闭区间上连续函数的性质

第一章第十节闲区间上连续函数的性质最值定理一、二、介值定理**三、一致连续性HIGHER EDUCATIONPRESS目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 第十节 一、最值定理 二、介值定理 *三、一致连续性 闭区间上连续函数的性质 第一章

最值定理一、定理1.在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值即: 设f(x)C[a,b],则i,2 E[α,b],使f(i)= min f(x)y=f(x)a≤x≤bf(x)f(52) = maxa≤x≤b(证明略)O a Si 2b x注意：若函数在开区间上连续或在闭团区间内有间断点，结论不一定成立HIGHER EDUCATIONPRESS目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 注意: 若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 . 一、最值定理 定理1.在闭区间上连续的函数 即: 设 f (x)C[a, b], 1  2 则 , [ , ],  1  2  a b 使 ( ) min ( ) 1 f f x a xb  = ( ) max ( ) 2 f f x a xb  = 值和最小值. 或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大 (证明略) 点 , x y a b y = f (x) O

例如，y=x,xe(0,1)无最大值和最小值又如，-x+l， 0≤x<l21 x=1f(x)=2-x+3，1<x≤2也无最大值和最小值XHIGHER EDUCATION PRESS上页目录下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例如, y = x , x(0,1) 无最大值和最小值     − +   = − +   = 3 , 1 2 1 , 1 1, 0 1 ( ) x x x x x f x 2 2 也无最大值和最小值 又如, x y 1 1 O x y O 1 1

推论在闭区间上连续的函数在该区间上有界证:设 f(x)eC[a,b],由定理 1 可知有M= maxf(x), m=f(x)min1y= f(x)xe[a,b]xe[a,b]M故 VxE[a,bl,有m≤f(x)≤Mm因此f(x)在[a,b] 上有界O a52b x二、介值定理定理2.（零点定理）f(x)EC[a,bly= f(x)至少有一点且f(a)f(b)<0aEbx证明略E(a,b), 使f()=0.HIGHER EDUCATIONPRESS目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 因此 f (x)在[a,b] 1  2 m M 二、介值定理 由定理 1 可知有 max ( ) , [ , ] M f x x a b = min ( ) [ , ] m f x x a b = 故 x[a, b], 证: 设 f (x)C[a, b], 有 m  f (x)  M , 上有界 . 定理2. ( 零点定理 ) f (x)C[a, b], 至少有一点  (a, b) , 且 使 f () = 0 . f (a) f (b)  0 ( 证明略 ) 推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. b x y a y = f (x) O  x y a b y = f (x) O

定理3.（介值定理）设f(x)EC[a,bl, 且 f(a)=A,f(b)=B,A≠ B,则对 A 与 B 之间的任一数 C,至少有一点 ≤E(a,b),使 f()=CVy= f(x)证：作辅助函数BCAβ(x)= f(x)-C则p(x)eC[αa,b] ,且2b xQβ(a) β(b)=(A-C)(B-C)<0至少有一点 三E(α,b),使β()=0故由零点定理知即f()=C.推论：在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值之间的任何值HIGHER EDUCATION PRESS目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 定理3. ( 介值定理 ) 设 f (x)C[a, b], 且 f (a) = A, f (b) = B, A  B , 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 一点  (a, b), 证: 作辅助函数 (x) = f (x) −C 则 (x)C[a, b] , 且 (a)(b) = (A−C)(B −C)  0 故由零点定理知, 至少有一点  (a, b), 使 () = 0, 即 f () = C. 推论: 在闭区间上的连续函数 C  使 f () = C. 至少有 必取得介于最小值与 最大值之间的任何值 . x A b y a y = f (x) B O