9.导数及其应用 概念概念函数y=(x)在点x=x处的导数/(x)=mJ(x+4x)-f(xs。 与几 何意几何f(x)为曲线y=f(x)在点(x,f(x)处的切线斜率,切线方程是 意义y-f(x)=f(x)x-x) C"=0(C为常数);(x")=nx"(n∈N) 基本|( sin x)'=cs(csxy=-sinx 公式|(e)y=e,a)=alma(a>0,且a≠1 (lnx)=-,(log。x)=- log e(a>0,且a≠1) 运算 f(x)±g(x)=∫(x)±g'(x); Tf(x).g(xr=f(x).g(x)+f(x).g(x) C(x)]=C(x)))) 运算「f(x)f(x)(x)-g(x)(x) 法则 (g(x)≠0), 8"(x) 复合函数求导法则y=[(g(x)]=f(g(x)g(x) 单调性|∫(x)>0的各个区间为单调递增区间;∫(x)<0的区间为单调递减区间。 教研究「极值f(x)=0且∫(x)在x附近左负(正)右正(负)的x为极小(大)值点 函数 最值 b上的连续函数一定存在最大值和最小值,最大值和区间端点值和区间内的极 用 大值中的最大者,最小值和区间端点和区间内的极小值中的最小者。 f(x)在区间[ab]上是连续的,用分点a=x<x<…<x<x<…<x=b将 概念区间[等分成n个小区间,在每个小区间【x]上任取一点5 (=12,…m,Jf(x)x=m∑() 基本|如果f()是叵上的连续函数,并且有F(x)=f(对),则 定理 TA(kx=F(b)-F(a 定积 ∫6(x)女=A∫(x女(为常数1 性质()g()女/(士g( ∫f(x)=丁f(x+(x 区间[ab]上的连续的曲线y=f(x),和直线x=ax=b(a≠b),y=0所围成的曲 应用边梯形的而积S=!1(x 第6页共23页
第 6 页 共 23 页 9. 导数及其应用 导 数 及 其 应 用 概念 与几 何意 义 概念 函数 y f x = ( ) 在点 0 x x = 处的导数 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) lim x f x x f x f x → x + − = 。 几何 意义 0 f x'( ) 为曲线 y f x = ( ) 在 点 0 0 ( , ( ) x f x 处的切线斜率，切线方程是 0 0 0 y f x f x x x − = − ( ) '( )( )。 运算 基本 公式 C = 0 （ C 为常数）； 1 ( ) ( ) n n x nx n − = N ； (sin ) cos (cos ) sin x x x x = = − ， ； ( ) ( ) ln x x x x e e a a a = = ， （ a 0 ，且 a 1 ）； 1 1 (ln ) (log ) log a a x x e x x = = ， （ a 0 ，且 a 1 ）． 2 1 1 ' x x = − ； 1 (ln ) ' x x = 。 运算 法则 [ ( ) ( )] ( ) ( ) f x g x f x g x = ； [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x f x g x = + ， [ ( )] ( ) Cf x Cf x = ； 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) 0) ( ) ( ) f x f x g x g x f x g x g x g x − = ， 2 1 ( ) ( ) ( ) g x g x g x = − ． 复合函数求导法则 y f g x f g x g x = = ( ( )) ' '( ( )) '( ) 。 研究 函数 性质 单调性 f x'( ) 0 的各个区间为单调递增区间； f x'( ) 0 的区间为单调递减区间。 极值 0 f x'( ) 0 = 且 f x'( ) 在 0 x 附近左负（正）右正（负）的 0 x 为极小（大）值点。 最值 a b, 上的连续函数一定存在最大值和最小值，最大值和区间端点值和区间内的极 大值中的最大者，最小值和区间端点和区间内的极小值中的最小者。 定积 分 概念 f x( ) 在区间 a b, 上是连续的，用分点 0 1 1 i i n a x x x x x b = = − 将 区 间 a b, 等分成 n 个 小 区 间 ， 在 每 个 小 区 间 x x i i −1 , 上任取一点 i （ i n =1, 2, , ）， ( ) ( ) 1 lim n b i a n i b a f x dx f n → = − = 。 