ·601· 可利用历史信息来改善b,从而得到小样本的稳定回归方程，为建立小批量选控图作准备，回 归系数b因不同批次可能略有不同，然而Y与X的关系本质上取决于两工序的物理关系及加 工要求，因此不同批的b不会相差很大，而且具有统计规律，我们希望利用历史信息给出 b(i=l,…,p)的先验分布，再根据Bayes原理，给出改进估计即b,的Bayes估计.假定b~ N心，w),其中vω，待估.根据过去的生产记录，有若干组（设有k组）历史数据： (化y(=1,…,kj=1,…,) (5) 可以求得k个回归方程6，=(X)XX(下标1代表第1组样本，t=1,…,k),对b,有k个估 值，简记为b,…,b4于是有对，ω的估计，=(1/)∑b©，=1/(k-1)∑（仍，-，）.为讨 论方便，仍记i,à，为v,心.于是根据历史资料可确定了b,的先验分布(u,w,)(i=1,…,P). 现在来求b,的Bayes估计.根据前面的讨论，b为由当前样本得到的b,的最小二乘估计， 为避免混淆，记6为z.可以求得已知z条件下b,的后验分布为NM(z@,+c0v)/(@,+c,0), (cω，)/（ω，+c,p]故b,的Bayes估计为： b,=(20,+c0v)1(@,+c0) (i=1,…,p) (6) 它是b,的小样本优良估计. 2.2选控指标Ysa分布参数的确定 记，=6x它是在回归系数方(i=1,…,p)下对上工序影响所作的估计.由于是b。 =0 是b,的有偏估计，ysBy一的均值不再是0.下面来讨论选控统计量ycs的均值4cs与方 差之o估计问题. 对于来自当前生产过程的1组样本(：，y)(=1,…,),y=一(i=1,…,n)是ycsB 的一组样本.据此可得rc和c6的常规估计：少c=（I/川c,S=11《n-)∑cs ys)?.由于样本较少，该估计同样缺乏稳定性.这里仍借助历史信息用Bayes估计来改进它 们.根据前面对4，o2的讨论，可以设4B~Nr,d),1/oT~(0p),其中，d,6,p为超参数. 利用前面得到的历史数据（式I),根据公式（式2）对每批生产都能得到基于Bayes估计的 回归方程，其中上标t代表第t批生产.从而可得第t批生产的本工序分质量指标： y9=y9-增(=1，…，周 (7) 将各组样本代人公式(T),得各批生产的本工序分质量样本：y80=1,…,n,1=1,“,内. 记8=(m例，288=1-)20唱-8M=(11内三8M=(1内2S0 K=(1/内限K=11k-)8。-K. 同前述方法能由历史样本Oy8)得到元=K,6=K,日=1+M(M-M)p=MM/ (M-M约，这样，我们得到了随机变量y的均值方差的先验分布，根据当前生产过程的样 本(x,y)(i=l,…,q)和历史样本（式5），能得到当前过程基于Byes分析的回归方程，进而 得到选控指标的样本'cs(=1,…,q).根据1.1和1.2的结论，可得4cs和os的Bays估计： (9-1)S号+2p 话B=Eo&BlS)= qoy+iocs 29+-3引，。-Bu月=95+n

V o l . 2 0 N o . 6 卜祥 民等 : 基于 B ay es 分析 的小批量生产质量控制 与诊 断 可利 用历 史 信 息来改善石 , , 从而 得到小 样本 的稳 定 回归方程 , 为建 立小 批量 选控 图作 准备 . 回 归系 数 b 因不 同批 次可能 略有不 同 , 然而 Y 与 X 的关系 本质 上取决 于 两工序 的物 理 关系及 加 工 要 求 , 因此 不 同批 的 b 不 会 相 差 很 大 , 而 且 具有 统计 规 律 . 我 们希望 利 用 历 史 信 息 给 出 叮i = l, 一 )P 的 先 验分布 , 再 根 据 B ay es 原 理 , 给 出改 进估 计 即 b , 的 B ay es 估 计 . 假定 b ,一 vN( ` , 。 尸 , , 其中 。 ` , 。 : 待 估 . 