②3的倍数 ③方程x2-2x+1=0的解 ④a,b,c,x,y,z; ⑤最小的整数 ⑥周长为10cm的三角形 ⑦中国古代四大发明; ⑧全班每个学生的年龄 ⑨地球上的四大洋; ⑩地球的小河流 探究3:实数能用字母表示,集合又如何表示呢? 新知3:集合的字母表示 集合通常用大写的拉丁字母表示,集合的元素用小写的拉丁字母表示 如果a是集合A的元素,就说a属于 belong to)集合A,记作:a∈A; 如果a不是集合A的元素,就说a不属于( not belong to)集合A,记作:a∈A 试试3:设B表示“5以内的自然数”组成的集合,则5B,0.5B,0B,-1B 新知4:常见数集的表示 非负整数集(自然数集):全体非负整数组成的集合,记作 正整数集:所有正整数的集合,记作或 整数集:全体整数的集合,记作 有理数集:全体有理数的集合,记作_; 实数集:全体实数的集合,记作 试试4:填∈或:0N,0R,3.7N,3.7Z,-3Q,√3-√2 探究5:探究1中①~⑧分别组成的集合,以及常见数集的语言表示等例子,都是用自然语言来描 述一个集合.这种方法语言文字上较为繁琐,能否找到一种简单的方法呢? 新知5:列举法 把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来,这种表示集合的方法叫做列举法 注意:不必考虑顺序,“;隔开;a与{a}不同 ※典型例题 例1用列举法表示下列集合: ①r15以内质数的集合 ②方程x(x2-1)=0的所有实数根组成的集合; 与y=2x-1的图象的交点组成的集合 变式:用列举法表示“一次函数y=x的图象与二次函数y=x2的图象的交点”组成的集合
37 ② 3 的倍数； ③ 方程 2 x x − += 2 10的解； ④ a，b，c，x，y，z； ⑤ 最小的整数； ⑥ 周长为 10 cm 的三角形； ⑦ 中国古代四大发明； ⑧ 全班每个学生的年龄； ⑨ 地球上的四大洋； ⑩ 地球的小河流. 探究 3：实数能用字母表示，集合又如何表示呢？ 新知 3：集合的字母表示 集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元素用小写的拉丁字母表示. 如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于(belong to)集合 A，记作：a∈A； 如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于(not belong to)集合 A，记作：a∉A. 试试 3： 设 B 表示“5 以内的自然数”组成的集合，则 5 B，0.5 B， 0 B， －1 B. 新知 4：常见数集的表示 非负整数集（自然数集）：全体非负整数组成的集合，记作 ； 正整数集：所有正整数的集合，记作 或 ； 整数集：全体整数的集合，记作 ； 有理数集：全体有理数的集合，记作 ； 实数集：全体实数的集合，记作 . 试试 4：填∈或 ：0 N，0 R，3.7 N，3.7 Z， − 3 Q， 3 2 − R. 探究 5：探究 1 中①～⑧分别组成的集合，以及常见数集的语言表示等例子，都是用自然语言来描 述一个集合. 这种方法语言文字上较为繁琐，能否找到一种简单的方法呢？ 新知 5：列举法 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，这种表示集合的方法叫做列举法. 注意：不必考虑顺序,“,”隔开；a 与{a}不同. ※ 典型例题 例 1 用列举法表示下列集合： ① 15 以内质数的集合； ② 方程 2 x x( 1) 0 − = 的所有实数根组成的集合； ③ 一次函数 与 y x = 2 1 − 的图象的交点组成的集合. 变式：用列举法表示“一次函数 y x = 的图象与二次函数 2 y x = 的图象的交点”组成的集合
探究6你能用列举法表示不等式x-1<3的解集吗 新知:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法,一般形式为{x∈A|P},其中x代表 元素,P是确定条件 试试:方程x2-3=0的所有实数根组成的集合,用描述法表示为 ※典型例题 例1试分别用列举法和描述法表示下列集合 (1)方程“的所有实数根组成的集合 (2)由大于10小于20的所有整数组成的集合 练习:用描述法表示下列集合 (1)方程x3+4x=0的所有实数根组成的集合 (2)所有奇数组成的集合 小结 用描述法表示集合时,如果从上下文关系来看,κ∈R、x∈Z明确时可省略,例如 -x|x>0 变式:以下三个集合有什么区别 (1){(x,y)y=x2-1 (2){yly=x2-l} (3){x|y=x2-1} 反思与小结: ①描述法表示集合时,应特别注意集合的代表元素,如{(x,y)y=x2-1}与{y|y=x2-1}不同 ②只要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例如{x|x>l},{x|x=3k,k∈Z} ③集合的{}已包含“所有”的意思,例如:{整数},即代表整数集Z,所以不必写{全体整数}.下 列写法{实数集},{R}也是错误的 ④列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较 多或有无限个元素时,不宜采用列举法 三、总结提升
