32 费曼物理学讲义（第一卷） 再添上一项她就可以查明在水中有几块积木.由于水的高度原来是6英寸，每一块积木会 使水升高子英寸，因而这个新的公式将是： (见到的积木数)+箱重)一16英西+水的高度-6英过=常数， (4.2) 3英两 英寸 在她这个复杂性逐渐增加的世界里，她发现了一系列的项来费示计算积木的方法，这些积术 泼在不准她去看的那些地方.结果，她得出了一个用于计算数量的复杂公式，无论孩子怎料 玩要，这个量总是不变的， 这件事情和能量守恒有什么相似的地方呢？抽象地说，必须从这个图象中除去的最是 著的一点就是，根本没有积太.在(4.1)及(4.2)中取走第一项，我们就会发现自己是在计算 多少是有点抽象的东西.上述比较的相似之处在于以下几点.第一，当我们计算能量时，有 时其中的一部分离开系统跑掉了，有时又有另一些能量进入这个系统。为了验证能量的守 恒，必须注意我们没有把能量引入系统中或从系统中取走能量.第二，能量有许多不同的形 式，对每一种形式都有一个公式.这些不同形式的能量是：重力势能、动能、热能弹性能、电 能、化学能、辐射能、核能、质能.假如我们把表示这些能量的公式全都加在一起，那么，除非 有能量逸出或有其他能量加入，否则其总和是不会改变的. 重要的是要认识到：在今天的物理学中，我们不知道能量究竟是什么.我们并不把能量 想象成为以一定数量的状形式出现.它不是那样的.可是有一些公式可以用来计算某种 数量，当我们把这些数量全部加在一起时，结果就是“28”一总是同一个数目.这是一个 抽象的对象，它一点也没有告诉我们各个公式的机制或者理由是什么. §4-2重力势能 只有当我们的公式包含了所有形式的能量时才能理解能量守恒.我想在这里讨论一下 地球表面附近的重力势能的公式，并用一种与历史无关的方式来导出这个公式，这种推导方 式只是为这鉴课想出来的，也就是说一种推理思路，为的是要向你们说明一个值得注意的情 况：从几个实和严密的推理出发可以推断出很多有关大自然的知识.它也表明了理论物 理学家投身于怎样的一类工作.我们这里的推理仿照了卡诺(Carnot)讨论蒸汽机效率时所 使用的极其杰出的论证方式 让我们考虑一种起重的机械，它有这样的特点：用降低一个重物的方法来提高另一个重 物.此外还假设：在这种起重机械中不可能有永恒的运动，（事实上，根本不存在什么永恒 运动，这正是能量守恒定律的一般表述.)在定义永恒运动时必领特别小心.首先，我们定义 起重机械的永恒运动.假如我们提起和放下一些重物并使机械回复到原来的状态后，发现 最后的结果是提升了一个重物，于是我们就有了永恒运动的机械，因为我们可以利用被提起 的重物使另外的一些东西运转.这就是说，提起重物的机械箱确地回到原来的状态，而且是 完全独立完成的一它没有从外界（就象布鲁撕的积木那样）取得能量来抬高这个重物. 图4-1所示是一台很简单的起重机械.这台机械举起三个单位的重物.我们把这三个 ·事实上你们可能已经知道式4，)，因此这-一讨论的意义与其说是得出俱)式，不如说是表明能用推理论证的方 法来得出这祥的结界
第4章能量守但 33 单位的重物放在一个秤盘里，在另一个盘内则放置一个单位的重物.但是，为了使机城实际 上能工作，我们必须在左边诚去一点点重量.另一方 面，我们可以通过降低三个单位的重物来升高一个单 位的重物，只要我们在右边的盘子里提起一点点重量. 当然，我们认识到，对于任何实际的起重机械来说，为 图4-1简单的起重机起 了使它运行必须施加一点额外的作用。这一点我们暂时不去考虑.