根 据过 去的生产记 录 , 有若干组 (设有 k 组 ) 历 史数 据 : (乓 , 夕。 ) ( t = l , ” ’ , k ; j = l , ’ 一 n ) ( 5) 可 以 求得 k 个 回归方程 石 , 一 (了幻 一 ’ 丫戈(下标 t 代表第 t 组 样本 , t 一 1 , … , k) , 对 b , 有 k 个估 值 , 简 记为 ” ` 1 , ` ’ ` , ” `左 · 于是 有 对 v 护, 田 `的值计云 了 一 ( “ k) ,各 l b 孟了, 山 ` 一 “ ( k 一 ’ ) ,菩 l (b ! , 一 公 矛 ) ’ · 为讨 论方 便 , 仍 记认 , 叭为 。 , , 。 : . 于是根据 历史资料 可确定 了 b , 的先 验分 布 从 。 ` , 。 ,)( i = ,l 一川 · 现在 来求 b ` 的 B ay es 估 计 . 根据 前面 的讨 论 , 石 , 为 由当前 样本 得到 的 b ` 的最小 二乘估计 , 为 避免混 淆 , 记 石 ` 为 2 . 可 以求 得 已知 : `条 件下 b ” 后 验分布 为 M (z 尸 : + ic 尸 。 , )/ 佃 , + ic声), ( e ; 对。 ` ) / ( 。 , + e ,声) ]故 b ` 的 B盯 e s 估计为 : 石 , 一 (聊 , + e , 声 v 川 。 , + e , 对) ( i 一 l , … , 尹) ( 6 ) 它是 b , 的小样 本优 良估 计 . .2 2 选控指标 Y csB 分布参数的确定 记 几 一 i 豁砂 ` , 它是在 回 归系数 称 ` 一 ` , 一 )P 下 对上 工序 影 响所 作 的估计 · 由于是 “ iB 是 b ` 的有偏 估计 , , cs B一 夕 一 亏的均值不 再是 0 . 下面来 讨论 选 控统 计量 , 。 s B的均廊 cs 。 与方 差 之 a人 B估计 问题 . 对于来 自当前生产 过程 的 1 组样本 认 , 川 i( 一 1 , … , n) , cy sB ` 一 , , 一 几i( 一 1 , … , n) 是 * 。 sB ” 一组 样本 · 据此 可御 。 B和吃 。的常规估计 : , csj B 一 (“ 唯ycs B , , cs B 一 , ` , (n 一 `) , 客 】 蝙 ; - 歹。 a,) , . 由于 样 本较 少 , 该 估计 同样 缺 乏稳 定性 . 这 里仍借助历 史信 息用 B ay e s 估 计 来 改 进 它 们 . 根 据前面咖 , a ’ 的讨 论 , 可 以 设 从 s B一 N(r , 句 , 1/ :ac B厂一 ( 0 , )P , 其 中: , 占 , e , p 为超参数 . 利 用前面 得到 的历 史数据 (式 l) , 根据公 式 ( 式 2) 对每批 生产都能得 到基 于 B ay es 估 计的 回 归方程 , 其 中上标 t 代表第 t 批生 产 . 从而 可得第 t 批 生产 的本工 序分 质量 指标 : 夕跳 = 少`。 一 夕留 ( ` = l , … , k) (7 ) 将各 组样本 代人 公式 (7 ) , 得 各批生 产的本工序分质量 样本 : y思 BI C 一 1 , 一 。 , , 一 h … , k) . 记瓜 B 一 ( , n)/ 郭氛 , 毛 , 一 l (n/ n 一 `) 、菩 : 。思 、 一 难 B ) 2 , M l 一 ( 1 / k) 全毛 , , 从一 ( 1k)/ 全cst l, 凡 一 ( , ` 。 , 邹 一 凡 一 , ` k( 一 1) , 吝良 B 一 琳 同前述 方 法 能 由历史 样 本 。袅动得 到云一 凡 , 占一 凡 , e 一 1 + 机(城 一 衅), 户二 鱿 城 / (从 一 衅 ) · 这样 , 我 们得 到 了随机 变 量 cy s 。 