(3)变形体的虚功原理 原理的表述: 任何一个处于平衡状态的变形体,当 发生任意一个虚位移时,变形体所受外力 在虚位移上所作的总虚功δW,恒等于变 形体各微段外力在微段变形位移上作的虚 功之和δW。也即恒有如下虚功方程成立 8W=6W
原理的表述： 任何一个处于平衡状态的变形体，当 发生任意一个虚位移时，变形体所受外力 在虚位移上所作的总虚功δWe，恒等于变 形体各微段外力在微段变形位移上作的虚 功之和δWi。也即恒有如下虚功方程成立 δWe =δWi （3）变形体的虚功原理
任何一个处于平衡状态的变形体,当发生任意一个虚 位移时,变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功δW恒 等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和W 变形体虚功原理的证明: ￥￥↓ E我 1.利用变形连续性条件计算 2利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和W 所有微段的外力虚功之和W 微段外力分∫体系外力 微段位移分∫刚体位移ab→ab 为两部分相互作用力 为两部分变形位移ab”→ab 微段外力功「体系外力功dW微段外力功在刚体位移上的功dHg 分为两部分相互作用力功dWn分为两部分在变形位移上的功dW1 微段外力功dW=dW+dWn 微段外力功dW=dW2+dW 所有微段的外力功之和: 所有微段的外力功之和: W=dw+dw, -dw =w W=dw=Sw 故有W=δW成立
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚 位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功δWe, 恒 等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和δWi。 变形体虚功原理的证明: qx 1.利用变形连续性条件计算 所有微段的外力虚功之和 W 微段外力分 为两部分 体系外力 相互作用力 微段外力功 分为两部分 体系外力功dWe 相互作用力功dWn 微段外力功 dW= dWe +dWn 所有微段的外力功之和: W=∫dWe +∫dWn =∫dWe =δWe 2.利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和 W 微段外力功 分为两部分 在刚体位移上的功dWg 在变形位移上的功dWi 微段外力功 dW= dWg +dWi 所有微段的外力功之和: W=∫dWi =δWi a b a b 微段位移分 为两部分 刚体位移 变形位移 ab a b a b a b 故有δWe =δWi成立。 a b a b b
几个问题: 变形体,当发生任意一个虚 m形mP收敌上作的虐万W帽 1.虚功原理里存在两个状态: 力状态必须满足平衡条件;位移状态必须满足协调 条件。因此原理仅是必要性命题。 ￥￥↓ bbb 132.原理的证明表明原理适用于任何(线性和非线性的 变形体,适用于任何结构。 微 以 系外刀 佩似杨分四体似杨ab→ab 为3原理可有两种应用 微实际待分析的平衡力状态,虚设的协调位移状态,dWa 分 将平衡问题化为几何问题来求解。 odw: 微 实际待分析的协调位移状态,虚设的平衡力状态, 所有将位移分析化为平衡问题来求解。 W=]dwetJdWn=Jde=owe w=Jdi=owi 故有W=δW成立
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚 位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功δWe, 恒 等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和δWi。 变形体虚功原理的证明: qx 1.利用变形连续性条件计算 所有微段的外力虚功之和 W 微段外力分 为两部分 体系外力 相互作用力 微段外力功 分为两部分 体系外力功dWe 相互作用力功dWn 微段外力功 dW= dWe +dWn 所有微段的外力功之和: W=∫dWe +∫dWn =∫dWe =δWe 2.利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和 W 微段外力功 分为两部分 在刚体位移上的功dWg 在变形位移上的功dWi 微段外力功 dW= dWg +dWi 所有微段的外力功之和: W=∫dWi =δWi a b a b 微段位移分 为两部分 刚体位移 变形位移 ab a b a b a b 故有δWe =δWi成立。 a b a b b 几个问题: 1. 虚功原理里存在两个状态： 力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调 条件。因此原理仅是必要性命题。 2. 原理的证明表明:原理适用于任何 (线性和非线性)的 变形体，适用于任何结构。 3. 原理可有两种应用： 实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态， 将平衡问题化为几何问题来求解。 实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态， 将位移分析化为平衡问题来求解
(4)变形体虚功方程的展开式 δW;的计算 M+dM 微段外力:N N+dw Q。Q+ 微段变形可看成由如下几部分组成: □微段拉伸 66:ds y微段剪切二微段弯曲 对于直杆体系,由于变形互不耦连,有: δW=|No+Q;+M60ds 6W=∑[N6e+Q8y+M60d
δWi 的计算: δWi =Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]ds 微段外力: 微段变形可看成由如下几部分组成: （4）变形体虚功方程的展开式 M M dM N N dN Q Q dQ q ds ds 微段剪切 微段拉伸 ds ds 微段弯曲 对于直杆体系，由于变形互不耦连，有: δWe =Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]ds
四、虚功原理的两种应用 1)虚功原理用于虚设的协调位移状态与实际的 平衡力状态之间。 例求A端的支座反力( Reaction at Support直线 P B Ax ········ …_4 ● 待分析平衡的力状态虚设协调的位移状态 解:去掉A端约束并代以反力X,构造相应的虚位移状态 (1)对静定结构,这里实际用的是刚体虚位移原理,实质上是 实际受力状态的平衡方程∑MB=0 (2)虚位移与实际力状态无关故可设△x=1 (3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。 (4)用几何法来解静力平衡问题
1）虚功原理用于虚设的协调位移状态与实际的 平衡力状态之间。 例. 求 A 端的支座反力(Reaction at Support)。 解：去掉A端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态. A B a C (a) b P X (b) P X C (c) 直线 待分析平衡的力状态 虚设协调的位移状态 由外力虚功总和为零，即： X X PC 0 a b X C 将 / / 代入得: X bP / a 通常取 X 1 x 单位位移法(Unit-Displacement Method) (1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是 实际受力状态的平衡方程 (2)虚位移与实际力状态无关,故可设 (3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。 (4)用几何法来解静力平衡问题 0 M B x 1