理想的机械并不需要额 外的作用，然而它们事实上是不存在的 我们实际使用的机械在某种含义上可以说几乎是 可逆的，即假如降低一个单位的重物能使这种机械提升三个单位的重物的话，那么降低三个 单位的重物也能使这种机械把一个单位的重物提升到接近原来的高度。 我们设想存在着两类机械：一类是不可逆的，它包括所有的真实的机械：另一类是可逆 的.当然实际上它是不可能达到的，不管我们怎样仔细地去设计轴承、杠杆等等.但是，我 们假设有这样的东西 一台可逆机，在它使一个单位（一磅或任何其他单位）重的物体降 低一个单位距离的时候提起了三个单位的重物.把这台可逆机称为A机.假定它使三个 单位的重物升高的距离是龙.此外，假设还有另一台机械一B机，它不一定是可逆机，并 且也使一个单位的重物降低一个单位距离，不过使三个单位的重物升高的距离是y.我们 现在可以证明y不会高于，这就是说，不可能建造这样一种机械，能把重物提得比可逆机 所提到的高度还要高.让我们来看看为什么是这样.假设！大于如，我们用B机使一个单 位的重物降低一个单位距离，这使三个单位的重物升高距离.然后，我们可以使这个重物 从y降到心，获得自由的能量，再利用可逆机A反向运转，使三个单位的重物降低x而使 个单位的重物升高一个单位距离。这样一个单位的重物回到了原来的高度，而使这两台机 械又处于初始的备用状态！因此，假如y高于出，那么就会有永恒运动，但我们已经假设这 是不可能的。于是利用这些假定，我们就能够推导出丝不会比：高，因此在所有可能设计的 制机械中，可碰机是最好的 我们还可以看出所有的可道机提升的高度一定完全相同.假定B的确也是可逆的.当 然，前面关于y不会高于x的论据现在同样成立，但是我们也可以把这两台机械的工作顺序 倒过来，即反之论证：不高于.这一点是很值得注意的，因为它使我们能够在不考黎内部 机制的情况下分析不同的机械对物体可以提升的高度.我们立刻知道，如果有一个人制作 了一组极其精巧的杠杆，利用这组杠杆使一个单位的重物降低一个单位距离就可以把三个 单位的重物提升到某一个高度，把这组杠杆和一个具有同样用途的简单的可逆的杠杆作比 较就可以知道它不会比简单的可逆的杠杆提得更高，而是或许还会低一些.假如这个人的机 械是可逆的，我们也能精确地知道它可以提得多高。概括地说就是：每一台可逆机械无论怎 样运转，当它使一个单位的重物下降一个单位距离时，总是会使三个单位的重物提升同样的 距离五。很请楚，这是一条非常有用的普遍定律.接下来的问题自然是：是多少？ 假如我们有一台可逆机，它能在3对1时提升距离无.在图4-2中，我们在一个固定的 多层架子上放登三个球.另外有一个球放在离地面一英尺的台上.这台机械可以使一个球 降低1英尺来拾高三个球.现在，我们来这样安排：设容纳三个球的升降台有一层底板和两 层架子，间隔正好是乌，其次，容纳球的多层架的间隔也是x(图).首先我们使小球从多层 架水平地滚到升降台上的架子中去（图），我们假投这并不需要能量，因为高度并没有改 变.于是开动可逆机进行工作：它使一个球降到底层，而使升降台升高距离x(图).由于
34 费曼物理学讲义（第一卷） 我们已经巧妙地安排了多层架，于是这些球又和架子相平.这样就把球卸到了多层架上（图 d).卸了球以后，我们可以使机械回复到初始状 L 态.现在在上面三层架子上有三个球，在底部有 英尺■ 一个球，但是奇怪的是从某种观点上讲，我们根本 O■ 没有使其中两个升高，因为，无论如何第二层和第 【回起始 三层架子象以前一样里面装着球，因此，最后的效 果是使一个球升高了3x距离.假如3c超过1英 尺，那么我们就可以把小球放下来使机械回到初 始状态（图），这样就能使这个装置再次运转.