的 均值方 差 的先验 分布 , 根据 当前生产 过 程 的样 本 x( , , 助 i( = 1 , … , 的和历 史样 本 ( 式 5) , 能得 到 当前过 程基 于 B ay es 分 析 的 回归方 程 , 进而 得到 选控 指标 的样 本 cy s BI i( 二 l , … , 的 . 根据 1 . 1 和 1 . 2 的结 论 , 可得群cs 。和雌 s B 的 B ay es 估计 : 认 。 = (E u 永 B .可) 二 ( 、 一 ] )可 + 幼 . 2 乡+ ( 、 一 3 ) ’ 拜一 B = 即 cs B }助 二 。 3 , 、 + 云悦 s B q占+ 悦 s。 ’

·602* 北京科技大学学报 1998年第6期 为讨论方便，记a,为4cs0sB·这样按照1.3介绍的方法可以建立小批量选控图： r图 UCL MCsB 3 0CsB R图UCL=3.690csB CL=CsB CL =1.13 0csB LCL MCSB-3 0CSB LCL=一 建立上述3组控制图后，根据表1典型情况诊断表，参照样本在控制图上的表现，就可以对小 批量生产的质量做出诊断， 概括上述讨论，基于分析的小批量质量诊断步骤如下：(1)搜集当前生产过程及历史生产 过程（上、本工序）的样本，要求样本不少于10组，每组不少于20个样品；(2)按照小批量质量 控制方法求出上、本工序总质量指标参数的估计值4B0B4B0,®(3)按公式（⑥）求出各批产 品的回归方程系数的Byes估计；(4)按公式(7)求出各批产品的本工序分质量样本值；(5)按 照(2)介绍的方法求出本工序分质量指标参数的估计值4 CSO(6)根据uOm“,B0B4 0建立全控图、选控图(xR,图、xR图或xS图)，依据表1进行小批量生产的质量诊断. 2.3实例 应用本法对山东新华制药厂安乃近生产线吡唑酮、安替比林工序进行质量诊断 表1典型情况诊断表 典型 上工序 下工序下工序 情况全控图 全控图选控图 诊 断 I 异常 异常异常 分异常（存在欲控异因），上影也异常（存在非控异因） I 异常 异常 正常 分质量正常（无欲控异），上影异常（存在非控异因） Ⅲ 异常 正常 异常 分质量正常（存在欲控异因），上影也异常（存在非控异因），但二者 方向相反而抵消，使总质量正常 分质量正常（无欲控异因），上影异常（存在非控异因），但二者方向 异常 正常 正常 相反而抵消，使总质量正常 正常 异常 异常 分质量异常（存在欲控异因），上影正常（无非控异因） 分质量正常（无欲控异因），上影也正常（无非控异因），但二者方向 T 正常 异常 正常 相同而叠加，使总质量异常 分质量异常（存欲控异因），上影正常（无非控异因），但二者方向 Ⅻ 正常 正常 异常 相反而抵消，使总质量正常 I 正常 正常 正常 分质量、上影和总质量均正常 (I)由历史样本和当前小样本得前后两质量指标标准差和均值的Byes估计：o=0.29, 0,=0.77,4、=98.93,4,=79.94.(2)根据生产经验，安替比林含量与吡唑酮含量是线性相关 关系，即y=b。+bx+ε.由于当前生产过程样本少，据此作出的回归方程缺乏稳定性，故用 第2部分介绍的方法来求回归方程及's分布参数的估计，应用编好的程序，代入历史数据 得b。=80.21,b,=2.22e-6,'csB~NM0.04,0.77),而且可得到移动极差的样本均值分别为R =017,R=0.88、和R=0.87.由此便可以构造选控图.现在从当前生产过程得12个样本， 由于有了b和b,可得y的样本，见表2

