2.切线的斜率 曲线y=f(x)在其上一点P(x0,y0) 曲线y=f(x)在其上一点P(xO0,y0)处的切线PT是割线PQ当动点 Q沿曲线无限接近与点P时的位置因为割线PQ的斜率为 k f(x)-f(x0) X- 所以当x→>x0时如果k的极限存在则极限 k f(x)-f(x0) x>xoXO 即为曲线在点P的切线的斜率
2. 切线的斜率 沿曲线无限接近与点 时的位置 因为割线 的斜率为 曲线 在其上一点 处的切线 是割线 当动点 Q P PQ y f x P x y PT PQ . = ( ) ( 0 , 0 ) x Q 曲线 在其上一点 P(x 0, y 0) , 0 ( ) ( 0 ) x x f x f x k − − = 所以当x → x 0时如果k的极限存在, 则极限 y = f (x) 0 ( ) ( 0) lim 0 x x f x f x x x k − − → = 即为曲线在点 P的切线的斜率. O P T y
导数的定义 定义1:设函数y=x)在点x0的某邻某邻域内有定义极限 f(x)-f(x0) x->x0 存在则称函数点x0处可导并称该极限为函数点x0 处的导数,记作f(x0) 即 f(x0)=lim △x→>0△x 邱xO+Ax)-fx0)(1) △x→>0 △ f(x)-ixo) x>x0X=×0 若式极极限不存在,则称在点x0处不可导
一 导数的定义 x y x → = 0 f (x0) lim , ( 0). , 0 , 0 f x f x f x 处的导数 记作 存在 则称函数 在点 处可导 并称该极限为函数 在点 设函数y = f(x) 在点 x0 的某邻某邻域内有定义,极限 0 ( ) ( 0) lim 0 x x f x f x x x − − → 定义1: 即 x x0 f(x) f(x 0) lim f(x 0 ) f(x 0 ) 0 lim 0 − − → = + − → = x x x x x 若式极极限不存在，则称f在点 x0 处不可导. (1)
例求函数f(x)=x2在点x=1处的导数,并求曲线在 点(1,1处的切线方程 解:由定义求得 f(1)=mf1+△x)-1) +△x)2 Ax→>0 △r x→)x 2△x+△ m im(2+△x)=2 △x→>0Ax Ax→>0 由此知道抛物线y=x2在点(1,1)处的切线斜率为 k=f(x) 所以切线方程为 (x-1)即 2x-1
点(1 , 1)处的切线方程. 例1求函数 f (x) = x 2 在点x = 1处的导数,并求曲线在 解: 由定义求得 (2 ) 2 0 lim 2 2 0 lim x 1 2 (1 x) lim f(1 ) f(1) 0 (1) lim 0 + = → = + → = + − → = + − → = x x x x x x x x x x x f 由此知道抛物线 y = x 2 在点(1 , 1)处的切线斜率为 k = f (x) = 2 所以切线方程为 y −1 = 2(x −1) 即 y = 2x −1
例证明函数f(x)=x在点0=0处不可导 证因为 f(x)-()__∫1 当x→O时极限不存在所以在点x=0处不可导 注 利用导数的定义可证,常量函数在任何点的导数为零, 即 C′=0
例2证明函数f (x) = x 在点x 0 = 0处不可导. 证 因为 − = = − − 1, 0 1, 0, 0 ( ) (0) x x x x x f x f 当x →0时极限不存在,所以f 在点x = 0处不可导. 注: 利用导数的定义可证, 常量函数在任何点的导数为零, 即 C = 0
定义2:设数y=f(x)在点0的某邻域x0,0+。)上 有定义,若右极限 fx0+△x)-fx0) Ax0+△x Ax→>0 f(x)-ixo) (0<△x<) X-X x→>X0 0 存在则称该极限为f在点x0的右导数,记作(x0) 类似地,可以定义左导数 f(x0+Ax)-f(xo) lim f(x)-f(x0) △x->0 △v x→>X0 0 左、右导数统称为单侧导数
(0 ) 0 x - x ) 0 f(x) f(x x lim ) 0 ) f(x 0 f(x 0 lim x 0 lim 0 − → = + − → = → + + + x x x x x x y 定义2: 限 域 有定义,若右极 设函数y = f (x)在点x 0 的某邻 (x 0 , x 0 + )上 存在,则称该极限为f 在点x 0的右导数,记作f + (x 0). 类似地, 可以定义左导数 x - x0 ) 0 f(x) f(x x lim ) 0 ) f(x 0 f(x 0 (x) lim / - f 0 - − → = + − → = − x x x x 左﹑右导数统称为单侧导数