≤ (若n>a2则 < 故E>0N=mx,a2}则当n>N时,有 /2,2 n+a <-<E n nn n ta m n→0 例3证明limq"=0,其中q<1 n 证若q=0则上式显然成立下证q0的情形
n a n 2 1 ( 1) 2 2 n a 若 n a 则 故 0 = ,[ ] 1 max 2 N a 则当n ＞N时，有 n a n n n a 2 2 2 1 − 1 + n 1 lim 1 2 2 = + → n n a n 例3 lim = 0, 1. → q q n n 证明 其中 证 若q=0则上式显然成立 下证q≠0的情形
任给e>0,(不妨设E<1) x-0 <8 Ingl In e In e n> ”取N=12|+,则当n>N时, In 就有q n-0<8, ling"=0 注 在论证极限问题时,都可以假设￡<1,因为 若对小于1的E已经得到项数指标N,则对于 大于1的上述项数指标N仍合乎定义要求
任给 0, − 0 = , n xn q nlnq ln, , ln ln q n ] 1, ln ln = [ + q N 取 则当n N时, − 0 , n 就有q lim = 0. → n n q （不妨设ε＜1） 注 在论证极限问题时，都可以假设ε＜1，因为 若对小于1的ε已经得到项数指标N，则对于 大于1的ε上述项数指标N仍合乎定义要求
例4设x>0,且Imxn=a>0, n→0 求证lim/xn=√ n→0 证任给E>0, lim x=,(对1=√E) 丑N使得当n>N时恒有xn-a<E1 从而有xn-a=2-a:-aE .+va n 故im√xn=√a
例 4 lim . 0, lim 0, x a x x a n n n n n = = → → 求证设 且 证 任给 0 , lim x a, n n = → , 1 N n N x − a 使得当 时恒有 n x a x a x a nn n +− 从而有 − = a x a n − a1 = lim x a. n n = → 故 ( ) 1 对 = a
四、数列极限的性质 1有界性 定义:对数列xn,若存在正数M,使得一切自 然数n,恒有xn≤M成立,则称数列xn有界 否则,称为无界 例如,数列xn=;有界数列xn=2"无界 n+ 数轴上对应于有界数列的点x,都落在闭区间 -M,M]上
四、数列极限的性质 1.有界性 定 义: 对数列 n x , 若存在正数M, 使得一切自 然 数n, 恒 有 xn M 成 立, 则称数列 n x 有 界, 否 则, 称为无界. 例如, ; + 1 = n n 数列 xn 有界 2 . n 数列 xn = 无界 数轴上对应于有界数列的点xn 都落在闭区间 [−M, M]上
定理1收敛的数列必定有界 证设Imxn=a,由定义,取ε=1, n→0 则彐N,使得当n>N时恒有xn-a<1 =xn=lxm-atasxn-a+akl+al 记M=max{x1,…,xN,1+al}, 则对一切自然数,皆有xn≤M,故{xn}有界 注意:有界性是数列收敛的必要条件 推论无界数列必定发散
定理1 收敛的数列必定有界. 证 lim x a, n n = → 设 由定义, 取 = 1, N, n N x − a 1, 则 使得当 时恒有 n | x | | x a a | | x a | | a | 1 | a | n = n − + n − + + max{ , , ,1 | |}, 记 M = x1 xN + a n, x M, 则对一切自然数 皆有 n 故 有界. xn 注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散