精讲练09因式分解 考点精讲 必考点1因式分解:把一个多项式化成几个整式的乘积的形式这种变形叫做把这个多项式因 式分解 提公因式法:利用提公因式分解因式的方法称为分解因式法 a.多项式中各个多项式都含有的因式称为多项式的公因式 b.公因式的确定:系数取各项系数的最大公约数,字母取各项相同字母的最低次幂 【典例1】(2020·江苏南通第一初中初二期中)下列等式从左到右的变形中,属于因式分解的是() A ab-5=ab-5a B.a2-4a+4=aa-4)+4 81y2=(x+9y(x-9y D.(3x-2)(x+1)=6x2-x-2 【答案】C 【解析】A.db-5)=ab-5a,不是因式分解 B.a2-4a+4=(a-2),故不是因式分解 C.x2-8y2=(x+9yx-9y,是因式分解 D.(3x-2)(2x+1)=6x2-x-2,不是因式分解 故选C 【举一反三】 1.(2019·上海市嘉定区华江中学初一月考)下列各多项式中可以用提取公因式进行因式分解的是( B 5 D.(m+n)2-2(m+n)+ 【答案】C 【解析】A.m2-9,没有公因式,不能用提取公因式法进行因式分解; y2,没有公因式,不能用提取公因式法进行因式分解 C.a3+a2+a,公因式是a,可以用提取公因式法进行因式分解 D.(m+n)2-2(m+n)+1,没有公因式,不能用提取公因式法进行因式分解 1/9
1 / 9 精讲练 09 因式分解 必考点 1 因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,这种变形叫做把这个多项式因 式分解. 提公因式法：利用提公因式分解因式的方法称为分解因式法. a.多项式中各个多项式都含有的因式称为多项式的公因式; b.公因式的确定：系数取各项系数的最大公约数，字母取各项相同字母的最低次幂. 【典例 1】（2020·江苏南通第一初中初二期中）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A．a b 5 ab 5a B．a 2 4a 4 a a 4 4 C．x 2 81y 2 x 9 y x 9 y D．3x 2 2x 1 6x 2 x 2 【答案】C 【解析】A. a b 5 ab 5a，不是因式分解； B. a 2 4a 4 2 a 2 ，故不是因式分解； C. x 2 81y 2 x 9 y x 9 y ，是因式分解； D. 3x 2 2x 1 6x 2 x 2，不是因式分解. 故选 C. 【举一反三】 1．（2019·上海市嘉定区华江中学初一月考）下列各多项式中可以用提取公因式进行因式分解的是（ ） A．m2-9 B． 2 1 2 5 2 x xy y C．a 3+a 2+a D． 2 (m n) 2(m n) 1 【答案】C 【解析】A. m2-9，没有公因式，不能用提取公因式法进行因式分解； B. 2 1 2 5 2 x xy y ，没有公因式，不能用提取公因式法进行因式分解； C. a 3+a 2+a，公因式是 a，可以用提取公因式法进行因式分解； D. 2 (m n) 2(m n) 1 ，没有公因式，不能用提取公因式法进行因式分解；
故选:C 2.(2019山东初二期中)多项式8x2my1-12xy中各项的公因式为 【答案】4x"y1 【解析】 系数的最大公约数是4,各项相同字母的最低指数次幂是x"y 所以公因式是4xy, 故答案为:4xy1 3.(2019上海市嘉定区华江中学初一月考)如果x+y=0,x=7,则x2y+xy 【答案】0 【解析】∵x+y=0,x=7,∴x)y+x2=x(x+y)=0,故答案为:0 必考点2公式法:运用乘法公式分解因式的方法称为分解因式法 ①平方差公式:两个数的平方差等于等于这两个数的和乘以两个数的差 b ②完全平方公式:两个数的平方和加上(或减去)这两个数积的2倍,等于这两个数的和(或 差)的平方a2±2ab+b2=(a±b) 十字相乘法:采用画交叉十字分解系数,把多项式分解成两个因式的乘积形式 x'+(p+q)x+pq=(x+P)(+q) 【典例2】(2019湖北初二月考)分解因式:mx-my2= 【答案】m(x2+y2)(x+y)(x-y) 【解析】mx4-my=m(x2-y4) =m(x2+y2)(x2-y2) =m(x2+y2)(x+y)(x-y); 故答案为:m(x2+y2)(x+y)(x-y) 【举一反三】 4.(2019吉林初三期中)因式分解:a2-4b2= 【答案】(a+2b)(a-2b) 2/9
