运用微积分知识,使上式达到最小值的必要条件 为 88c 0 ∑2(-1)Y-a-B1)=0 aS ∑2(-X,)y-a-BX)=0 B
运用微积分知识，使上式达到最小值的必要条件 为： 即 ) 0 (2) ˆ 2( )( ˆ ˆ ) 0 (1) ˆ 2( 1)( ˆ ˆ 0 ˆ ˆ = − − − = = − − − = = = t t t t t X Y X S Y X S S S
整理,得: ∑ an B∑X ∑X,y=a∑x,+B∑x2(4) 此二式称为正规方程。解此二方程,得: ∑(X,-X)y-Y)∑xy ∑(X,-X)2∑x a=r- BX 其中:y ∑ ∑X 样本均值 X-X y=1-Y离差
整理，得： 此二式称为正规方程。解此二方程，得： 其中： 样本均值 离差 (4) ˆ ˆ (3) ˆ ˆ 2 = + = + t t t t t t X Y X X Y n X (6) ˆ ˆ (5) ( ) ( )( ) ˆ 2 2 Y X x x y X X X X Y Y t t t t t t = − = − − − = x X X y Y Y n X X n Y Y t t t t t t = − = − = = ,
(5)式和(6)式给出了OLS法计算c和尸的 公式,和称为线性回归模型Y1=a+βX+u 的参数α和β的普通最小二乘估计量(OLS estimators 这两个公式可用于任意一组观测值数据,以求出 截距和斜率的OLS估计值( estimates),估计值是 从一组具体观测值用公式计算出的数值。 般说来,好的估计量所产生的估计值将相当接 近参数的真值,即好的估计值。可以证明,对于 CLR模型,普通最小二乘佔计量正是这样一个好 估计量
（5）式和（6）式给出了OLS法计算 和 的 公式， 和 称为线性回归模型 Yt = + Xt + ut 的参数 和 的普通最小二乘估计量 (OLS estimators）。 这两个公式可用于任意一组观测值数据，以求出 截距和斜率的OLS估计值（estimates)，估计值是 从一组具体观测值用公式计算出的数值。 一般说来，好的估计量所产生的估计值将相当接 近参数的真值，即好的估计值。可以证明，对于 CLR模型，普通最小二乘估计量正是这样一个好 估计量。 ˆ ˆ ˆ ˆ
3例子 例1对于第一段中的消费函数,若根据数据得到: n=10,X=23,Y=20 ∑(X-X)2=64,∑(X-X(yD=37 ∑(x-xy-37 则有B ∑(x a=y-Bx=20-05823)=670 因而 6.70+058X
3 例子 例1 对于第一段中的消费函数，若根据数据得到： n = 10 , =23, =20 X Y (X − X) = , (X − X)(Y−Y) = 2 64 37 则有 ( )( ) ( ) . . ( ) . . . = − − − = = = − = − = = + X X Y Y X X Y X Y X i i i i i 2 37 64 058 20 058 23 670 670 058 因而
例2设Y和X的5期观测值如下表所示,试估计方程 Yt=a+阝xt+u 序号 Y 1418232530 1020304050 解:我们采用列表法计算。计算过程如下:
例2 设Y和X的5期观测值如下表所示，试估计方程 Yt = + Xt + ut 序号 1 2 3 4 5 Yt 14 18 23 25 30 Xt 10 20 30 40 50 解：我们采用列表法计算。计算过程如下：