平面应力特征线场法及其应用

D0I:10.13374/i.issn1001-053x.1992.02.007 北京科技大学学报 第14卷第2期 Vol.14 No.2 1992年3月 Journal of University of Science and Technology Beijing March 1992 平面应力特征线场法及其应用 王桂兰·贺毓辛· 摘要：在H1】屈服准则和与之相适应的花动法则的基础上，首次建立了考虑材料厚向异性 的平面应力理论特征线方程，并将此基本方程应用干具有厚向异性的不规则件拉深成形的模 拟。运用平面应力特征线场法计算、分析了盒形件拉深时法兰部的应力分布和沿模口的法向 应力分布，并研究了该方法在合理毛料形状设计及其相应的合理加载条件设计中的应用。 关键词：平面应力特征线拉深 Plane Stress Characteristics Method and Its Application Wang Guilan He Yuixin' ABSTRACT:Based on Hill's yield condition and its related flow rule,the plane stress characteristics equations have been developed for the first time. By using these equations,the analysis and simulation for the deep drawing process of normal anisotropic and irregular parts have been realized.In the paper,the plane stress characteristic theory is adopted to calculate and analyse the stress distribution within the flange rcgion and along the die opening during the deep drawing process of square boxes.Furthermore,with the application of the plane stress characteristic theory founded,the optimum design for the blank shapes and its loading conditions have also been researched in this paper. KEY WORDS:plane stress,characteristcs,deep drawing 1991-08-07收稿 ·压力加工系(Dcpt,of Materials Formings) 151

第 41 卷第 2 期 1 9 92年 3月 北 京 科 技 大 学 学 报 J o u r n a l o f U n i v e r s i t y o f S e i e n e e a n d T e e h n o l o g y B e i i i n g V o l 。 1 4 N o 。 2 M a r e h 19 92 平面应力特征线场法及其应用 王 桂 兰 ’ 贺毓 辛 ’ 摘要 : 在 H 1 1屈 服 准则 和与之相适应的优动法则的墓础上 , 首次建立了考虑材料厚向异性 的平面应力理论特征线方程 , 并将此基本方程 应用干具有厚向异性的不 规则件拉深成形的 模 拟 。 运 用平面应力特征线场法计算 、 分析了盒 形件拉深时法兰部的应力分布和沿模 口的法向 应力分布 , 并研究了 该方法在合理毛 料形 状设计及其相 应的合理加载条件设计中的应 用 。 关健询: 平面 应力 特征线 拉深 P I a n e S t r e s s C h a r a e t e r i s t i e s M e t h o d a n d I t s A P P l i c a t i o n 平 a ft g G “ i l a ” . H e Y ” i 二 f ” . A B ST R AC T : B a s e d o n H i l l 夕 5 y i e l d e o n d i t i o n a n d i t s r e l a t e d f l o w r u l e , t h e p l a n e s t r e s s e il a r a e t e r i s t i e s e q u a t i o t s h a v e b e e n d e v e l o P e d f o r t h e f i r s t t i m e 。 B y u s i n g t h e s e e q u a t i o n s , t h e a n a l y s i s a n d s i m u l a t i o n f o r t h e d e e p d r a w i n g p r o e e s s o f n o r m a l a n i s o t r o p i e a n d i r r e g u l a r p a r t s h a v e b e e n r e a l i 了 e d 。 I n t五e p a p e r , t h e p l a n e s t r e s s e 五a r a e t e r i s t i e t h e o r y 1 5 a d o p t e d t o e a l e u l a t e a n d a n a l y s e t il e s t r e s s d i s t r i b u t i o n w i t h i n t h e f l a n g e r e g i o n a n d a l o n g t h e d i e o p e n i n g d u r i n g t五e d e e p d r a w i n g p r o e e s s o f s q u a r e b o x e s . F u r t h e r m o r e , w i t h t h e a p P li e a t i o n o f t h e p l a n e s t r e s s e h a r a e t e r i s t i e t h e o r y f o u n d e d , t h e o p t i m u m d e s i g n f o r t h e r协l b l eP又 a n k s h a p e s a n d i t s l o a d i n g e o n d i t i o n s h a v e a l s o b e e n r e s e a r e h e d i n t h i s p a K E Y W O RD S : p l a n e s t r e s s , e h a r a e t e r i s t e s , d e e p d r a w i n g 1 9 9 1 一 0 8 一 0 7 收稿 · 压力加工系 ( D “ P t . o f M a t e r i a l s F o r m i n g s ) DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1992. 02. 007