2 / 9 故选：C． 2．（2019·山东初二期中）多项式 8x 2my n﹣1﹣12xmy n中各项的公因式为_____． 【答案】4xmy n﹣1 【解析】 系数的最大公约数是 4，各项相同字母的最低指数次幂是 xmy n﹣1， 所以公因式是 4xmy n﹣1， 故答案为：4xmy n﹣1． 3．（2019·上海市嘉定区华江中学初一月考）如果 x+y=0，xy=-7，则 x 2y+xy 2=_____． 【答案】0 【解析】∵x+y=0，xy=-7，∴x 2y+xy 2=xy(x+y)=0，故答案为：0. 必考点 2 公式法：运用乘法公式分解因式的方法称为分解因式法. ①平方差公式：两个数的平方差等于等于这两个数的和乘以两个数的差. 2 2 a b a b a b ②完全平方公式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数积的 2 倍，等于这两个数的和（或 差）的平方. 2 2 2 a 2ab b a b 十字相乘法：采用画交叉十字分解系数，把多项式分解成两个因式的乘积形式. 2 x p q x pq x p x q 【典例 2】（2019·湖北初二月考）分解因式： 4 4 mx my ______. 【答案】 2 2 m x y x y x y 【解析】 4 4 4 4 mx my m(x y ) = 2 2 2 2 m(x y )(x y ) = 2 2 m(x y )(x y)(x y) ； 故答案为： 2 2 m x y x y x y . 【举一反三】 4．（2019·吉林初三期中）因式分解： 2 2 a 4b _________. 【答案】a 2ba 2b
【解析】a2-4b2=(a+2b)(a-2b) 故答案为:(a+2b)(a-2b) (2019上海市嘉定区华江中学初一月考)简便计算:7292-2712= 【答案】45.8 【解析】7.292-2.712=(7.29+2.71)7.29-2.71)=10×4.58=458 6.(2019上海市)分解因式: (1)x3+5x2y-24 (2)x3+2x2y-4x-8y 【答案】(1)x(x+8y)(x-3y);(2)(x+2)(x-2) 【解析】(1)原式=x(x2+5xy-24y2)=x(x+8y)(x-3y); (2)原式=x2(x+2y)-4(x+2y)=(x2-4)(x+2y)=(x+2)(x2)(x+2y 考点精炼 、考点冲关 1.(2020·天津初二期末)下列各式从左到右的变形属于因式分解的是() A.a2+1=a(a+) B.(x+1)(x-1) 【答案】D 【解析】A、a2+1=a(a+-),因式中出现了分式,所以A选项不正确 B、(x+1)(x-1)=x2-1为乘法运算,所以B选项不正确 C、a2+a-5=(a-2)(a+3)+1,只是部分分解了,所以C选项不正确 D、x2y+xy2=xy(x+y),所以D选项正确 故选D 2.(2019·山东初二期中)已知a,b,c为△ABC的三边长,且满足a2c2-b2c2=a4-b,判断△ABC的形状() A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形 【答案】D 3/9
3 / 9 【解析】 2 2 a 4b a 2ba 2b . 故答案为：a 2ba 2b . 5．（2019·上海市嘉定区华江中学初一月考）简便计算：7.29 2﹣2.71 2=_________. 【答案】45.8 【解析】7.29 2﹣2.71 2=(7.29+2.71)(7.29-2.71)=10×4.58=45.8. 6．（2019·上海市）分解因式： （1） 3 2 2 x 5x y 24xy （2） 3 2 x 2x y 4x 8y 【答案】（1）x（x+8y）（x-3y）；（2）（x+2）（x-2）（x+2y） 【解析】（1）原式=x（x 2+5xy-24y 2）=x（x+8y）（x-3y）； （2）原式=x 2（x+2y）-4（x+2y）=（x 2-4）（x+2y）=（x+2）（x-2）（x+2y）． 1. （2020·天津初二期末）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( ) A． 2 1 a 1 a(a ) a B． x 1 x 1 2 x 1 C． 2 a a 5 a 2 a 3 1 D． 2 x y x 2 y xy x y 【答案】D 【解析】A、 2 1 a 1 a(a ) a ，因式中出现了分式，所以 A 选项不正确； B、 x 1 x 1 2 x 1 为乘法运算，所以 B 选项不正确； C、 2 a a 5 a 2 a 3 1，只是部分分解了，所以 C 选项不正确； D、 2 x y x 2 y xy x y ，所以 D 选项正确． 故选 D． 2.（2019·山东初二期中）已知 a，b，c 为△ABC 的三边长，且满足 a 2c 2﹣b 2c 2=a 4﹣b 4，判断△ABC 的形状（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D
【解析】∵a2c2-b2c2=a4-b4 ∴(a2c2-b2c2)-(a4-b4)=0 ∴c2(a+b)(a-b)-(a+b)(a-b)(a2+b2)=0, ∴(a+b)(a-b)(c2-a2-b2)=0, ∵a+b#0, ∴a-b=0或c2-a2-b2=0,所以c=b或c2=a2+b2即它是等腰三角形或直角三角形 故选 3.(2019·四川初二期末)下列各式中,能用平方差公式进行分解因式的是() a2+16b2 【答案】C 【解析】A、-a2-4b2两项的符号相同,不能用平方差公式分解因式,故错误; B、是a、2b平方的和,不能用平方差公式分解因式:故此选项错误 C、-a2+16b2=(4b)2-a2能用平方差公式分解因式;故正确 D.a不是平方形式,故不能因式分解,故此选项错误 故选:C (2019甘肃初二月考)已知a、b、c为一个三角形的三条边长,则代数式(a-b)2-c2的值() A.一定为负数B.一定是正数C.可能是正数,可能为负数D.可能为零 【答案】A 【解析】(a-b)2-c2, =(a-b+c)(a-b-c) ∵a+c-b>0,a-b-c<0, ∴(a-b+c)(a-b-c)<0, 即(a-b)2-c2<0 故选A (2019哈尔滨市萧红中学初二月考)若a-b=3,ab=1,则a3b-2a2b2+ab3的值为() B.4 【答案】A 4/9