38 探究 6 你能用列举法表示不等式 x − <1 3的解集吗？ 新知：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，一般形式为{ |} x∈ A P ，其中 x 代表 元素，P 是确定条件. 试试：方程 2 x − = 3 0 的所有实数根组成的集合，用描述法表示为 . ※ 典型例题 例 1 试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）方程 的所有实数根组成的集合； （2）由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合. 练习：用描述法表示下列集合. （1）方程 3 x x + = 4 0 的所有实数根组成的集合； （2）所有奇数组成的集合. 小结： 用描述法表示集合时，如果从上下文关系来看， x∈ R 、 x∈ Z 明确时可省略，例如 ,{ | 0} x x > . 变式：以下三个集合有什么区别. （1） 2 {( , ) | 1} xy y x = − ； （2） 2 { | 1} yy x = − ； （3） 2 { | 1} xy x = − . 反思与小结： ① 描述法表示集合时，应特别注意集合的代表元素，如 2 {( , ) | 1} xy y x = − 与 2 { | 1} yy x = − 不同. ② 只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如{ | 1} x x > ，{ | 3, } x x kk Z = ∈ . ③ 集合的{ }已包含“所有”的意思，例如：{整数}，即代表整数集 Z，所以不必写{全体整数}.下 列写法{实数集}，{R}也是错误的. ④ 列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较 多或有无限个元素时，不宜采用列举法. 三、总结提升
1.集合的三种表示方法(自然语言、列举法、描述法) 2.会用适当的方法表示集合 课后作业 下列说法正确的是() A.某个村子里的高个子组成一个集合 B.所有小正数组成一个集合 C.集合{2,3,4,5}和{5,4,3,2,1表示同一个集合 D.1051,3.这六个数能组成一个集合 4 2.设A={x∈N|1≤x<6},则下列正确的是() A.6∈ B.0∈A C. 3E A D. 3. A 3.一次函数y=x-3与y=-2x的图象的交点组成的集合是 {1,-2}B.{x=1,y=-2} C.{(-2,1)}D.{(x,y) 4.用列举法表示集合A={x∈Z|5≤x<10}为 5集合A={x=2n且n∈N},B={xx2-6x+5=0},用∈或填空: 6.若集合A={-1,3},集合B={x|x2+ax+b=0},且A=B,求实数a、b. 7.设x∈R,集合A={3,x,x2-2x (1)求元素x所应满足的条件;(2)若-2∈A,求实数x
39 1. 集合的三种表示方法（自然语言、列举法、描述法）； 2. 会用适当的方法表示集合； 课后作业 1. 下列说法正确的是（ ）. A．某个村子里的高个子组成一个集合 B．所有小正数组成一个集合 C．集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一个集合 D． 136 1 1,0.5, , , , 224 4 这六个数能组成一个集合 2. 设 A xN x = ∈ ≤< { |1 6}，则下列正确的是（ ）. A. 6∈ A B. 0∈ A C. 3∉ A D. 3.5∉ A 3. 一次函数 y x = − 3与 y x = −2 的图象的交点组成的集合是（ ）. A. {1, 2} − B. { 1, 2} x y = = − C. {( 2,1)} − D. 3 {( , ) | } 2 y x x y y x ⎧ = − ⎨ ⎩ = − 4. 用列举法表示集合 A xZ x = { | 5 10} ∈ ≤< 为 . 5.集合 A＝{x|x=2n 且 n∈N}， 2 B xx x = − += { | 6 5 0}，用∈或∉填空： 4 A，4 B，5 A，5 B. 6. 若集合 A = −{ 1,3}，集合 2 B x x ax b = + += { | 0}，且 A = B，求实数 a、b. 7. 设 x∈R，集合 2 A = − {3, , 2 } xx x . （1）求元素 x 所应满足的条件； （2）若−2∈ A，求实数 x
§11.2集合间的基本关系 授课教师包珏晔 学习目标 1.了解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集 2.理解子集、真子集的概念; 3.能利用em图表达集合间的关系,体会直观图示对理解抽象概念的作用; 4.了解空集的含义 海学过程 思考:类比实数的大小关系,如5<7,2≤2,试想集合间是否有类似的“大小”关系呢? 新课导学 ※学习探究 探究:比较下面几个例子,试发现两个集合之间的关系 1,A={3,69}与B={x|x=3k,k∈N且k≤333 2,C=(升高中学生}与D={东升高中高一学生}; 3 →与F=01,2} 新知:子集、相等、真子集、空集的概念 ①如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A是集 合B的子集( subset),记作:AB(或BA),读作:A包含于( is contained in)B,或B包含( contains)A 当集合A不包含于集合B时,记作AB ②在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为vm图.用vem图表示两 个集合间的“包含”关系为 AsB(或B2A) B ③集合相等:若A≌B且BcA,则A=B中的元素是一样的,因此A=B ④真子集:若集合A≌B,存在元素x∈B且xgA,则称集合A是集合B的真子集( proper subset) 记作:A鑒B(或BA),读作:A真包含于B(或B真包含A) ⑤空集:不含有任何元素的集合称为空集( empty set),记作:∞,并规定:空集是任何集合的子 集,是任何非空集合的真子集 试试:用适当的符号填空 (1){a,b} ta, b, c),a {a,b,c}; (2) R (3)N{0,1},Q x|x2-x=0)} 反思:思考下列问题 (1)符号“a∈A”与“{a}≤A”有什么区别 (2)任何一个集合是它本身的子集吗?任何一个集合是它本身的真子集吗?试用符号表示结论