关于轴对称件成形的平面应力问题，己有一些学者用特征线法进行过系统的研究(1， 2),但所采用的基本方程都是建立在材料各向同性假设基础上的。对于非轴对称件成形，这 方面的研究尚少见报导。 本文在H1屈服谁则和与此屈服准则相适应的流动法则的基础上建立了考虑材料厚向异 性的平面应力特征线方程，并将这些方程应用于非轴对称件拉深成形过程的变形区应力分 析、合理毛料形状加载条件设计。 1平面应力特征线方程的建立 若取薄板平面为xy平面、2轴垂直于此平面，则Tx:=下y:=0,=0,而其余应力分量必须 满足下面的力平衡方程： 9 -(ha:)+ay -(h)=0 (1) 日(hx）+日(ha,)=0 a ay 其中，为板厚。 采用考虑厚向异性的Hi11二次屈服准则r8?: x+y-风39y+2特提= (2) 流动法则采用与H1屈服准则相关联的方程式。 设塑性势函数为 fo）=0+-R,+#晨- (3) 根据Drucker公式设 af(ii) e(i=00,1 (4) 可求得与H屈服准则相适应的流动法则： 1 OUs (1+R) dx R· 0:-1+R0, 0,1+ -.0y=2+4R)y(8x+y) ay - (5) 式(1)、(2)和(5)构成求解应力分量0=，0，，T:和速度分量v、v,的基本方程。 152

关 于轴对称件成形的平 面应力向题 二 己有一 些学者 用 特征线法 进行 过系 统的研究 〔 ’ , 2 ’ , 但所采用 的基本方程都是建立在材料各向同性假设基础上的 。 对 于非轴对称件 成形 , 这 方面的研究 尚少见报导 。 本文在 H il 屈服准则和与此屈 服准则相适应的流动法则的基础上建立了考虑材料 厚向异 性 的 平 面 应力特征线方程 , 并将这些方程应 用于非轴对称件拉深成 形过程的变形 区应力分 析 、 合 理毛料形 状加 载 条件设计 。 1 平面应力特征线方程的建 立 若取薄板平面为“ y 平面 、 z 轴垂直于 此平面 , 则 , 二 二 = 了 , : = , : 二 。 , 而其余应力分 量必须 满足下面的 力平衡方程 : a { 丁了一 ( 作 『 一 d 工 a · ) + 万 ( h 了 · 。 ) 二 o ( 1 ) (人了 , 二 ) + 主( 人, , ) = o a y 一劣a .a 1 1 ` 1 、 其 中 , h为板厚 。 采 用考虑厚向异性 的iH l 二次屈服准则 〔 ” , : a Z 二 + a Z y 一 2 R 1 + R a x a y + 2 + 4 R 1 + R 丁 : 芍= a Z s ( 2 ) 流动祛 则采用与 H il 屈服 准 则相关联 的方程式 。 设 塑性势函数为 f( , , j ) 二 此 + 毗 一 恙 ax ~ 兴 嘴 一 , ( 3 , 根据 D r u e k e r公 式设 a f ( a ` , ) 。 ` , 二 凡 一 万于几一 ( 4 ) 可求 得 与 H il 屈服准则相 适应的流动法 则 : 1 R 叮 二 一 - 二一 , , - 于二- a 。 1 + 式 J v 二 1 d x 一 _ 刀 a t, , _ a y ( 1 + R ) ( 2 + 4 R ) 丁 二夕 ( 澎 + 1 + R 丛 、 a y 声 ( 5 ) 式 ( l ) 、 (2 ) 和 ( 5 ) 构成求解应力分量 a 二 、 。 , 、 二 二 , 和速度分量 v , 、 。 ; 的基本方程 。 〕5 2

引入辅助变量⊙，将屈服准则(3)表示成三角函数形式的参数方程 号(+：）=0gco0 (6) 是(-：）-2+报io 设最大主应力方向与x轴的夹角为p,则应力分量0、0，、Ty、可表示成 g=0 1+Rcos@+0√2+4R /1+F nocos2p 2 0=0N 1+Rc0s0-0:√2+4 /1+R 9 sinocosp (7) 1+R sinosinp T,=0√2+4R 将上式代入平衡方程(1)和流动方程(5)，容易求得应力场特征线方程和速度场特征线方程。 应力场特征线方程： dy R'sin@sin2p±√/R'2sin2o-cos2o dx= R/sinocos2p-coso dp±dx= R'ctgosin2p+(1-R'ctgocos2p) (8) -〔1+R'ctg@cos2p)3+R'ctg0sin2p〕·g 式中 dx=- /R2sin2w-cos2@do 2sino R'=√1+2R,S=ln(g,h) 速度场特征线几何方程与应力场几何方程相同。沿特征线的速度方程如下： 地 (9) du 存在实的特征线的⊙的取值范围为 R cosω≥ R'2+1 (10) 2特征线场法在拉深成形中的应用 2,1法兰部特征线场的计算方法 假设拉深件为具有厚向异性的理想刚塑性体，拉深件的侧壁与底部不发生塑性变形，并 153