基本 定理 如 果 f x( ) 是 a b, 上 的 连 续 函 数 ， 并 且 有 F x f x ( ) = ( ) ， 则 ( ) ( ) ( ) b a f x dx F b F a = − ． 性质 ( ) ( ) b b a a kf x dx k f x dx = （ k 为常数）； ( ) ( ) ( ) ( ) b b b x a a a f x g x dx f x d g x dx = ； ( ) ( ) ( ) b c d a a c f x dx f x dx f x dx = + ． 简单 应用 区间 a b, 上的连续的曲线 y f x = ( ) ，和直线 x a x b a b y = = = . ( ), 0 所围成的曲 边梯形的面积 ( ) b a S f x dx =
10.三角函数的图像与性质 定义任意角a的终边与单位圈交于点P(xy)时,sina=y0sa=x,na=2 x 本 问同角三角 sin-a+cos-a=l 题函数关系 tana。 cos a 诱导公式|360°±a,180°±a,-a,90°±a,270°±a,“奇变偶不变,符号看象限” 值域周期 单调区 奇偶性|对称中心对称轴 增--+2k丌,+2kx y=sin x 2k 奇函数(kx,。0)k丌+ (x∈R 角 角函数的 减z+2x,3+2kz 函性 数质y=cosx 的与(x∈R)[1|2kz 增[-z+2kx,2k 偶函数/(kz+2 x=k 图 减[2k兀,2k+] 图象与性质 象 y=tan x (x≠kz+z R k 奇函数 2 上下平移y=f(x)图象平移得y=f(x)+k图象,k>0向上,k<0向下 平移变换 左右平移y=f(x)图象平移叫得y=f(x+9)图象,>0向左,q<0向右 图 \伸缩变接 x轴方向y=f(x)图象各点把横坐标变为原来倍得y=f(x)的图象。 y轴方向y=f(x)图象各点纵坐标变为原来的A倍得y=Af(x)的图象。 中心对称|y=f(x)图象关于点(ab)对称图象的解析式是y=2b-f(2a-x) 对称变换 轴对称|y=f(x)图象关于直线x=a对称图象的解析式是y=f(2a-x)。 第7页共23页
第 7 页 共 23 页 10. 三角函数的图像与性质 三 角 函 数 的 图 象 与 性 质 基 本 问 题 定义 任意角 的终边与单位圆交于点 P x y ( , ) 时， sin ,cos , tan y y x x = = = ． 同角三角 函数关系 2 2 sin sin cos 1, tan cos + = = 。 诱导公式 360 ,180 ， − ，90 , 270 ， “奇变偶不变，符号看象限”． 三 角 函 数 的 性 质 与 图 象 值域 周期 单调区间 奇偶性 对称中心 对称轴 y x = sin （ xR ） −1,1 2k 增 2 , 2 2 2 k k − + + 减 3 2 , 2 2 2 k k + + 奇函数 ( ,0) k 2 x k = + y x = cos （ xR ） −1,1 2k 增 − + 2 ,2 k k 减 2 ,2 k k + 偶函数 ( ,0) 2 k + x k = y x = tan ( 2 x k + ) R k 增 , 2 2 k k − + + 奇函数 ,0 2 k 无 图 象 变 换 平移变换 上下平移 y f x = ( ) 图象平移 k 得 y f x k = + ( ) 图象， k 0 向上， k 0 向下。 左右平移 y f x = ( ) 图象平移 得 y f x = + ( ) 图象， 0 向左， 0 向右。 伸缩变换 x 轴方向 y f x = ( ) 图象各点把横坐标变为原来 倍得 1 y f x ( ) = 的图象。 y 轴方向 y f x = ( ) 图象各点纵坐标变为原来的 A 倍得 y Af x = ( ) 的图象。 对称变换 中心对称 y f x = ( ) 图象关于点 ( , ) a b 对称图象的解析式是 y b f a x = − − 2 (2 ) 轴对称 y f x = ( ) 图象关于直线 x a = 对称图象的解析式是 y f a x = − (2 )
