题型小结 1、一阶微分方程求解 Example 1.求(x+1)+1=2e-的通解 dx Solution.分离变量得 小y 2e-y-1x+1 两边积分 e es x+1 AE -In2-e=Inx+1-InCl 从而(x+1)(2-e")=C为所求通解 K
二、题型小结 1、一阶微分方程求解 Example 1. 求( 1) 1 2 的通解. y e dx dy x − + + = Solution. 2 1 1 + = − − x dx e dy 分离变量得 y + = 2 − 1 x dx e e dy y y 两边积分 e x C y 得 − ln2 − = ln + 1 − ln 从而 (x 1)(2 e ) C 为所求通解. y + − =
Example2.求y+sinx+y=sinx一”的通解 2 Solution.原方程可变形为y=-2 cos-sIn 22 分离变量得=-2c0sXax SIn a、3 两边积分 =-2[c0s-d 22 SIn 2 fE In cscy-cot =-2sin +InC 2 2 2 csc=-cot Ce2为所求的通解 2 K
Example 2. . 2 sin 2 求 sin 的通解 x y x y y − = + + Solution. 2 sin 2 2cos x y 原方程可变形为 y = − dx x y dy 2 2cos 2 sin 分离变量得 = − = − 2 2 2 cos 2 sin 2 x d x y y d 两边积分 C y y x ln 2 2sin 2 cot 2 得 lncsc − = − + . 2 cot 2 csc 2 2sin 为所求的通解 x Ce y y − − =
Example求满足初始条件的特解=1-x+2-y2 x: Solution. 'y=(1-x(1+y) 分离变量得 2 r)ar 1+ 2 两边积分得 retan y=x--+C 2 把y x=0 1代入得C= 元 2 特解为 arctan y=x x兀 2
Example 3. . 1 1 0 2 2 = = − + − x= y y x y xy 求满足初始条件的特解 Solution. (1 )(1 ) 2 y = − x + y x dx y dy (1 ) 1 2 = − + 分离变量得 C x y = x − + 2 arctan 2 两边积分得 4 1 0 = = = y C 把 x 代入得 . 2 4 arctan 2 = − + x 特解为 y x
Example4.求=tan2(x+y)的通解 Solutio0.令z=x+y,则=1+ 代入原方程得=sec2z 分离变量得c0s2dz=dx 两边积分 1+cos 2Z dz=dx 2 得“+sin2z=x+C1 24 2(x-y)-sin2(x+y)=C为所求通解 K
Example 4. tan ( ) . 求 2 x y 的通解 dx dy = + Solution. 令z = x + y, 1 . dx dy dx dz 则 = + z dx dz 2 代入原方程得 = sec zdz = dx 2 分离变量得 cos = + dz dx z 2 1 cos 2 两边积分 2 1 sin 4 1 2 z x C z 得 + = + 2(x − y) − sin 2(x + y) = C为所求通解