引 人辅助 变量。 , 将屈服准则 ( 3) 表 示 成三角函数形式 的参数方程 厂1 1 . 、 /万下万 ` {万 、 『 ` ’ ` ’ ) = ` ’ 甲 , 二 c o “ “ {十 ( , : 一 a Z ) = , . ` 人鱼幸理 s i n “ 气 ` “ 了 ’ v Z + 4 “ ( 6 ) 设 最大主应力方向与二 轴 的夹角为切, 则应力分 量。 二 、 o’ y 、 几 , 、 可表示成 『 一了平 · 。 S。 + a · 浮票 S` 一 2 , , 。 = 二了畏亘亡 。 S。 一丫弄嘉 S` 一 , ` 一妈孺 S , n o s ` · , ( 7 ) 将上式代入平衡方程 ( l) 和流动方程 ( 5 ) , 容易求 得应力场特征线方程 和速度场特征线方程 。 应力场特征线方程 : d y d x 一 R 尸 5 i n o s i n Z中 士 了R , “ s i n 2 0 一 e o s “ 。 R 产 s i n o e o s Z甲 一 e o s o d 尹 士 d 劣 = 〔 * , 。 t g O S ; · 2 , 斋 + (卜 ; 产 · t g。 。 。 · 2 , )韵 · 譬 一 〔 (卜 * , c t g o c 。 5 2 , )器 + , , · t g O S i · 2 , 爵〕 · 譬 / ! | | ó 少 l |J , 式 中 a 二 = 一 、 / R ’ 2 5 ` n 二份一 c o s ’ “ d 。 v 乙s i n Q) R , = 训 1 + ZR , S = I n ( 『 : h ) 速度场特征线 几何方程 与应力场 几何方程相 同 。 沿 特征线的 速度方程如下 : d 口 二 d夕 ( 。 ) 月 丽石 = 一 石 存 在实的 特征线的 。 的取值范围为 。 。 S。 ) 丫子瑞 ( 1 0 ) 2 特征线场法在拉深成形 中的应用 2 . 1 法兰 部特征线场的计算方法 假设拉深件 为具有厚向异性的理想刚 塑性体 , 续深件的侧壁与底部不 发 生塑性变形 , 并 乓足

忽略法兰部在拉深变形过程中的厚度变化和模具圆角部分的影响。 取法兰部内缘线为初始己知速度边界。设沿模口的质点流动速度等于凸模下行速度，其 方向与法兰内缘线的法向相同。 应力边界条件的选取，模拟计算时一般取法兰外缘为初始应力边界，即沿法兰外缘线·： =0。这里，0。=(24p。)/(L,h)。其中，L,为法兰外缘线长度，p,为压边力，4为板料与 模具接触的摩擦系数。当压边力为待求参数时，取法兰内缘为初始应力边界。 法兰部特征线场的计算，根据边值问题的类型分别按Couchy问题、Riemann)问题和混合 问题求解。 作者编制了不规则直壁件拉深成形的平面应力特征线场模拟计算软件，运用该软件可以 计算拉深变形过程中法兰部的应力分布、速度分布和流动迹线，并能计算最佳毛料形状和合 理的加载条件。 值得指出的是，平面应力特征线场法使用简单，进行一次全程模拟（在IBM-AT机上计 算)只需30~40mn,与有限元法相比计算时间大大缩短。因此，平面应力特征线场法为拉 深过程的模拟提供了一种新的途径，同时使建立在过程数值模拟基础上的工艺参数的优化计 算成为可能。 2.2计算结果及讨论 (1)应力场分析 用本方法计算出的在盒形件拉深变形初期法兰部的应力分布如图1所示。图中的十字线 1.0 35 0.8 0.6 0.4 0.2-1=40mm- 0g.2=250N/mm2 0 3 5 78 Separated point number 图1法兰部应力分布（图彩毛料） 图2沿模口的法向应力分布（圆形毛料） Fig,1 Stress distribution in the flange Fig.2 Normal stress distribution along the region (circular blank shape) dic opening (circular blank shape) 154

