新课讲解: 即S=1+2+22+23+…+26 2S=2+22+23+…+263+26,② ②-①得2S-S=241.即S=24-1. 由此对于一般的等比数列,其前n项和 Sn=a1+a4q+a1q+…+a1q n-1 如何化简?
二、新课讲解： 2 3 6 3 即 S = 1+ 2 + 2 + 2 ++ 2 ， ① 2 3 6 3 6 4 2S = 2 + 2 + 2 ++ 2 + 2 ， ② ②－①得 2 2 1, 即 . 64 S − S = − 2 1 64 S = − 由此对于一般的等比数列，其前 n 项和 1 1 2 1 1 1 − = + + + + n Sn a a q a q a q ，如何化简？
(三)方法回顾等差数列求和公式的推导 数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn Sn=a1+a2+…+an1+a,① Sn=an+an1+…+a2+a1② 根据⑩速解腾样?个式子②? 2Sn=(a1+an)+(a2+an1)+…+(an1+a2)+(an+a1 2Sn=n(a1+an)→|S n(a, +a 倒序相加的目的:出现相等的项,从而化简
根据①式，如何构造另一个式子②？ ② 把这两个式子怎么样？ n n n S = a + a + + a + a 1 2 −1 等差数列求和公式的推导 1 2 1 S a a a a n = n + n− ++ + ① ① + ② 得： 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 1 S a a a a a a a a n = + n + + n− ++ n− + + n + 2 ( ) n 1 n S = n a + a 2 ( ) 1 n n n a a S + = 倒序相加 n n 数 列{a }为等差数列，其前n项和为S (三)方法回顾 的目的：出现相等的项，从而化简
(四)类比探究等比数列的前n项和公式 已知数列{an}为等比数列,请推导其前n项和公式 Sn=a1+a2+…+an1+a 问题1:对于等比数列,是否也能用倒序相加的方法 进行求和呢?请大家动手试试。 解析1:找个具体的等比数列来检验 S.=1+2+4+8+16 16+8+4+2+1 2Sn=(1+16)+(2+8)+(4+4)+(8+2)+(16+1) 17+10+8+10+17 每个括号里的值不相等,不能写成n倍来化简!
等比数列的前n项和公式 解析1：找个具体的等比数列来检验 问题1：对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法 进行求和呢?请大家动手试试。 Sn = a1 + a2 ++ an−1 + an = 已知数列{an }为等比数列，请推导其前n项和公式 = 1+ 2 + 4 + 8 +16 n S = 16 + 8 + 4 + 2 +1 n S 2 = (1+1 6) + (2 + 8) + (4 + 4) + (8 + 2) + (1 6 +1) n S = 17 +10 + 8 +10 +17 ? (四)类比探究 每个括号里的值不相等,不能写成n倍来化简!
(四)类比探究等比数列的前n项和公式 已知数列{an}为等比数列,请推导其前n项和公式 Sn=a1+a2+…+an1+a 问题1:对于等比数列,是否也能用倒序相加的方法 进行求和呢?请大家动手试试。 解析2:一般地,对于等比数列,因为: 1+an)≠ (a +a.1)≠ 所以 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an1+a2)+(an+a1) ≠n(a1+an) 无法化简
(a1 + an ) (a2 + an−1 ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 1 S a a a a a a a a n = + n + + n− ++ n− + + n + 所以 解析2：一般地，对于等比数列，因为： 问题1：对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法 进行求和呢?请大家动手试试。 Sn = a1 + a2 ++ an−1 + an = 已知数列{an }为等比数列，请推导其前n项和公式 ? (四)类比探究 等比数列的前n项和公式 ( ) 1 n n a + a 无法化简
(四)类比探究等比数列的前n项和公式 已知数列{an}为等比数列,请推导其前n项和公式 SS计十2+的2:+a1=pa1g=① 问题1:对于等比数列,是否也能用倒序相加的方法 进行求和呢?请大家动手试试。 反思:对于等比数列求和,不能照搬倒序相加的方法。 而是要挖掘此方法的本质(求和的根本目的)。 问题2:求和的根本目的是什么? 答:求和的根本目的是消项。消项后就可化简。 改进:为了看清式子的特点,我们不妨把各项都用首 项和公比来表示
1 1 2 1 2 1 1 1 − − = + + + + + n n n S a a q a q a q a q 问题1：对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法 进行求和呢?请大家动手试试。 Sn = a1 + a2 ++ an−1 + an = 已知数列{an }为等比数列，请推导其前n项和公式 ? 反思：对于等比数列求和，不能照搬倒序相加的方法。 而是要挖掘此方法的本质（求和的根本目的）。 问题2：求和的根本目的是什么？ 答：求和的根本目的是消项。消项后就可化简。 改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首 项和公比来表示。 ① (四)类比探究 等比数列的前n项和公式