所 以3如不可能超过1英尺，因为如果3x超过1英 似1使3磅升高 卸球 尺，我们就能创造出永恒运动.同样，使整台机械 反向运行，我们可以证明，1英尺不能超过，因 为这是一台可逆机.所以3既不大于也不小于 1英尺，这样我们只是通过论证就发现了一条规 律，x=英尺，显然，这条规律可以推广为：开 )重新安排 0终了 围4-2一种可逆机 动一台可逆机使1磅重物降下一定距离，那么这 台机械可以使磅重物提高那段距离的一另一种表示结果的说法是：3磅乘以所提高的 距离（在我们的问题中是），等于1磅乘以所降低的距离（在这种情况下是1英尺）.如果 我们先把所有的球的重量分别乘以它们现在所在的高度，然后使机械运转，再把所有的球的 重量乘以它们所在的高度，得出的前后结果不会有任何改变.（我们必须把例子中只移动一 个重物的情况推广到档我们降低一个重物就能提升几个不同的重物的情况一但这是不难 的.) 我们把重量和高度的乘积之和称为重力势能 一这是一个物体在空间上与地球之间的 相互关系而具有的能量.那么，只要我们离地球不是太远（当位置很高时重力要减弱），重力 势能的公式就是 (一个物体的重力势能)=（重量）×（高度）. (4.8) 这是一条十分优美的推理思路.唯一的问题在于，或许这并不是实际的情形.（无论如何，大 自然毋须按我们的推理行事.)例如，也许永恒运动事实上是可能的.某些假设可能是错误 的，或者我们的推理或许有错误，所以验证总是必要的.事实上，实验证明它是正确的。 那种与别的物体的相对位置有关的能量的一般名称就称为势熊.当然，在上面的特殊情 况中，我们则称它为重力势能.如果我们克服电力做功，而不是克服重力做功，即用许多杠 杆“提升”一些电荷使之离开其他的电荷，那么所包含的能量就称为电势能. 一般的原则是 能量的变化为有关的力乘以力所推过的距离，而且这是一般的能量变化： (能量的变化)一（仂）×（力的作用下所通过的距离）. (4.4) 随着课程的进展我们还要讲到其余的种种势能.。 在许多情况下能量守恒原理对于推断会发生什么事都是非常有用的.在高中你们已学 过许多有关不同用途的滑轮和杠杆的定律，我们现在可以看到所有这些“定律”都是二回事
第4章能量守祖 并且不需要记住75条法则.一个简单的例子是如图4-3所示的一个光滑斜面，很巧，这是 一个边长为3一4一-5的三角形.我们在斜面上用滑轮挂上一个1磅重的物体，而在滑轮的 另一端悬挂一个重物W.我们想知道为了平衡在斜面上的1磅重物，W必须是多重？怎 样来求出答案呢？假如我们说情况正好是平衡的话，那就是可逆的，因而可以使重物上下移 动.所以，我们可以考虑下述情况.起初，如图(@)所示，1磅重物在斜面底部，而重物W在 斜面的顶端.当W以一种可逆的方式滑下去后，1磅的物体就在斜面顶部，而W经过的距 离就是斜边的长度，如图（⑥）所示，即5英尺.我们使1磅重的重物只提高了3英尺而使W 降低了5英尺，所以，W一号磅。注意，我们是从能量守恒，而不是从力的分解来得出这个 结论的.然而在这里，巧妙是相对的。可以用另一种更高明的方法来推导这个结果，这个由 斯蒂维纽司(Stevinus)所发现的方法就铭刻在他的基碑上.图44说明这个重物一定是 3/5磅，因为这个圆球链并没有转动，很明显链条的下端的部分是为自身所平衡的，所以一 边三个重物的拉力必须与另一边五个重物的拉力平衡，即按边长的比例，从图中你们可以 看到，W一定是三磅 图43斜面 图44蒂维司的墓志铭 让我们现在用图4-5所示的螺旋起重器这个比较复杂的问题来说明能最原理.转动 螺旋的把柄长为20英寸，螺纹为每英寸10圆，我们想知道，为了举起一吨(2000磅)的重 物，在把柄上要施加多大的力？