忽略法兰部在拉 深变形过程中的 厚度变化和模具圆角部分的影响 。 取法兰部内缘线为初始己知速度边界 。 设沿模 口 的 质点流动 速度等于 凸模下行 速度 , 其 方 向与 法兰内缘线的法 向相同 。 应力边界条件的 选取 , 模拟 计算时 一般取 法兰外缘为初始应力边界 , 即沿法兰 外缘线『 、 = 。 : 。 这 里 , a 。 = ( 2产p 。 ) / ( L : h ) 。 其中 , L 二 为 法兰 外缘线长度 , p 。 为压边力 , 声为 板料与 模具接触 的摩擦 系数 。 当压边力为待求参数时 , 取 法兰内缘为初始应力边界 。 法 兰部特征线场 的计算 , 根 据边值 问题的 类型分别按 C o u c h y 向题 、 iR e m a n 问题和混合 问 题求解 。 作 者编制 了不规则直壁件拉深成形的 平面应力特征线 场模拟计算软件 , 运用该软件可以 计算拉深变形过程中法 兰部的应力分布 、 速度分 布和流动迹线 , 并能 计算最佳毛 料形状和合 理的加载 条件 。 算 ) 渲得指 出的是 , 平 面应力特征线场法 使用简单 , 进行 一次全程模拟 (在 BI M 一 A T 机上计 只需 3 0 一 4 0m i n , 与 有限元法相 比 计算时间大大缩短 。 因此 , 平面应力特征线场法 为拉 深过程 的模拟 提供 了一种新的途径 算成为可能 。 , 同时 使建立在过程数值模拟基础上的工艺参 数的优化计 2 。 2 计算结果 及讨论 ( 1) 应力场分析 用 本方 法计算出的 在盒 形件拉深变形初期法兰部的应力分布如图 1所示 。 图中 的十字线 飞 。 0 N 0 . 6 0 . 2 0 . 〔户绪 0 . 吞 。戈` s e P a r a t e d P o i n t n u m b e r 图 1 法兰部应力分布 ( 圆 形毛料 ) 图 2 沿模 口 的法向应力分布 ( 圆 形毛料 ) F 19 . 1 1 5 4 5 t r e s s d i s t r i b u t i o n i n t h e f l a 刀 g e F 19 . 2 N o r m 么 1 s t r e s s d i s t r i b 让 t i o n a l o n g t h e e g i o n ( c i o c u l a r b l a n k s h a p e ) d i e o P e n i n g ( c i r c u l a ` b l a n k S h a P e )

表示最大、最小主应力的绝对值的大小和方向。由图可见，法兰部的应力呈明显的不均匀分 布，且沿模口最大主应力方向偏离法兰内缘线的法向，即沿凹模入口存在剪应力。 成形工艺条件不仅通过影响应变分布来影响成形性，而且通过影响应力分布直接对成形 性产生影响。因此，变形区的应力分析是成形性工艺分析的重要依据。 己有的一些基于平面应变假设的模拟计算法，尽管与上界法结合可以近似地求解沿模口 的应力分布，但变形区内的应力分布仍无法求解5)。 利用我们编制的模拟计算软件，还可以计算、分析板料厚向异性指标R、模具形状、毛 料形状尺寸以及压边力对应力分布的影响（如图2）。 (2)最佳毛料形状和合理加载条件的设计 用逆向模拟法将制品展开，可以得到具有均匀高度制品的最小尺寸的毛料，通常人们将 此毛料作为“最佳”毛料。 不考虑表压边力作用、用平面应力特征线场模拟法展开的盒形件毛料如图3所示。由图可 见，随着拉深件高度的增大，毛料轮廓线在拐角部由凸变凹，并且拐角半径越小，毛料的凹 人程度就越大。此规律与井关的有限元法计算结果是一致的8)。另外，本方法设计的毛料 与滑移线法设计的毛料相比较，对于盒形件，在制品高度和拐角部曲率不大的情况下，两者 较接近；反之，两者有明显的差异。即在直边部前者的轮廓线高于后者，在拐角部前者的轮廓 rc/1=0.25 rc/1=0.15 图3 盒形件拉深的最佳毛料形状 Fig.3 Optimum blank shapes for the decp drawing of square boxes 线低于后者，（如图3)。据有关资料介绍，当制品高度、拐角曲率较大时，用滑移线法设计 的毛料拉制盒形件，得到的制品在拐角部出现“耳子”〔)。这说明用本方法能得到比滑移线 法更合理的毛料。 据目前收集到的资料来看，己有的毛料模拟设计法皆没有考虑压边力作用的影响。但 是，在实际成形工艺设计中，合理毛料形状设计与合理加载条件的设计应该同时综合考虑。 鉴于此，我们提出了“使沿模口的拉应力最小且均匀分布”的最佳毛料及其相应的合理加载 条件的计算方法。用该方法计算的盒形件拉深的毛料如图3(b)所示，相应的合理加载条件如 图4所示。 图4中，假定T的大小与压边力P。的大小成正比。由图可见，在拐角半径较大的情祝 下，随着毛料尺寸的增大，应逐渐增大压边力；在拐角半径较小的情祝下，合理压边力随毛 料尺寸的变化存在一蜂值，开始呈逐渐增加，而后又逐渐减小。并且，随着拐角半径的减 小，此合理的压边力的峰值逐渐增大，同时向毛料尺寸小的方向移动。 155

