例2求过点(1,1,1),且垂直于平面x-y+z=7和 3x+2y-12z+5=0的平面方程 解n1={1,-1,1},n2={3,2,-12} 取法向量n=x2={10,155}, 所求平面方程为 10(x-1)+15(y-1)+5(z-1)=0, 化简得2x+3y+z-6=0
例 2 求过点(1,1,1)，且垂直于平面x − y + z = 7和 3x + 2 y − 12z + 5 = 0的平面方程. {1, 1,1}, n1 = − {3,2, 12} n2 = − 取法向量 n n1 n2 = = {10,15,5}, 10(x − 1) + 15( y − 1) + 5(z − 1) = 0, 化简得 2x + 3y + z − 6 = 0. 所求平面方程为 解
二、平面的一般方程 由平面的点法式方程 A(x-x0)+B(y-y)+C(z-x0)=0 Ax+By+Cd-(Axo+ Byo +Czo)0 D Ax+By+Cz+D=0平面的一般方程 法向量n={A,B,C}
由平面的点法式方程 A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 Ax + By + Cz − (Ax0 + By0 + Cz0 ) = 0 = D Ax + By + Cz + D = 0 平面的一般方程 法向量 n = {A,B,C}. 二、平面的一般方程
平面一般方程的几种特殊情况: (1)D=0,平面通过坐标原点; D=0,平面通过x轴; (2)A=0, 1D≠0,平面平行于x轴; 类似地可讨论B=0,C=0情形. (3)A=B=0,平面平行于oy坐标面; 类似地可讨论A=C=0,B=C=0情形
平面一般方程的几种特殊情况： (1) D = 0, 平面通过坐标原点； (2) A = 0, = 0, 0, D D 平面通过 x 轴； 平面平行于 x 轴； (3) A = B = 0, 平面平行于 xoy 坐标面； 类似地可讨论 A = C = 0, B = C = 0 情形. 类似地可讨论 B = 0, C = 0 情形
例3设平面过原点及点(6,-3,2),且与平面 4x-y+2z=8垂直,求此平面方程 解设平面为Ax+By+Cz+D=0, 由平面过原点知D=0, 由平面过点(6,-3,2)知6A-3B+2C=0 n{4,-1,2}, 44-B+2C=0 →A=B 3 所求平面方程为2x+2y-3z=0
例 3 设平面过原点及点(6,−3,2)，且与平面 4x − y + 2z = 8垂直，求此平面方程. 设平面为 Ax + By + Cz + D = 0, 由平面过原点知 D = 0, 由平面过点(6,−3,2)知 6A− 3B+ 2C = 0 n⊥{4,−1,2}, 4A− B+ 2C = 0 , 3 2 A = B = − C 所求平面方程为 2x + 2y − 3z = 0. 解