4 / 9 【解析】∵ , ∴ ∴ ∴ ∵a+b≠0， ∴a-b=0 或 所以 a=b 或 即它是等腰三角形或直角三角形． 故选:D． 3. （2019·四川初二期末）下列各式中，能用平方差公式进行分解因式的是（ ） A． 2 2 a 4b B． 2 2 a 4b C． 2 2 a 16b D． 2 a 2b 【答案】C 【解析】A、 2 2 a 4b 两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故错误； B、是 a、2b 平方的和，不能用平方差公式分解因式；故此选项错误； C、 2 2 a 16b ＝（4b）2−a 2 ,能用平方差公式分解因式；故正确； D．a 不是平方形式，故不能因式分解，故此选项错误． 故选：C． 4. （2019·甘肃初二月考）已知 a、b、c 为一个三角形的三条边长，则代数式（a﹣b）2﹣c 2的值（ ） A．一定为负数 B．一定是正数 C．可能是正数，可能为负数 D．可能为零 【答案】A 【解析】（a-b）2-c 2， =（a-b+c）（a-b-c）， ∵a+c-b＞0，a-b-c＜0， ∴（a-b+c）（a-b-c）＜0， 即（a-b）2-c 2＜0． 故选 A． 5．（2019·哈尔滨市萧红中学初二月考）若 a﹣b＝3，ab＝1，则 a 3b﹣2a 2b 2+ab 3的值为（ ） A．9 B．4 C．3 D．12 【答案】A
【解析】∵a-b=3,ab=1 .. a3b-2a2b2+ab3=ab(a2-2ab+b2) =ab(a-b)2=1×32=9 故答案为A 6.(2020上海复旦二附中初一月考)因式分解:x2+4xy 【答案】x(x+4y) 【解析】原式=x(x+4y)故答案为:x(x+4y) 7.(2019上海领科教育国际高中初一月考)分解因式:-3mn+6n2m-9mm= 【答案】-3m(1-2n+3m2) 【解析】-3m+6n2m-9m3=-3m(1-2n+3m2) 8.(2019山东初二期中)计算20082-2007×2008 【答案】2008 【解析】20082-2007×2008 =2008×(2008-2007) =2008 9.(2019广东深圳实验学校初三期中)分解因式:x2-9X= 【答案】x(x+3)(x-3) 【解析】 9x=x(x2-9)=x(x+3)(x-3) 素养提升 9.(2019·山东初二期中)248-1能被60到70之间的某两个整数整除,则这两个数是( A.61和63 B.63和65 65和67 D.64和67 【答案】B 【解析】 248-1=(22+1)(224-1)=(224+1)(212+1)(212-1) =(224+1)(212+1)(26+1)(26-1) =(22+1)(212+1)(26+1)(23+1)(23-1) 5/9
5 / 9 【解析】∵a-b=3,ab=1, ∴a 3 b-2a 2 b 2 +ab 3 =ab(a 2 -2ab+b 2 ) =ab(a-b) 2 =1 3 2 =9 故答案为:A 6. （2020·上海复旦二附中初一月考）因式分解： 2 x 4xy _______； 【答案】 x x 4y 【解析】原式= x x 4y,故答案为： x x 4y. 7. （2019·上海领科教育国际高中初一月考）分解因式： 2 3 -3mn 6n m 9nm __________. 【答案】 2 3mn(1 2n 3m ) . 【解析】 2 3 3mn 6n m 9nm = 2 3mn(1 2n 3m ) . 8. （2019·山东初二期中）计算 2008 2﹣2007×2008＝_____. 【答案】2008 【解析】2008 2﹣2 007×2 008， ＝2008×(2008﹣2007)， ＝2008. 9．（2019·广东深圳实验学校初三期中）分解因式： = . 【答案】 【解析】 . 9. （2019·山东初二期中）2 48﹣1 能被 60 到 70 之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ） A．61 和 63 B．63 和 65 C．65 和 67 D．64 和 67 【答案】B 【解析】 2 48﹣1＝（2 24+1）（2 24﹣1）＝（2 24+1）（2 12+1）（2 12﹣1） ＝（2 24+1）（2 12+1）（2 6+1）（2 6﹣1） ＝（2 24+1）（2 12+1）（2 6+1）（2 3+1）（2 3﹣1）