因式分解 授课教师包珏晔 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形,它是把一个多项式化为几个整式的积的形式它与整 式乘法是两个互逆的变形过程因式分解是分式通分和约分的必要知识,更是解一元二次方程、分式 方程、无理方程、特殊的高次方程的基础 因式分解的主要方法有:提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法,另外还应了解求根 法及待定系数法 知识起点 在初中阶段我们已经学习了提取公因式法、公式法来分解因式在分解因式时应注意以下二点 1.分解因式的一步骤 (1)首先提取公因式 (2)接着尝试运用公式分解 (3)如果用上述方法都不能分解,那么可以尝试用分组分解法来分解 2.每个因式都要分解到不能再分解为止 知识升华 十字相乘法 1.x2+(p+q)x+p型的因式分解 在初中我们学习了关于x2+(p+q)x+p这类二次三项式的因式分解这类式子的特点是:二次项 系数为1常数项是两个因数之积,一次项系数是常数项的两个因数之和 g)x+ pq=x+ px+x+ pq=x(x+p)+q(x+ p)=(x+p(x+q 因此 (p+g)x+ pq=(x+p(x+q 运用这个公式,可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式. 例1把下列各式因式分解: (1)x2-7x+6 (2)x2+13x+36 说明:此例可以看出,常数项为正数时,应分解为两个同号因数,它们的符号与一次项系数的 符号相同 试一试1:把下列各式因式分解: (1)x2+5x-2
27 因式分解 授课教师 包珏晔 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形,它是把一个多项式化为几个整式的积的形式,它与整 式乘法是两个互逆的变形过程. 因式分解是分式通分和约分的必要知识,更是解一元二次方程、分式 方程、无理方程、特殊的高次方程的基础. 因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法,另外还应了解求根 法及待定系数法． 在初中阶段我们已经学习了提取公因式法、公式法来分解因式.在分解因式时应注意以下二点： 1. 分解因式的一步骤 (1)首先提取公因式； (2)接着尝试运用公式分解； (3)如果用上述方法都不能分解,那么可以尝试用分组分解法来分解. 2. 每个因式都要分解到不能再分解为止. 一．十字相乘法 1． 2 x ++ + ( ) p q x pq 型的因式分解 在初中我们学习了关于 x 2 +（p+q）x+pq 这类二次三项式的因式分解,这类式子的特点是：二次项 系数为 1,常数项是两个因数之积,一次项系数是常数项的两个因数之和. 2 2 x ++ + = + ++ = ++ + =+ + ( ) ( ) ( ) ( )( ) p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q 因此， 2 x ++ + =+ + ( ) ( )( ) p q x pq x p x q 运用这个公式，可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式． 例 1 把下列各式因式分解： (1) 2 x x − + 7 6 (2) 2 x x +13 36 + 说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的 符号相同． 试一试 1: 把下列各式因式分解： (1) 2 x x + − 5 24 (2) 2 2 x + − xy y 6
2.一般二次三项式ax2+bx+c型的因式分解 对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢?下面我们就来讨论这个问题,即把某些形 如ax2+bx+c的二次三项式因式分解 例2把2x2-7x+3分解因式 般地对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0),如果二次项系数a可以分解成两个因数之积即a=a1a2 常数项c可以分解成两个因数之积即c=cc2,把a1a2c1c2排列如下 按斜线交叉相乘再相加得到a2c1+a1c2,若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b,即 a2c1+a1c2=b,那么二次三项式就可以分解为两个因式ax+c1与a2x+c2之积,即 x+bx+e= (ax+c,)(axx+c2) 像这种借助十字交叉线分解系数,从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法通常叫做十字相 乘法 例3把6x2-7x-5分解因式 通过例2和例3可以看到运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解,往往 要经过多次观察,才能确定是否可以用十字相乘法分解因式 对于二次项系数是1的二次三项式,也可以用十字相乘法分解因式这时只需考虑如何把常数项 分解因数例如把x2+2x-15分解因式十字相乘法是 1×(-3)+1×5=2 所以x2+2x-15=(x-3)(x+5) 试一试2.用十字相乘法分解因式 (1)2x25x-12 (2)3y2-5y-2 (3)6x2-13x+5