假如我们要使一吨重物升高1英寸，就必须使把柄转10圈. 把柄转一次时大约走过126英寸.所以它总共要走过1260英寸，如果我们利用各种滑轮之 类的机械，就可以用加在柄的端点上的一个未知的小重物W来举起1吨的重物，我们发现， W大约是1.6磅.这就是能量守恒的一个结果。 10圈螺纹/英寸 图45螺旋起重器 图←6一端支撑着的荷重杆 在图4-6中我们举一个稍为更复杂一点的例子.一根8英尺长的棒，一端被支撑者，在 棒的中间有一个60磅的重物，离支点2英尺处有一个100磅的重物，假如不考虑棒的重量
86 费曼物理学讲义（第一卷） 为了保持它的平衡，我们要在棒的另一端加多大的力？假设在棒的那一端放上一个滑轮，并 在滑轮上悬挂一个重物W,为了使棒平衡，W应当是多重？我们设想W落下任意一段距 离，为了简便起见，设它下降了4英寸，那么这两个重物要升高多少呢？棒的中心升高了2 英寸，而离固定端2英寸处的那一点开高了1英寸，所以，各个重物与高度的乘积之和不变， 这个原避告诉我们，W乘以下降的4英寸，加上60磅乘以升高的2英寸，再加上100磅乘 以升高的1英寸，其和必定是零， -4W+(2)(60)+(1)(100)=0,W=55磅 (4.50 这就是说为了使棒平衡，必须加上一个5磅的重物.用这种方法，我们可以得出“平衡”定 律 一复杂的桥梁建筑的静力学，等等.这种处理问题的方法称为虚功原理，因为为了进行 这种论证，我们必须设想系统移动一下一一即使它实际上没有移动，甚至不能移动.为了运 用能量守恒的原理，我们用了很小的假想的运动. §4-3动能 为了说明另一种形式的能量，我们来考虑一个单摆（图4）.假如我们把它拉向一边 再把它放开，它就会来回摆动.在这种运动中，每当从端点跑向中 点时，它的高度降低了，这时势能跑到哪里去了呢？当摆降到底部 时，势能就消失了，不过，它将再次爬上来.可见重力势能必定转 变为另一种能量形式。很明显它是依靠了自己的运动才能重新爬 上来.所以，当它到达底部时，重力势能就转变为某种其他形式的 能量。 图47单摆 我们应当得出一个运动能昼的公式.现在，回想一下关于可 逆机的论证，很容易看出，在底部的运动必定具有一定量的能量，可使摆升高到一定高度，这 个能量与摆上升机制无关，或者说与上升的路径无关，所以与我们对孩子玩积木的情形所 写出的公式一样，这里也有一个（两种能量间的）等价公式。我们有另一种表示能量的形式， 要说明它是不难的.摆在底部的动能等于重量乘以它能升高的高度：KE.=WH,现在 需要的是一个利用某种与物体的运动有关的规则来说明摆动高度的公式。假如我们以一定 的速度直接朝上抛出一个物体，它将到达一定的高度：我们暂时还不知道到底是多高，但是 它依赖于速度一“关于这个，有一个相应的公式.于是，为了找到物体以速度V运动的动 能的公式，我们必须计算它能到达的高度，再乘以物体的重量.我们立刻就会知道，可以把 动能写成这种形式： K.E.-WV/2g. (4.6) 当然，运动具有能量这个事实与物体处于重力场内这件事毫无关系..无论运动怎样产生，这 都没有关系.这是一个适用于各种速度的一般公式。(4.3)及(46)两式都是近似的公式。 (4.)式在高度很尖时是不正确的，因为这时，重力要减弱；而(4.6)在高速时要加以相对论 性的校正.然面，普我们最后得到动能的精确公式时，能量守恒定律是正确的。 §44能量的其他形式 我们可以继续以这种方法来说明能量还以其他的方式存在。首先考虑弹性能，假如我 们拉伸弹管，就必须作一些功，因为拉伸时，可以提起重物.所以弹簧在伸长的情况下具有