第十节闭区间上连续函数的性质一、最大值和最小值TH二、有界性TH三、零点TH四、介值TH五、小结、作业1/9
第十节 闭区间上连续函数的性质 一、最大值和最小值TH 二、有界性TH 三、零点TH 四、介值TH 五、小结、作业 1/9
定义：设f(x)在区间I上有定义。若x。EI，使得VxEl,f(x)≤ f(x)(f(x) ≥ f(x)则称f(x)是f(x)在I上的最大(小)值，x,是f(x)在I上的一个最大（小）值点y=f(x)最大值和最小值定理在闭区间上连续的函数一定有最大值bx和最小值即：若f(x)EC[a,b], 则 日、 [a,b], 使得VxE[a,bl, 都有 f(5)≥f(x), f(52)≤f(x)2/9
a b 2 1 x y o 最大值和最小值定理 y = f (x) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值 和最小值. 定义: 上的一个 。 则 称 是 在 上 的 ， 是 在 设 在区间 上有定义。若 使 得 最大(小)值点 最 大 小 值 I f x f x I x f x f x f x f x f x x I f x I x I ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) , ( ) , 0 0 0 0 0 [ , ] ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) [ , ] [ , ] 1 2 1 2 x a b f f x f f x f x C a b a b ，都有 ， 即 ：若 ，则 、 ，使 得 2/9
2有界性定理y=f(x)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界bxV零点定理y= f(x)在闭区间上连续的函0a51 53bx数如果在端点处异号则一定在该区间内部有零点即:若f(x)eC[a,b],且f(a)·f(b)<0,那末E(a,b)，使f()= 0.3/9
有界性定理 在闭区间上连续的函 数一定在该区间上有界. a b x y o y = f (x) 零点定理 在闭区间上连续的函 数如果在端点处异号， 则一定在该区间内部有 零点. a 3 b 2 1 x y o y = f (x) 即：若 f (x)Ca,b，且 f (a) f (b) 0，那末 (a, b)， 使 f () = 0. 3/9
y介值定理M在闭区间上连续的函By=f(x)C数，如果在端点处取值a不同，则在该区间内部0xxbxA一定可以取到介于端点m处函数值之间的任何值即 若f(x)ec[a,b]，且 f(a)=A f(b)=B,那末,对任一个 CE(A,B)或(B, A),Ee(a,b),使得f()=C推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值4/9
M B C A m a x1 1 2 3 x2 b x y o y = f (x) 介值定理 在闭区间上连续的函 数，如果在端点处取值 不同，则在该区间内部 一定可以取到介于端点 处函数值之间的任何值. 即 若 f (x)Ca,b，且 f (a) = A f (b) = B,那末， 对任一个 C (A,B)或(B,A)，(a,b)，使得 f ( ) = C . 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与 最小值m之间的任何值. 4/9
例1试证方程x2+x-1=0在(0,1)内恰好有一个实根证 令 f(x)=x3 +x-1,则 f(x)eC[0, 1],又 f(0)=-1<0, f(1)=1> 0,:.f(x)在(a,b)内必有零点。又由 x,x, (0, 1), X <x, 有f(x)- f(x2) =(x+x -1)- (x, +x, -1)=(x, -x). (x +xx +x +1)<0：f(x)在 (0,1)上单调增：f(x)在 0,1）上至多有一个零点：f(x)在(0,1)上恰有一个零点:方程x3-4x2+1=0在(0,1)内恰有一(实)根证毕5/9
例 1 1 0 (0,1) . 试证方程 x3 + x − = 在 内恰好有一个实根 证 ( ) 1, 3 令 f x = x + x − 则 f (x)C[0, 1], 又 f (0) = −1 0, f (1) = 1 0, f (x) 在(a, b) 内必有零点。 又由 x1, x2 (0, 1), x1 x2 , 有 ( ) ( ) ( 1)- ( - 1) 2 3 1 2 3 f x1 − f x2 = x1 + x − x + x ( ) ( 1) 2 1 2 2 2 = x1 − x2 x1 + x x + x + 0 f (x)在（0， 1）上单调增 f (x)在（0， 1）上至多有一个零点 4 1 0 (0,1) ( ) . 方 程 x3 − x2 + = 在 内恰有一 实 根 f (x)在（0， 1）上恰有一个零点 证毕 5/9