上海交通大学：《光通信系统与网络》课程教学课件（讲稿）第四讲 光纤模式理论

圆柱坐标系中的波动方程光纤矢量法1.材料线性、各向同性、透明介质、均匀2.Z向传输波[3]-[5]-[3]3.半无限长，纵、横向差别极大ayay1aolayVy:+-=0orOx?Ov[+-=0[ +(k-)],=0010%+10%+(k2-=0[+-,=0Or?r Or?apE.(r,)HE，的标量波动方程yH.(r,p)

圆柱坐标系中的波动方程                H 0 E 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                 t t t t t z t z k k k H k E     2 2 2 2 2 2 2 2 1 1                            r r r x y r r t 光纤 1. 材料线性、各向同性、透明介质、均匀 2. z向 传输波 3. 半无限长，纵、横向差别极大                                 , , 0 1 1 2 2 2 2 2 2 2 H r E r k r r r r z H z z,E z的标量波动方程 z z z r r r e H E e H E e H E ˆ ˆ ˆ                              H E 矢量法

分离变量求解令 y(r,p)= R(r)p(p)光纤是圆柱波导，电磁场沿?方向是以2元为周期的周期函数，故d(p)=ejmgm=0,±1,±2,±3..标量波动方程化为：[E.(r)d° R(r) 1 dR(r)m|R(r)=0 R(r)=k2-B2[H.(r)]dr2dr纵向场为：E.(r,p,z,t)=E.(r)ejmee(jat-jp)H,(r,p,z,t)= H,(r)ejmgeliat-jp)

分离变量求解 令    r,  Rr 光纤是圆柱波导，电磁场沿φ方向是以2π为周期的 周 期函数，故:     jm   e m=0,±1, ±2, ±3. 标量波动方程化为：                    H r E r R r R r rm k dr dR r dr r d R r zz 0 1 22 2 2 2 2  纵向场为：          jm   j t j z z z jm j t j z z z H r z t H r e e E r z t E r e e             , , , , ,

贝塞尔方程及其性质典型的贝塞尔方程d'y, dymV=0dx?x dxX其解为：=AJm(x)+BYm(x)2k+nJ.(g)=(-1)第一类贝塞尔函数klr(k+1+m）-Y,()= COsm元- J,()-J-m()第二类贝塞尔函数sinm元（或Neumann函数）d'y,1 dym对于形式为y=0的方程，如令z=jxdx?x dx即化为自变量为z的贝塞尔方程，故称之为变型（虚宗量）的贝塞尔方程，其解为y= CIm(x)+ DKm(x)I(x)和K(x)为第一、二类变型的贝塞尔函数

贝塞尔方程及其性质 1 0 1 2 2 2 2             y x m dx dy dx x 典型的贝塞尔方程 d y 其解为：                m m J x J x Y x x k k m J x y AJ x BY x m m m k m k k m m m sin cos 1 2 1 ! 1 1 2 0                      第一类贝塞尔函数 第二类贝塞尔函数 （或Neumann函数） 对于形式为 1 0 1 2 2 2 2             y x m dx dy dx x d y 的方程，如令z=jx, 即化为自变量为 z的贝塞尔方程，故称之为变型（虚宗量） 的贝塞尔方程，其解为: y CI  x  DK  x   m  m I m(x) 和 Km(x)为第一、二类变型的贝塞尔函数

贝寒尔函数递推关系常用特殊值J-m(x)=(-1)" Jm (x)J.(0) = 1;J m(c)- 2m J.(t)- ()J,(0) = 0;Kml()=+~ k.(t)+ Km(t)J, (0) = 0;J. (x)=[m-(x)-J m()Km(0)= 00;K. (x)=-[Km-1(α)+ Km+1(x)Je(x)=-J,(x)K:(x)= -K,(x)

                            K   x K x J x J x K x K x K x J x J x J x K x K x x m K x J x J x x m J x J x J x m m m m m m m m m m m m m m m 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1                              贝塞尔函数递推关系         0 ; 0 0 ; 0 0 ; 0 1 ; 2 1 0      K m J J J 常用特殊值

贝塞尔函数的渐近公式2m元当x—8时元Jm(g)~CO42m元Y. (x)~sin12ATXI.(x) =2元X元Km(a)=2x当x-0时m-()Jm(μ)~-Km(x)YXx21.1229Jo(g)~1-K.(x)~ In4

贝塞尔函数的渐近公式 当 x →∞时         x m x m m m e x K x e x I x m x x Y x m x x J x                                  2 2 1 2 4 sin 2 2 4 cos 2 1 2 1 2         当 x →0时                      x K x x m K x m m 1.1229 ln 2 2 1 ! 0     4 1 ! 2 1 2 0 x J x x m J x m m         