三角恒等变换与解三角形 和差角公式 倍角公式 正弦|sin(a±B) 2 tan smn∠a=2 sin a cosa sin 20 =. = sin a cos B± cos asin B cos(a±B) cos 2a= cos2a-sin'a cos 20-1-tan'a 1 +tana 公式 cos a cos B#sin a sin B=2cos a-1=1-2sin 1-cos 2a SIn a= 2 正切|如ma)=如mm If tana tanB tan 2a=-2tana cos-a=icos 20 I-tan a 定理a=bc° sin a sinb sinc 射影定理 正弦变形a=2 Rsin A b=2 Rsin b,c=2 Sinc(R外接圆半 a=bcos+ccos B 定理 径)。 b=acos C+Cos A c=acos b+bcos a 类型三角形两边和一边对角、三角形两角与一 定理a2=b62+c2-2bcos4b2=a2+c2-2 ac cos B,c2=a2+b2-2 abcess。 余弦 定理变形 oSA=o +c 1等。 26c 26c 角恒等 类型两边及一角(一角为夹角时直接使用、一角为一边对角时列方程)、三边。 基本S=a=方bb=方eh= absin C= bcsin a= actin B。 换 出 与解三角形 式 (R外接圆半径):S=(a+b+C)(r内切圆半径)。 4R 基本思想/把要求解的量归入到可解三角形中。在实际问题中,往往涉及到多个三角形,只 要根据已知逐次把求解目标归入到一个可解三角形中。 角线在水平线以上时,在视线所在的垂直平面内,视线与水平线所成的角。 俯|视线在水平钱以下时,在视线所在的垂直平面内,视线与水平线所成的角。 实际 应用\常用语\向方向旋转到目标的方向线所成的角(一般是锐角,如北偏西30°)。 方向角一般是指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始 角 万 位|某点的指北方向线起,依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角。 第8页共23页
第 8 页 共 23 页 11. 三角恒等变换与解三角形 变换 公式 正弦 和差角公式 倍角公式 2 2 tan sin 2 1 tan = + 2 2 1 tan cos 2 1 tan − = + 2 1 cos 2 sin 2 − = 2 1 cos 2 cos 2 + = sin( ) sin cos cos sin = sin2 2sin cos = 余弦 cos( ) cos cos sin sin = 2 2 2 2 cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin = − = − = − 正切 tan tan tan( ) 1 tan tan = 2 2 tan tan 2 1 tan = − 三 角 恒 等 变 换 与 解 三 角 形 正弦 定理 定理 sin sin sin a b c A B C = = 。 射影定理： a b C c B = + cos cos b a C c A = + cos cos c a B b A = + cos cos 变形 a R A b R B c R C = = = 2 sin , 2 sin , 2 sin （ R 外接 圆半 径）。 类型 三角形两边和一边对角、三角形两角与一边。 余弦 定理 定理 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c bc A b a c ac B c a b ab C = + − = + − = + − 2 cos , 2 cos , 2 cos 。 变形 2 2 2 2 2 ( ) cos 1 2 2 b c a b c a A bc bc + − + − = = − 等。 类型 两边及一角（一角为夹角时直接使用、一角为一边对角时列方程）、三边。 面积 公式 基本 公式 1 1 1 1 1 1 sin sin sin 2 2 2 2 2 2 a b c S a h b h c h ab C bc A ac B = = = = = = 。 导出 公式 4 abc S R = （ R 外接圆半径）； 1 ( ) 2 S a b c r = + + （ r 内切圆半径）。 实际 应用 基本思想 把要求解的量归入到可解三角形中。在实际问题中，往往涉及到多个三角形，只 要根据已知逐次把求解目标归入到一个可解三角形中。 常用术语 仰 角 视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。 俯 角 视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。 方 向 角 方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始 方向旋转到目标的方向线所成的角（一般是锐角，如北偏西 30°）。 方 位 角 某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角