平面及其方程 平面和直线是最简单和最基本的空间图形。本 节和下节我们将以向量作为工具讨论平面和直线 的问题。介绍平面和直线的各种方程及线面关系、 线线关系。 确定一个平面可以有多种不同的方式,但在解析 几何中最基本的条件是:平面过一定点且与定向量 垂直。这主要是为了便于建立平面方程,同时我们 将会看到许多其它条件都可转化为此 先介绍平面的点法式方程
平面及其方程 平面和直线是最简单和最基本的空间图形。本 节和下节我们将以向量作为工具讨论平面和直线 的问题。介绍平面和直线的各种方程及线面关系、 线线关系。 确定一个平面可以有多种不同的方式，但在解析 几何中最基本的条件是：平面过一定点且与定向量 垂直。这主要是为了便于建立平面方程，同时我们 将会看到许多其它条件都可转化为此。 先介绍平面的点法式方程
、平面的点法式方程 如果一非零向量垂直 于一平面,这向量就叫做 M 该平面的法线向量 法线向量的特征:垂直于平面内的任一向量 已知n={4,B,C},M(x,y 0909 设平面上的任一点为M(x,y,z) 必有MM⊥n→MMn=0
x y z o M0 M 如果一非零向量垂直 于一平面，这向量就叫做 该平面的法线向量． 法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量． 已知 n = {A, B, C}, ( , , ), 0 0 0 0 M x y z 设平面上的任一点为 M(x, y, z) M M n 必有 0 ⊥ M0M n = 0 一、平面的点法式方程 n
M0M={x-x0,y-y0,z-x0} A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-z0)=0 平面的点法式方程 其中法向量n={A,B,C},已知点(x0,y0,z0) 若取平面的另一法向量m 此时由于mM→m=A={24,B,C} 平面方程为 礼4(x-x0)+B(y-y0)+C(z-x0)=0 A(x-x0)+B(y-y)+C(z-x0)=0 平面上的点都满足上方程,不在平面上的 点都不满足上方程,上方程称为平面的方程, 平面称为方程的图形
{ , , } 0 0 0 0 M M = x − x y − y z − z A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 平面的点法式方程 其中法向量 n = {A,B,C}, 已知点 ( , , ). 0 0 0 x y z 若取平面的另一法向量 m 此时由于 m n // m = n = A,B,C 平面方程为 A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 平面上的点都满足上方程，不在平面上的 点都不满足上方程，上方程称为平面的方程， 平面称为方程的图形．
例1求过三点A(2,-1,4)、B(-1,3,-2)和 C(0,2,3)的平面方程 解AB={-3,4,-6} AC={-2,3,-1 取n=AB×AC={14,9,-1}, 所求平面方程为14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0, 化简得14x+9y-z-15=0
例 1 求过三点A(2,−1,4)、B(−1,3,−2)和 C(0,2,3)的平面方程. 解 AB = {−3, 4,−6} AC = {−2, 3,−1} 取 n = AB AC = {14, 9,−1}, 所求平面方程为 14(x − 2) + 9( y + 1) − (z − 4) = 0, 化简得 14x + 9y − z − 15 = 0
一般地 过不共线的三点 M1(x1,y1,z1)M2(x2,y2,2)M3(x3,y3,z3) 的平面的法向量 万=M1M2×M1M3=x2-x1y2-y1z2 平面方程为 x-1 y-y1 3-31 三点式方程 J3-y13-z
一般地 过不共线的三点 ( , , ) 1 1 1 1 M x y z ( , , ) 2 2 2 2 M x y z ( , , ) 3 3 3 3 M x y z 的平面的法向量 n = M1M2 M1M3 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 x x y y z z x x y y z z i j k − − − = − − − 平面方程为 0 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 = − − − − − − − − − x x y y z z x x y y z z x x y y z z ——三点式方程