三、部分分式展开 分析控制系统过程中,经常要求对系统函数进行分解, 使其表现为一些基本控制单元的和的形式。 传递函数表示成为部分分式形式 G()=∑ +h(S) S-p 式中,pi(i=1,2,…,n)为该系统的n个极点,与零极 点形式的n个极点是一致的,=1,2,…,n)是对 应各极点的留数;h(s)则表示传递函数分子多项式除 以分母多项式的余式,若分子多项式阶次与分母多项 式相等,h为标量,若分子多项式阶次小于分母多项 式阶次,该项不存在
分析控制系统过程中，经常要求对系统函数进行分解， 使其表现为一些基本控制单元的和的形式。 传递函数表示成为部分分式形式 式中，pi(i＝1，2，…，n)为该系统的n个极点，与零极 点形式的n个极点是一致的，rj(j＝1，2，…，n)是对 应各极点的留数；h(s)则表示传递函数分子多项式除 以分母多项式的余式，若分子多项式阶次与分母多项 式相等，h为标量，若分子多项式阶次小于分母多项 式阶次，该项不存在。 三、部分分式展开 ( ) ( ) 1 h s s p r G s n i i i + − = =
令模型参数表示为 冷极点留数向量R=[r1,r2,…,mn],n维 冷系统极点向量P=p1,p2,…,pn],n维 冷余式系数向量H=[h1,h2,…,h],1维,且 m-n,原函数中分子大于分母阶次的余式系数。|<0时, 该向量不存在;简记为(R,P,H形式 冷函数[pk]= residue(,a)对两个多项式的比进行部分展开, 以及把传函分解为微分单元的形式 向量b和a是按s的降幂排列的多项式系数。部分分式展 开后,余数返回到向量r,极点返回到列向量p,常数项 返回到k 冷[b,a]= residue(r, p,k)可以将部分分式转化为多项式比 p(s)/q(s)
❖ 模型参数表示为 ❖ 极点留数向量 R=[r1，r2，…，rn]，n维， ❖ 系统极点向量 P=[p1，p2，…，pn]，n维； ❖ 余式系数向量 H=[h1，h2，…，hl]，l十1维，且l＝ m-n，原函数中分子大于分母阶次的余式系数。l＜0时， 该向量不存在；简记为(R，P，H)形式。 ❖ 函数[r,p,k]=residue(b,a)对两个多项式的比进行部分展开， 以及把传函分解为微分单元的形式。 ❖ 向量b和a是按s的降幂排列的多项式系数。部分分式展 开后，余数返回到向量r，极点返回到列向量p，常数项 返回到k。 ❖ [b,a]=residue(r,p,k)可以将部分分式转化为多项式比 p(s)/q(s)
12s3+24s2+20 举例:传递函数描述1)G(s) 2s4+4s3+6s2+2s+2 》num=[12,24,0,20den=[24622 2)G(s) 4(S+2)s2+6s+6) S(S+1)(3+3s2+2s+5) 借助多项式乘法函数conv来处理: 》num=4conv([1,2],conv([1,6,6J[1,66]) )den=conv([1, 01, conv([1, 11, conv([1, 11, conv([1, 11 [1,3,2,5)
举例：传递函数描述 1） 》num=[12,24,0,20];den=[2 4 6 2 2]; 2） 借助多项式乘法函数conv来处理： 》num=4*conv([1,2],conv([1,6,6],[1,6,6])); 》den=conv([1,0],conv([1,1],conv([1,1],conv([1,1], [1,3,2,5])))); 2 4 6 2 2 12 24 20 ( ) 4 3 2 3 2 + + + + + + = s s s s s s G s ( 1) ( 3 2 5) 4( 2)( 6 6) ( ) 3 3 2 2 2 + + + + + + + = s s s s s s s s G s
零极点增益模型: s3+1ls2+30s G(s) s4+9s3+45s2+87s+50 》num=[1,1130,0] 》den=[1,9,4587,50];[zp,k]=t2zp(num,den) KE= 3.0000+40000i 6 3.0000-4.0000i 5 2.0000 1.0000 结果表达式: G(S) s(S+6)(s+5) (S+1)(S+2)(s+3+4j)(S+3-4j)
零极点增益模型： 》num=[1,11,30,0]; 》den=[1,9,45,87,50]; [z,p,k]=tf2zp(num,den) 》 9 45 87 50 11 30 ( ) 4 3 2 3 2 + + + + + + = s s s s s s s G s ( 1)( 2)( 3 4 )( 3 4 ) ( 6)( 5) ( ) s s s j s j s s s G s + + + + + − + + = z= 0 -6 -5 p= -3.0000+4.0000i -3.0000-4.0000i -2.0000 -1.0000 k= 1 结果表达式：
部分分式展开: 2s3+9s+1 G(s) 》num=[2,0,9,1]; s3+s2+4s+4 )den=[1, 1, 4, 4]; [r, p, k=residue(num, den 0.0000-0.2500i 0.0000+2.0000i 午2 0.0000+0.2500i 0.0000-2.0000i 2.0000 1.0000 结果表达式:G(s)=2+ 0.250)×5+1 2 s-2i s+
部分分式展开： 》num=[2,0,9,1]; 》den=[1,1,4,4]; [r,p,k]=residue(num,den) 》 4 4 2 9 1 ( ) 3 2 3 + + + + + = s s s s s G s 1 2 2 0.25 2 0.25 ( ) 2 + − + + + − − = + s i s i s i i G s p= 0.0000+2.0000i 0.0000-2.0000i -1.0000 k= 2 r= 0.0000-0.2500i 0.0000+0.2500i -2.0000 结果表达式：