28 2．一般二次三项式 2 ax bx c + + 型的因式分解 对于二次项系数不是 1 的二次三项式如何因式分解呢？下面我们就来讨论这个问题,即把某些形 如 ax 2 +bx+c 的二次三项式因式分解. 例 2 把 2 2 73 x − +x 分解因式. 一般地,对于二次三项式 ax 2 +bx+c（a≠0）,如果二次项系数 a 可以分解成两个因数之积,即 a=a1a2, 常数项 c 可以分解成两个因数之积,即 c =c1c2,把 a1,a2,c1,c2 排列如下： a1 c1 a2 × c2 a2c1 + a1c2 =b 按斜线交叉相乘,再相加,得到 a2c1 + a1c2 ,若它正好等于二次三项式 ax 2 +bx+c 的一次项系数 b,即 a2c1+a1c2 =b,那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x+c1与 a2x+c2 之积,即 ax 2 +bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2） 像这种借助十字交叉线分解系数,从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法,通常叫做十字相 乘法. 例 3 把 6x 2 -7x -5 分解因式. 通过例 2 和例 3 可以看到,运用十字相乘法把一个二次项系数不是 1 的二次三项式因式分解,往往 要经过多次观察,才能确定是否可以用十字相乘法分解因式. 对于二次项系数是 1 的二次三项式,也可以用十字相乘法分解因式,这时只需考虑如何把常数项 分解因数.例如把 x 2 +2x-15 分解因式,十字相乘法是 1 -3 1 × 5 1×（-3）+ 1×5=2 所以 x 2 +2x-15=（x-3）（x+5）. 试一试 2．用十字相乘法分解因式： （1）2x 2 -5x-12； （2）3y 2 -5y-2； （3）6x 2 -13x+5；
例4把5x2+6xy-8y2分解因式 注意:原式分解为两个关于xy的一次式 试一试3.把下列各式分解因式 (1)18x2-21xy+5y (2)2(a+b)2+(a+b)(a-b)-6(ab) 二.分组分解法 在因式分解时,对于四项及以上的多项式,如ma+mb+na+mb,既没有公式可用,也没有因 式可提,此时要将多项式分组处理,使分组后用提取公因式法或能用公式法分解.这种利用分组来因 式分解的方法叫做分组分解法. 例5把2ax-10qy+5by-bx分解因式 说明:用分组分解法,一定要想想分组后能否继续完成因式分解,由此合理选择分组的方法.本 题也可以将一、四项为一组,二、三项为一组,同学们不妨一试 试一试4.分解因式(1)a6-a+a2-1:(2)b2+c2+2ab+2ac+2bc 三.关于x的二次三项式ax2+bxt+c(a≠0)的分解因式 若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x、x2,则二次三项式 ax2+bx+c(a≠0)就可分解为a(x-x)(x-x2) 例6把下列关于x的二次多项式分解因式: (1)x2+2x-1 (2)x2+4xy-4y
29 例 4 把 5x 2 +6xy - 8y 2 分解因式. 注意：原式分解为两个关于 x,y 的一次式. 试一试 3．把下列各式分解因式： （1）18x 2 -21xy+5y 2 ； （2）2（a+b）2 +（a+b）（a-b）-6（a-b）2 . 二．分组分解法 在因式分解时，对于四项及以上的多项式，如 ma mb na nb + + + ，既没有公式可用，也没有因 式可提，此时要将多项式分组处理,使分组后用提取公因式法或能用公式法分解.这种利用分组来因 式分解的方法叫做分组分解法. 例 5 把2 10 5 ax ay by bx − +− 分解因式． 说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本 题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学们不妨一试． 试一试 4. 分解因式（1） 64 2 aa a −+ − 1； （2） 2 2 b c ab ac bc ++ + + 222 . 三．关于 x 的二次三项式 ax 2 +bx+c(a≠0)的分解因式 若关于 x 的方程 2 ax bx c a + += ≠ 0( 0) 的两个实数根是 1 x 、 2 x ,则二次三项式 2 ax bx c a ++ ≠ ( 0)就可分解为 1 2 ax x x x ( )( ) − − . 例 6 把下列关于 x 的二次多项式分解因式： （1） 2 x + − 2 1 x ； （2） 2 2 x + − 4 4 xy y ．
试一试5.在实数范围内因式分解 四待定系数法分解因式 例7分解因式2x2+xy-3y2+x+14y-15 试一试6.分解因式2x2+xy-y2-4x+5y-6 自主捉高 多项式2x2-xy-15y2的一个因式为 (A)2x-5y(B)x-3y (C)x+3 (D)x-5y 2.分解多项式a2-b2-c2+2bc时,分组正确的是 ) (A)(a2-b2)-(c2-2bc) (B)(a2-b2-c2)+2bc (C)(a2-c2)-(b2-2bc) 若2x3+x2-12x+k有一个因式为2x+1,则k的值为 4.已知x-3y=2,x+y=5,则代数式x2-2xy-3y2= 5.若将(2x)-81分解后得(4x2+9)(2x+3)(2x-3),则n= 6.分解因式3x2+5xy +x+9y-4= 7.分解因式:(1)x2+6x+8 (2)8a3-b3 (3)x2-2x-1 (4)4(x-y+1)+y(y-2x) 8.在实数范围内分解因式: (1)3x2+4 (2)(x2-2x)2-7(x2-2x)+12
