100 110 ABC l11 2.最小项的基本性质 以三变量为例说明最小项的性质,列出三变量全部最小项的真值表如表3.2.2所示 表322三变量全部最小项的真值表 AB C ABC ABC ABC ABC ABC ABCABC 0000 10000000 101 1000 0 0 110.0 000.000 1001000 10000100 0 0 00000 0 1000 10000001 l11 从表3.2.2中可以看出最小项具有以下几个性质 (1)对于任意一个最小项,只有一组变量取值使它的值为1,而其余各种变量取值 均使它的值为0。 (2)不同的最小项,使它的值为1的那组变量取值也不同。 (3)对于变量的任一组取值,任意两个最小项的乘积为0 (4)对于变量的任一组取值,全体最小项的和为1。 二,逻辑函数的最小项表达式 任何一个逻辑函数表达式都可以转换为一组最小项之和,称为最小项表达式 例3.2.1将逻辑函数L(A,B,C)=AB+AC转换成最小项表达式 解:该函数为三变量函数,而表达式中每项只含有两个变量,不是最小项。要变 为最小项,就应补齐缺少的变量,办法为将各项乘以1,如AB项乘以(C+C) L (A, B, C)=AB+AC= AB(C+C)+AC(B+B)=ABC +ABC +ABC +ABC =m?+m6+m3+m 为了简化,也可用最小项下标编号来表示最小项,故上式也可写为 L(A,B,C)=∑m(1,3,6,7) 要把非“与一或表达式”的逻辑函数变换成最小项表达式,应先将其变成“与一或
6 ABC ABC ABC ABC 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 m4 m5 m6 m7 2．最小项的基本性质 以三变量为例说明最小项的性质，列出三变量全部最小项的真值表如表 3.2.2 所示。 表 3.2.2 三变量全部最小项的真值表 变量 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 A B C ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 从表 3.2.2 中可以看出最小项具有以下几个性质： （1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为 1，而其余各种变量取值 均使它的值为 0。 （2）不同的最小项，使它的值为 1 的那组变量取值也不同。 （3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为 0。 （4）对于变量的任一组取值，全体最小项的和为 1。 二． 逻辑函数的最小项表达式 任何一个逻辑函数表达式都可以转换为一组最小项之和，称为最小项表达式。 例 3.2.1 将逻辑函数 L（A,B,C） = AB + AC 转换成最小项表达式 解： 该函数为三变量函数，而表达式中每项只含有两个变量，不是最小项。要变 为最小项，就应补齐缺少的变量，办法为将各项乘以 1，如 AB 项乘以 (C + C) 。 L（A,B,C） = AB+ AC = AB(C +C) + AC(B + B) = ABC+ ABC + ABC + ABC =m7+m6+m3+m1 为了简化，也可用最小项下标编号来表示最小项，故上式也可写为 L（A,B,C）=∑m（1,3,6,7） 要把非“与—或表达式”的逻辑函数变换成最小项表达式，应先将其变成“与—或
表达式”再转换。式中有很长的非号时,先把非号去掉。 例3.2.2将逻辑函数F(A,B,C)=AB+AB+AB+C转换成最小项表达式 #2: F(A, B, C)=AB+AB+AB+C AB+ABABC=AB+(A+ B)(A+ B)C= AB+ ABC +ABC AB(C +C)+ABC +ABC= ABC+ABC+ABC+ABC =m+m6+m3+m5=∑m(3,5,6,7) 三.卡诺图 1.相邻最小项 如果两个最小项中只有一个变量不同,则称这两个最小项为逻辑相邻,简称相邻项。 如果两个相邻最小项出现在同一个逻辑函数中,可以合并为一项,同时消去互为反 变量的那个量。如 ABC+ ABC= AC(B+B)=AC 可见,利用相邻项的合并可以进行逻辑函数化简。有没有办法能够更直观地看出各 最小项之间的相邻性呢?有。这就是卡诺图 卡诺图是用小方格来表示最小项,一个小方格代表一个最小项,然后将这些最小项 按照相邻性排列起来。即用小方格几何位置上的相邻性来表示最小项逻辑上的相邻性 卡诺图实际上是真值表的一种变形,一个逻辑函数的真值表有多少行,卡诺图就有多少 个小方格。所不同的是真值表中的最小项是按照二进制加法规律排列的,而卡诺图中的 最小项则是按照相邻性排列的 2.卡诺图的结构 (1)二变量卡诺图。 AB AB B (2)三变量卡诺图。 lI ABCABC ABC ABC ABCABC ABC LABC (b) (3)四变量卡诺图
