第一章晶体的结构 它们代表一个品面任基矢的截距分别为m,在c轴上的截 距为 证明:h十k=一m,并求出OA1A3,A1A3BB1,A2B2B3A5和A1A245 四个面的面指数 B4 B2 c A3 图1.9六角晶胞对称画法 解答] 设d是晶面族(hmD)的面间距,m是晶面族的单位法矢量.晶 面族(hkm)中最靠近原点的晶面在a1,a2,a3,c轴上的截距分别为 a1/h,a2/k,a31m,c/所以有 a1·n=hd, a2·n=kd a3·n=mld 因为 a2+a3), 所以 n=-(a2a3)· 由上式得到 md=-(hd+kd)
20 固体物理概念题和习题指导 (h+k) 由图可得到:OA1A2晶面的面指数为(121), A1ABB1晶面的面指数为(1120), A2B2BAs晶面的面指数为(1100), As晶面的面指数为(0001) 4.设某一晶面族的面间距为d,三个基矢a1,a1,a3的末端分 别落在离原点的距离为h1d,h2d,h3d的晶面上,试用反证法证明: h1,h2,h3是互质的 解答] 设该晶面族的单位法矢量为n,由已知条件可得 n=h1d,a2·n=h2d,a·n=h 假定h1,h2h3不是互质数,且公约数p≠1,即 h1=k1,h2=k2,h3=p3, k1;k2k:是互质的整数,则有 a·n=pd,a2·n=ad,a·=p, 今取离原点最近的晶面上的一个格点该格点的位置矢量为 l1a:1+l2a2+l3a3 由于l1,,l必定是整数,面且 n=d=l1a1·n+l2a2·n+l1a·n, 于是得到 pk1litpk2l2+pk l 上式可得 k11+k2l, fk I 上式左端是整数右端是分数显然是不成立的.矛盾的产生是p 为不等于1的整数的假定,也就是说,p只能等于1,即h1,h2,h3一 定是互质数
第一章晶体的结构 5.证明在立方晶系中,晶列[h]与晶面(hk)正交,并求晶面 (h1k11)与晶面(h2k2l2)的夹角. [解答] 设d为晶面族(h)的面间距,n为法向单位矢量,根据晶面族 的定义晶面族(h)将a,bc分别截为|h|,k|,4|等份,即 n=a cos(a, n)=hd b·n=bcos(b,n)=kd, c cos(c, n)=ld 于是有 n=h itk k (hi十k十lk). 其中,,jk分别为平行于a,b,c三个坐标轴的单位矢量.面晶列 [h]的方向矢量为 R =haitkajtlak =a(hi十k十l) (2) 由(1),(2)两式得 n=二,R, 即n与R平行.因此晶列[hk门与晶面(hk)正交, 对于立方晶系,晶面(hk24)与晶面(h22l2)的夹角就是晶列 R1-hatkbtly 与晶列 R2=ha+k,b+ c 的夹角.设晶面(h1k4)与晶面(h2k22)的夹角为g,由 R1·R2=R:|R2(osg=vVh+k+lYV+的+ lincos
因体物理概念题和习题指导 h1h242+k1k24x2+12 得 p=COSI h,h2+k,k2+llz √(+k+B1)(n十k2+l) 6.如图1.10所示,B,C两点是面心立方晶胞上的两面心 (1)求ABC面的密勒指数; (2)求AC晶列的指数并求相应原胞坐标系中的指数 图1.10面心立方晶胞 [解答] (1)矢量BA与量BC的叉乘即是ABC面的法矢量 BA=0A-OB=(a+b)-(6+c)=A(2a+b-c), B=-O=c+1(a+b)-(b+c)=(a+e), BA×BC=(2a+b-c)×(a+c)=(a-3b-c) 因为对立方晶系,晶列[hk]与晶面族(hk)正交所以ABC面的 密勒指数为(131) 2)E=O-OA=|c+1(a+b)-(a+b)
第一章晶体的结构 23 (a+b-2c)] 可见AC与品列(a+b一2c)平行.因此AC品列的晶列指数为 由《固体物理教程》(.3)式可得面心立方结构晶胞基矢与原 胞基矢的关系 -a1+a2+a 41474 C=a1十a2-g 晶列(a+b-2)可化为 (a+b-2c)=-2(a1+ a 由上式可知,AC晶列在原胞坐标系中的指数为[112] 7.试证面心立方的倒格子是体心立方;体心立方的倒格子 是面心立方 [解谷] 设与晶轴a,b,c平行的单位矢量分别为i,jk,面心立方正格 子的原胞基矢可取为 (+k (k-+ (计+j) 由倒格矢公式 [a2Xa3],2π[a3Xa1],2ra1×a2 b 可得其倒格矢为 iti+k)