表示 最大 、 最小 主应力的绝对值的 大小和方 向 。 由图可见 , 法兰部的 应力呈 明显的不均匀分 布 , 几沿模 口最大主应力方 向偏离 法兰内缘线 的法 向 , 即沿 凹模人 口存在剪应力 。 成形工艺 条件不仅通过影响应变分 布来影响成形性 , 而且通过影响应力分布直接对成形 性产生影响 。 因此 , 变形区的 应力分析是 成形性工 艺分析的重 要依据 。 己有的 一 些基于 平面应 变假设的 模拟 计算法 , 尽管与上界 法结 合可以 近似地求解沿模 口 的应 力分 布 , 但变形区 内的应 力分 布仍无法求解 ` ” 〕 。 利用 我们编制的模 拟计算软件 , 还可以 计算 、 分 析板料厚向异性指标 R 、 模 具 形状 、 毛 料形 状尺寸 以 及压 边 力对应 力分布的 影响 ( 如 图2) 。 ( 2) 最佳毛料形状和 合理 加 载条件的设 计 用逆 向模拟法 将制品 展开 , 可 以 得到具有 均匀 高度制 品 的最 小尺寸 的 毛料 , 通常人们将 此 毛料作为 “ 最 佳 ” 毛料 。 不 考虑 表 压边 力作 用 、 用平面应 力特征线 场模拟 法展开 的盒 形 件毛料如图3所示 。 由图可 见 , 随着拉深件高度的 增大 , 毛料轮廓线在拐 角部 由凸 变凹 , 并且拐 角半径越 小 , 毛料的 凹 人程度就越 大 。 此 规律与 井关 的有 限元 法 计算结果是 一致 的 〔 日 ’ 。 另外 , 本方法 设 计 的毛 料 与滑 移线法 设计的毛料相比 较 , 对于盒形件 , 在制品高 度和拐 角部曲率不 大的情况下 , 两 者 较接 近 ; 反 之 , 两 者有 明显的 差异 。 即在直边部前者的 轮廓线高于后 者 , 在拐角部前者的轮 廓 r 。 / ` 二 。 · 25 1 叭 匕 . _ . 内丫m、 图 3 盒形件拉深的最佳 毛料 形状 F 19 . 3 O P t i m u m b l a n k s h a P e 、 f o r t h e d e e P d r a w i n g o f s q u a r e b o x o s 线 低于 后者 , ( 如图3) 。 据有关资料介 绍 , 当制 品高度 、 拐角曲率较大时 , 用滑 移线 法设计 的毛料拉制盒形件 , 得到的制品在拐角部 出现 “ 耳子 ” 〔 “ ’ 。 这说 明用本方法能得到比 滑移线 法更 合 理的 毛料 。 据目前收集到的资料来看 , 己有的毛料模拟 设计法 皆没有考虑压边力作用 的 影 响 。 但 是 , 在实际 成形工艺 设计中 , 合理毛料形 状设 计与合理加载条件的设 计应该同时综合 考虑 。 鉴于此 , 我 们提出了 “ 使沿模 口的拉 应 力最小且 均匀分布 ” 的最 佳毛料及其相应 的合 理加载 条 件的 计算方法 。 用该方法 计算的盒 形件拉深 的毛料如图 3 ( b) 所 示 , 相应的 合理 加 载 条件如 图4所示 。 图 4中 , 假定 T 的大 小与压 边力尸 。的大小 成正比 。 由图可见 , 在拐角半径 较 大 的 情 况 下 , 随着毛料尺寸 的增大 , 应逐渐增大压边力 ; 在拐 角半径较小 的情况下 , 合理压边力随 毛 料尺寸 的 变化存 在 一峰值 , 开 始呈 逐渐增加 , 而后又逐渐减小 。 并且 , 随 着拐角 半 径 的 减 小 , 此 合理的压 边 力的峰值逐渐增大 , 同时向 毛料尺 寸 小的 方向移动 。 1 5 5