7 表达式”再转换。式中有很长的非号时，先把非号去掉。 例 3.2.2 将逻辑函数 F（A,B,C） = AB + AB + AB + C 转换成最小项表达式 解：F（A,B,C） = AB + AB + AB + C = AB + AB AB C = AB + (A + B)(A + B)C = AB + ABC + ABC = AB(C +C) + ABC + ABC = ABC+ ABC + ABC + ABC =m7+m6+m3+m5=∑m（3,5,6,7） 三．卡诺图 1．相邻最小项 如果两个最小项中只有一个变量不同，则称这两个最小项为逻辑相邻，简称相邻项。 如果两个相邻最小项出现在同一个逻辑函数中，可以合并为一项，同时消去互为反 变量的那个量。如 ABC+ ABC = AC(B + B) = AC 可见，利用相邻项的合并可以进行逻辑函数化简。有没有办法能够更直观地看出各 最小项之间的相邻性呢？有。这就是卡诺图。 卡诺图是用小方格来表示最小项，一个小方格代表一个最小项，然后将这些最小项 按照相邻性排列起来。即用小方格几何位置上的相邻性来表示最小项逻辑上的相邻性。 卡诺图实际上是真值表的一种变形，一个逻辑函数的真值表有多少行，卡诺图就有多少 个小方格。所不同的是真值表中的最小项是按照二进制加法规律排列的，而卡诺图中的 最小项则是按照相邻性排列的。 2．卡诺图的结构 （1）二变量卡诺图。 00 01 11 10 m AB m AB m0 m1 3 AB AB 4 A (a) B 0 1 3 2 AB (b) （2）三变量卡诺图。 m0 ABC m ABC 1 m3 m ABC ABC 2 5 m 6 ABC 4 7 ABC m m m ABC ABC 0 (a) (b) 1 3 2 4 5 7 6 00 01 11 10 BC A 0 1 B C A （3）四变量卡诺图
ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD 1/ BCE ABCD ABCD/ABCD IIl121315|14 ABCD ABCD AECD ABCD 10 仔细观察可以发现,卡诺图具有很强的相邻性 首先是直观相邻性,只要小方格在几何位置上相邻(不管上下左右),它代表的最小 项在逻辑上一定是相邻的 其次是对边相邻性,即与中心轴对称的左右两边和上下两边的小方格也具有相邻性 四.用卡诺图表示逻辑函数 1.从真值表到卡诺图 例3.23某逻辑函数的真值表如表3.2.3所示,用卡诺图表示该逻辑函数。 解:该函数为三变量,先画出三变量卡诺图,然后根据表3.2.3将8个最小项L 的取值0或者1填入卡诺图中对应的8个小方格中即可,如图3.2.4所示。 表3.2.3真值表 11 001 0 011 l00 110 图3.24例3.2.3的卡诺图 2.从逻辑表达式到卡诺图 1)如果逻辑表达式为最小项表达式,则只要将函数式中出现的最小项在卡诺图对 应的小方格中填入1,没出现的最小项则在卡诺图对应的小方格中填入0 例3.2.4用卡诺图表示逻辑函数F=ABC+ABC+ABC+A 解:该函数为三变量,且为最小项表达式,写成简化形式F=m0+m3+m+m,然
8 m0 ABCD ABCD m1 ABCD m3 m ABCD 2 m5 m7 m6 ABCD ABCD m ABCD 4 ABCD ABCD m13 m ABCD ABCD m12 15 m14 ABCD ABCD ABCD m ABCD m8 9 m11 m10 ABCD A B C D 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10 AB CD 00 00 01 01 11 11 10 10 (a) (b) 仔细观察可以发现，卡诺图具有很强的相邻性。 首先是直观相邻性，只要小方格在几何位置上相邻（不管上下左右），它代表的最小 项在逻辑上一定是相邻的。 其次是对边相邻性，即与中心轴对称的左右两边和上下两边的小方格也具有相邻性。 四． 用卡诺图表示逻辑函数 1．从真值表到卡诺图 例 3.2.3 某逻辑函数的真值表如表 3.2.3 所示，用卡诺图表示该逻辑函数。 解： 该函数为三变量，先画出三变量卡诺图，然后根据表 3.2.3 将 8 个最小项 L 的取值 0 或者 1 填入卡诺图中对应的 8 个小方格中即可，如图 3.2.4 所示。 图 3.2.4 例 3.2.3 的卡诺图 2．从逻辑表达式到卡诺图 （1）如果逻辑表达式为最小项表达式，则只要将函数式中出现的最小项在卡诺图对 应的小方格中填入 1，没出现的最小项则在卡诺图对应的小方格中填入 0。 例 3.2.4 用卡诺图表示逻辑函数 F = ABC + ABC + ABC + ABC 解： 该函数为三变量，且为最小项表达式，写成简化形式F = m0 + m3 + m6 + m7 然 表 3.2.3 真值表 A B C L 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 01 11 10 0 A 00 BC 0 1 0 0 0 1 1 1 1 L