. 6 0 2 . 北 京 科 技 大 学 学 报 19 9 8年 第6 期 为讨论 方便 , 记户 , 扩为户Cs B , 咋 s 。 · 这 样按 照 1 . 3 介绍 的方法 可 以 建立小 批量 选控 图 : 丫 图 U C L = 群e s B + 3 a e s B C L L C L = 拜e s B = 拜e s B 一 3 a c s B 建立 上述 3 组控 制 图后 , 根据 表 1 典型情 况诊 断表 批量 生 产 的质量做 出诊断 . 尺图 U C L = 3 · 6 9 a e s a C L = 1 . 1 3 a e s B L C L 二 一 , 参照样 本在 控制 图上 的表现 , 就 可 以 对小 概 括 上述 讨论 , 基 于分 析 的小 批量 质量诊 断步 骤 如下 : (l ) 搜集 当前 生产过 程及 历史 生产 过 程 (上 、 本 工序 ) 的样 本 , 要求 样 本不 少于 10 组 , 每组 不少 于 20 个样 品 ; (2) 按 照小 批量 质量 控 制方 法求出 上 、 本 工 序总 质 量指 标参数 的估计 值 拜诏 , a 。 , 拜 , B , 久 B ; (3 ) 按公 式 ( 6) 求 出各批 产 品的 回 归 方程 系 数 的 B ay es 估 计 ; (4) 按公 式 (7) 求 出各 批 产 品 的本 工序 分质 量 样本 值 ; ( 5) 按 照 ( 2) 介绍 的 方 法求 出本 工序 分 质 量指 标 参数 的估计 值 群C s B , ac s B ; ( 6) 根 据群虑 , a 龙 , 气 B , 吼B , 拜 cs B , acs B建立全控 图 、 选 控 图 (-x R : 图 、 又R 图或 又S 图 ) , 依据 表 1 进行 小批量 生产的质 量诊 断 . 2 . 3 实例 应用本法 对山东新 华制药厂安乃 近 生产线 毗 哩酮 、 安替 比林 工 序进 行质 量诊 断5[] 表1 典型情况诊断表 典型 情况 上工序 下工序 下工序 全控图 全控图 选控图 异常 异常 异常 异常 异常 正 常 分异常 (存在欲控异因 ) , 上 影也异常 (存在非控异 因 ) 分 质量正 常 (无欲控异 ) , 上影异常 (存在非控异 因 ) 1 异常 正 常 异常 W 异常 正 常 正 常 分质量正 常 (存在欲控异 因 ) , 上影也异常 (存在非控异 因 ) , 但二者 方 向相反而抵消 , 使总质量正常 分质量正常 (无欲控异 因) , 上影异常 (存在非控异因 ) , 但二者方向 相反而 抵消 , 使总质量正常 V 正常 异常 异常 分质量异常 (存在欲控异因) , 上影正 常 (无非控异因) VI 正 常 异 常 正 常 姐 正 常 正 常 异常 分质量 正常 (无欲控异 因) , 上影也正 常 (无非控异因 ) , 但二者方向 相 同而 叠加 , 使总质量异 常 分质量异 常 (存 欲控异 因 ) , 上影正 常 (无非控异 因 ) , 但二者方 向 相 反而抵消 , 使总质量正 常 姗 正 常 正 常 正 常 分质量 、 上 影和 总质量均正 常 (l ) 由历 史 样 本和 当前 小 样 本得 前后 两 质量 指标 标准差 和均 值的 B ay es 估计 : 叮 二 = 0 . 29 , 氏 二 0 . 7 , 拜 二 = 98 . 93 , 从 二 79 . 94 . (2 ) 根 据 生 产经 验 , 安替 比林 含量 与毗 哩酮含 量是 线性 相 关 关系 , 即 y = b 。 + b l x + : · 由于 当前生 产 过程 样 本少 , 据此 作 出的 回 归方 程缺乏 稳定性 , 故用 第 2 部 分介 绍 的方 法 来 求 回归 方程 及 少cs 。 分布 参数 的估 计 . 应用 编好的程序 , 代人 历史 数据 得 b 。 = 80 · 21 , b 、 二 2 . 2 2 e 一 6 , yc s B 一 从住 04 , .0 7 ) , 而 且 可得 到 移 动极 差 的样 本均值分别 为尺 二 O 、 17 , 只 = 0 · 8 、 和 尺 c 一 .0 87 · 由此便 可 以构 造选控 图 · 现 在从 当前生 产过程得 12 个样本 , 由于有 了 b b和 b 【, 可得 夕 。 s 的样本 , 见 表 .2