生三、概念的引入 实例:流向曲面一侧的流量 (1)流速场为常向量v,有向平面区域A求单位 时间流过A的流体的质量(假定密度为1). 流量 ①= Pcos9 =Ap·n=p·A 上页
二、概念的引入 实例: 流向曲面一侧的流量. (1) 流速场为常向量 v ,有向平面区域 A,求单位 时间流过 A 的流体的质量 (假定密度为 1). A v 0 n A Av n v A Av = = = 0 cos 流量
(2)设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1) 的速度场由 v(x,y, =P(x,v, 3)i+e(x, y, j+R(x, y, k 给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数 P(x,y, z ),o(x,y,z), R(x,y, z) 都在∑上连续,求在单位 时间内流向Σ指定侧的流 工工 c体的质量① y 上页
(2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1) 的速度场由 v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k ( , , ) = ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) 给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数 P( x, y,z), Q( x, y,z), R( x, y,z) 都在Σ上连续, 求在单位 时间内流向Σ指定侧的流 体的质量 . x y z o
1.分割把曲面Σ分成n小块△(△同时也代表 第小块曲面的面积), 在△S,上任取一点 z△S (5,m;5;) (5;,,5) 中则该点流速为可 工工工 法向量为n1 y 上页
x y z o • Si ( , , ) i i i i v ni 把曲面Σ分成n 小块 i s ( i s 同时也代表 第i小块曲面的面积), 在 i s 上任取一点 ( , , ) i i i , 1. 分割 则该点流速为 . i v 法向量为 . ni
,71,51 =P(5,,5)+Q(51,m,5)+R(5,m5), 王该点处曲面∑的单位法向量 庄=a+c+c0xk, 通过△s流向指定侧的流量的近似值为 工工工 vn△S;(i=1,2,…,n) 2.求和通过∑流向指定侧的流量 ①≈∑vAS 上页
该点处曲面Σ的单位法向量 ni i i i j i k cos cos cos 0 = + + , 通过 i s 流向指定侧的流量的近似值为 v n S (i 1,2, ,n). i i i = ( , , ) ( , , ) ( , , ) , ( , , ) P i Q j R k v v i i i i i i i i i i i i i = + + = 2. 求和 通过Σ流向指定侧的流量 = n i i ni Si v 1
=∑P(5,m,51)cosa1+Q(5,n,5)cs月 +R(5;,7,51)c0sy;|S =∑P(51,n25S)+Q(5,m,5)(△S) +R(5,;47)△S;)l 3.取极限λ0取极限得到流量Φ的精确值. ①=lim ∑|P(5,n,5)AS)+Q(5,m,5)(△S 九→>0 xz +R(5,57AS)l 上页
i i i i i i i i i n i i i i i R S P Q + = + = ( , , )cos ] [ ( , , )cos ( , , )cos 1 ( , , )( ) ] [ ( , , )( ) ( , , )( ) 1 i i i i x y yz i i i i x z n i i i i i R S P S Q S + = + = 3.取极限 → 0取极限得到流量的精确值. ( , , )( ) ] lim [ ( , , )( ) ( , , )( ) 1 0 i i i i x y yz i i i i x z n i i i i i R S P S Q S + = + = →