40 §1.1.2 集合间的基本关系 授课教师 包珏晔 学习目标 1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； 2. 理解子集、真子集的概念； 3. 能利用 Venn 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用； 4. 了解空集的含义. 学习过程 思考：类比实数的大小关系，如 5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？ 一、新课导学 ※ 学习探究 探究：比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系： 1， A = {3,6,9}与 * B x x kk N k = =∈ ≤ { | 3 , 333} 且 ； 2，C = { } 东升高中学生 与 D = { } 东升高中高一学生 ； 3， 与 F = {0,1,2} . 新知：子集、相等、真子集、空集的概念. ① 如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合 A 是集 合 B 的子集（subset），记作：A ⊆ ⊇ BBA ( ) 或 ，读作：A 包含于（is contained in）B，或 B 包含(contains)A. 当集合 A 不包含于集合 B 时，记作 A B ② 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为 Venn 图. 用 Venn 图表示两 个集合间的“包含”关系为： A ⊆ ⊇ BBA ( ) 或 . ③ 集合相等：若 A ⊆ ⊆ BB A 且 ，则 A = B 中的元素是一样的，因此 A = B . ④ 真子集：若集合 A ⊆ B ，存在元素 x∈ BxA 且 ∉ ，则称集合 A 是集合 B 的真子集（proper subset）， 记作：A B（或 B A），读作：A 真包含于 B（或 B 真包含 A）. ⑤ 空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：∅ . 并规定：空集是任何集合的子 集，是任何非空集合的真子集. 试试：用适当的符号填空. （1）{,} a b {,,} abc ， a {,,} abc ； （2）∅ 2 { | 3 0} x x + = ，∅ R； （3）N {0,1}，Q N； （4）{0} 2 { | 0} xx x − = . 反思：思考下列问题. （1）符号“a A ∈ ”与“{ }a A ⊆ ”有什么区别？ （2）任何一个集合是它本身的子集吗？任何一个集合是它本身的真子集吗？试用符号表示结论. B A
(3)类比下列实数中的结论,你能在集合中得出什么结论? ①若a≥b,且b≥a,则a=b ②若a≥b,且b2c,则a≥c ※典型例题 例1写出集合{a,b,c}的所有的子集,并指出其中哪些是它的真子集 变式:写出集合{0,1,2}的所有真子集组成的集合 知识拓展:如果一个集合含有n个元素,那么它的子集有2"个,真子集有2”-1个 例2判断下列集合间的关系 (1)A={x|x-3>2)与B={x|2x-5≥0}; 设集合A={0,1},集合B={x|xcA,则A与B的关系如何? 变式:若集合A={x|x>a},B={x12x-5≥0},且满足A∈B,求实数a的取值范围 动手试试 练1.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={1,2},C={x|x<8,x∈N},用适当符号填空: 练2.已知集合A={x|a<x<5},B={x|x≥2},且满足A≌B,则实数a的取值范围为」 二、总结提升 ※学习小结 1.子集、真子集、空集、相等的概念及符号;ven图图示;一些结论. 2.两个集合间的基本关系只有“包含”与“相等”两种,可类比两个实数间的大小关系,特别要注 意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法
41 （3）类比下列实数中的结论，你能在集合中得出什么结论？ ① 若ab ba ab ≥≥= , , 且 则； ② 若ab bc ac ≥≥≥ , , 且 则 . ※ 典型例题 例 1 写出集合{,,} abc 的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集. 变式：写出集合{0,1,2}的所有真子集组成的集合. 知识拓展：如果一个集合含有 n 个元素，那么它的子集有2n 个，真子集有 2 1 n − 个 例 2 判断下列集合间的关系： （1） A xx = −> { | 3 2}与 B xx = −≥ { | 2 5 0}； （2）设集合 A={0,1}，集合 B xx A = ⊆ {| }，则 A 与 B 的关系如何？ 变式：若集合 A= > {| } xx a ， B xx = −≥ { | 2 5 0}，且满足 A ⊆ B ，求实数 a 的取值范围. ※ 动手试试 练 1. 已知集合 2 A xx x = − += { | 3 2 0}，B＝{1,2}，C xx x N = { | 8, } < ∈ ，用适当符号填空： A B，A C，{2} C，2 C. 练 2. 已知集合 A xa x = << { | 5}，B xx = ≥ { | 2}，且满足 A ⊆ B ，则实数 a 的取值范围为 . 二、总结提升 ※ 学习小结 1. 子集、真子集、空集、相等的概念及符号；Venn 图图示；一些结论. 2. 两个集合间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，特别要注 意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法