三维势箱中的粒子 0 (0<x<a,0<y<b,0<z<c) V(x,y,2)= 00 (others) i=- ,2 哈密顿量 +02 2m &x2 O2×3< 0应2)+(y) 薛定谔方程 升yw(x,y,z)=Ey(x,y,2） 波函数分离变量 w(x,y,z)=必1(x)w2(y)w3(2) 8 ya（,2)=aic sin inn2π 、n3π -x sin- 本征函数与本征值 63+ 十 ,h1,n2,n3=1,2,. 2m >21 X.J.WU@USTC
= ( ) 0 (0 , 0 , 0 ) ( , , ) others x a y b z c V x y z ( ) ( , , ) 2 ˆ 2 2 2 2 2 2 2 V x y z m x y z H + + + = − 哈密顿量 ( , , ) ( , , ) ˆ 薛定谔方程 H x y z = E x y z ( , , ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 波函数分离变量 x y z = x y z 三维势箱中的粒子 = + + = = , , , 1,2, 2 ( ) sin sin sin 8 ( , , ) 1 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 1 , , 1 2 3 , , 1 2 3 1 2 3 n n n c m n b n a n E z c n y b n x a n abc x y z n n n n n n 本征函数与本征值 21 X. J. WU @ USTC
简并度 π2h2 a=b=c E 1,n2,n3 (2+n+n) 2a1 π2h2 VΨ112，Ψ121，Ψ211 E=6 2ma 能量是三重简并 111-→121,211,112→221,212,122->311131,113-→. 简并 体系的某一个能量值，对应着若干个不同的波函数 简并的出现与体系的对称性有关 高对称性的体系往往出现能级简并 22 X.J.WU@USTC
( ) 2 2 3 2 2 2 2 1 2 2 , , 1 2 3 n n n ma En n n = + + a=b=c 112 121 211 , , 2 2 2 2 6 ma E = 能量是三重简并 简并 体系的某一个能量值，对应着若干个不同的波函数 简并的出现与体系的对称性有关 高对称性的体系往往出现能级简并 简并度 111→121,211,112 → 221,212,122 → 311,131,113 → 22 X. J. WU @ USTC
算符 定义 F大=f 算符即运算规则。它作用在一个函数f上即是对 进行某种运算，得到另一个函数f 厄米算符 对任意品优波函数，算符满足 则F 是厄米算符 ∫4(y,)dr=ji4j,d 角动量算符 量子算符定义： 卫，L有共同的本征函数系 L.=m,m=0,±l,±1(m≤) 23 X.J.WU@USTC
算符 定义 算符即运算规则。它作用在一个函数 f1 上即是对 f1 进行某种运算，得到另一个函数 f2 1 2 ˆ F f = f 厄米算符 对任意品优波函数，算符满足 则 F 是厄米算符 角动量算符 量子算符定义： L Lz ˆ , ˆ 2 有共同的本征函数系 , 0, 1, , ( ) L m m l m l z = = 23 X. J. WU @ USTC
单电子体系-氢与类氢原子体系 哈密顿量 % v2 Ze2 r 2M 2me 4πeo' TN Te r。-w 中心力场V(r) 定态问题 波函数 y(Rn,R。) me M 1836 Born-Oppenheimer近似(BO,绝热近似) 考虑电子运动时，视核近似不动 >24 X.J.WU@USTC
单电子体系 - 氢与类氢原子体系 r Ze M m H e e N 0 2 2 2 2 2 2 2 4 = − − − 哈密顿量 | | e N r r r = − 中心力场V(r) 波函数 定态问题 1836 1 M me Born-Oppenheimer近似（BO, 绝热近似） 24 X. J. WU @ USTC
三个量子数 主量子数，壳层 K,L,M,N 角量子数，支壳层s,P,d,f,g (0,1,2,3,4) 磁量子数，磁场中分裂（Zeeman效应) (m不同n,l相同的状态，在磁场中有不同的能量) 能级简并度： E.x n-l 8m= (20+1)=n2 (未考虑电子自旋) 波函数 nm R(r)a(0中n(p) 月 ↓ ynm(r,O,p)≡nLm〉 E (0+1)方2 mh 径向函数 R()=er∑6br 除0及o外，有n-1-1个径向节点，R（r）=0 25 X.J.WU@USTC
n —— 主量子数，壳层 K，L，M，N l —— 角量子数，支壳层 s，p，d， f， g （0，1，2， 3，4 ） m —— 磁量子数，磁场中分裂（Zeeman效应） （m不同n，l 相同的状态，在磁场中有不同的能量） 三个量子数 能级简并度： 2 1 0 g (2 1) n n n = + = − = （未考虑电子自旋） 2 1 n En − 波函数 nm (r,,) n m E m H L L n z 2 2 ( 1) ˆ ˆ ˆ + ( ) () () m m n m n R r 径向函数 ( ) 0 1 0 n l Zr na l j nl j j R r e r b r − − − = = 25 X. J. WU @ USTC