例3判定下列级数的敛散性: oo ∑ SIn ∑ 3 nE SIn 解(1)· lim nsin m 1,原级数发散 n→0 (2):lim3"-n m n→0 n→0 n 3 3 ∑收敛,故原级数收敛
例 3 判定下列级数的敛散性: (1) =1 1 sin n n ; (2) =1 3 − 1 n n n ; 解 n n n 1 lim sin → n n n 1 1 sin lim → = = 1, 原级数发散. (2) n n n n 3 1 3 1 lim − → n n n 3 1 1 lim − = → = 1, , 3 1 1 收敛 n= n 故原级数收敛. (1)
6.比值审敛法(达朗贝尔DA| ember判别法): co 设∑Ln是正项级数如果lim-a=p(p数或+o) n→>∞L 则p<1时级数收敛;p>1时级数发散;p=1时失效 证明当p为有限数时,对vE>0, 彐N,当n>N时,有+-p<, 即 p-E<<p+e (n>N)
6.比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)： 设 n=1 un 是正项级数,如果lim ( ) 1 = + + → 数或 n n n u u 则 1时级数收敛; 1时级数发散; = 1时失效. 证明 当为有限数时, 对 0, N, 当n N时, , 1 − + n n u u 有 ( ) 1 n N u u n n − + + 即
当p<时,取8<1-p,使r=8+p<1, N+2 <PN+1 N+3 <ru N+2 <ru N+15 nN+m<rnux+,而级数∑rma+收敛 ∑+m=∑u收敛,收敛 m=1 H=N+1 当ρ>埘时,取E<p-1,使r=p-E>1, 当n>N时,n+1>Pn>un,limn≠0.发散 n→0
当 1时, 取 1− , 使r = + 1, , N +2 N +1 u ru , 1 2 N +3 N +2 uN + u ru r , , 1 1 + − + N m uN m r u , 1 1 1 = + − m N m 而级数 r u 收敛 , 1 1 收敛 = + = + = n N u m uN m u 收敛 当 1时, 取 −1, 使r = − 1, 当n N时, , n 1 n un u + ru lim 0. → n n u 发散