30 试一试 5. 在实数范围内因式分解： （1） 2 x − + 5 3 x ； （2） 2 x − 22 3 x − . 四.待定系数法分解因式 例 7 分解因式 2 2 2 3 14 15 x xy y x y + − ++ − . 试一试 6.分解因式 2 2 2 456 x +−−+− xy y x y . 1．多项式 2 2 2 15 x − − xy y 的一个因式为 （ ） （A） 2 5 x − y （B） x −3y （C） x + 3y （D） x −5y 2．分解多项式 a b c 2bc 2 2 2 − − + 时,分组正确的是 （ ） （A）（ ) ( 2 ) 2 2 2 a − b − c − bc （B）(a b c ) 2bc 2 2 2 − − + （C）( ) ( 2 ) 2 2 2 a − c − b − bc （D） ( 2 ) 2 2 2 a − b + c − bc 3．若 3 2 2 12 x +− + x xk 有一个因式为 2 1 x + ,则 k 的值为 （ ） (A) 0 (B) -6 (C) -1 (D) 6 4．已知 x y xy − = += 3 2, 5,则代数式 2 2 x − 2 3 xy y − = _________. 5．若将(2 ) 81 n x − 分解后得 2 (4 9) (2 3) (2 3) x xx + + − ,则n =__ ___. 6. 分解因式 2 2 3 5 2 94 x xy y x y + − ++ − =____ ___. 7．分解因式：（1） 2 x + + 6 8 x ； （2） 3 3 8 ; a b − （3） 2 x − − 2 1 x ； （4）4( 1) ( 2 ) x − y yy x ++ − ． 8．在实数范围内分解因式： （1） 2 2 3 4 x + − xy y ； （2） 222 ( 2 ) 7( 2 ) 12 xx xx − − −+ ．
元二次方程根与系数的关系 授课教师包珏晔 对于一元二次方程,我们已经学会了用合适的方法(配方法,公式法,因式分解法等)去解,但是 对于很多题目来说,仍然有很烦琐的计算.在解决一元二次方程中的字母系数、整数根、及根的分布 等问题时,直接运用根与系数的关系显得更加简洁有力 s知识起点 元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当判别式△=b2-4a<0时,方程无实数根 当判别式△=62-4m0时,方程有两个实数眼x个b+√b2 -b-√b2-4ac ,于是导出 方程的两根之和与两根之积 b+√b2-4ac-b-√b2 b -b+√b2-4ac-b-√b2-4acb2-(b2-4ac)4acc x,x2 4a2 4a2 a 知识升华 、韦达定理 元二次方程的根与系数之间存在下列关系: 如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是x1,x2,那么x+、b M,x2 这一关系也 被称为韦达定理 特别地,对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0,若x,x2是其两根由韦达定理 可知x+x2=-P,x1·x2=q 2.若x,x2是方程x2+px+q=0的两根,则有P=-(x1+x2),q=x1·x2,于是原方程 可化为x2-(x+x2)x+x·x2=0.由于x1,x2是一元二次方程x2+px+q=0的两根,所 以,x,x2也是一元二次方程x2-(x1+x2)x+xx2=0的两根因此,以两个数x,x2为根的一元二 次方程(二次项系数为1)是x2-(x+x2)x+x:x2=0 已典型冽题 例1已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值
31 一元二次方程根与系数的关系 授课教师 包珏晔 对于一元二次方程,我们已经学会了用合适的方法（配方法,公式法,因式分解法等）去解,但是 对于很多题目来说,仍然有很烦琐的计算.在解决一元二次方程中的字母系数、整数根、及根的分布 等问题时，直接运用根与系数的关系显得更加简洁有力. 一元二次方程 2 ax bx c a + += ≠ 0( 0) ,当判别式 2 Δ =− < b ac 4 0 时，方程无实数根. 当判别式 2 Δ= − ≥ b ac 4 0 时，方程有两个实数根 2 1 4 2 b b ac x a −+ − = , 2 2 4 2 b b ac x a −− − = ,于是导出 方程的两根之和与两根之积： 2 2 1 2 4 42 2 22 b b ac b b ac b b x x a a aa −+ − −− − − + = + = =− ； 2 2 22 1 2 2 2 4 4 ( 4) 4 2 2 44 b b ac b b ac b b ac ac c x x a a a aa −+ − −− − − − ⋅ = ⋅ = == ． 一、韦达定理 1. 一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果 2 ax bx c a + += ≠ 0( 0) 的两根分别是 1 x , 2 x ,那么 1 2 b x x a + = − , 1 2 c x x a ⋅ = .这一关系也 被称为韦达定理． 特别地,对于二次项系数为 1 的一元二次方程 2 x px q + + = 0 ,若 1 x , 2 x 是其两根,由韦达定理 可知 1 2 x + =− x p , 1 2 x ⋅ = x q . 2. 若 1 x , 2 x 是方程 2 x px q + += 0 的两根,则有 1 2 p = − + ( ) x x , 1 2 q xx = ⋅ ,于是原方程 可化为 2 1 2 12 x x xx xx − + +⋅ = () 0 .由于 1 x , 2 x 是一元二次方程 2 x px q + + = 0 的两根,所 以, 1 x , 2 x 也是一元二次方程 2 1 2 12 x x xx xx − + +⋅ = () 0 的两根．因此,以两个数 1 x , 2 x 为根的一元二 次方程（二次项系数为 1）是 2 1 2 12 x x xx xx − + +⋅ = () 0 . 例 1 已知方程 2 5 60 x kx + − = 的一个根是 2,求它的另一个根及 k 的值．