§2函数极限的性质 在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限: limx) limf(x) 2) X00 limf() 4)X-0 5) 它们具有与数列极限相类似的一些性质,下面以第4)种类型的极限为代表 来叙述并证明这些性质。 至于其他类型极限的性质及其证明,只要相应的作些修改即可。 f(x) 定理3.2(唯一性)若极限x→ 存在,则此极限是唯一的 证设A、B都是当x→时的极限,则对任给的>0,分别存在正数 a1与O2,使得当 时有 <E <6 时有 f(x)- <e 取=m(.4),则当0<k-l<6时,(1)式与()式同时成立,故有 A-B|=(f(x)-A4)-((x)-B)sf(x)-4+|/(x)-Bl<2e 由C的任意性得A=B。这就证明了极限是唯一的
§2 函数极限的性质 在§1 中我们引入了下述六种类型的函数极限： 1） ； 2） ； 3） ； 4） ； 5） ； 6） 。 它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以第 4）种类型的极限为代表 来叙述并证明这些性质。 至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应的作些修改即可。 定理 3.2（唯一性）若极限 存在，则此极限是唯一的。 证 设 、 都是 当 时的极限，则对任给的 ，分别存在正数 与 ，使得当 时有 （1） 当 时有 （2） 取 ，则当 时，（1）式与 (2) 式同时成立，故有 由 的任意性得 。这就证明了极限是唯一的
limf(x) 定理3.3(局部有界性)若极限x→ 存在,则在x0某空心邻域 U()内有界。 lim f(x) 证设x→ 。取E=1,则存在>0,使得对一切x∈U(x;6) 有 1(x)-4<1→(x)×<4+1 这就证明了在(x00内有界。 定理3.4(局部保号性)若x (或<0),则对任何正数r<A (或r<-A),存在 U(x),使得对一切x∈Z0(x)有 f(x)>r>0c或f ( <-r<0 证设A>0,对任何∈(0A),取=A-",则存在δ>0,使得对一切 xEU(x0)有 f(x)>4-E=r,这就证得结论。对于A<0的情形可类似地证明。 lim f( lim 定理3.5(保不等式性)设x→ X→ 都存在,且在某邻域 (x)内有/()≤8(),则 lin (3) limf(x)=A lim g(x)= 证设 ,则对任给的e>0,分别存在正数与 使得当 0 <x-xo< 时
定理 3.3（局部有界性） 若极限 存在，则 在 某空心邻域 内有界。 证 设 。取 ，则存在 ，使得对一切 有 。 这就证明了 在 内有界。 定理 3.4（局部保号性）若 （或 ），则对任何正数 （或 ），存在 ，使得对一切 有 （或 ）。 证 设 ，对任何 ，取 ，则存在 ，使得对一切 有 ，这就证得结论。对于 的情形可类似地证明。 定理 3.5（保不等式性）设 与 都存在，且在某邻域 内有 ，则 。 （3） 证 设 ， ，则对任给的 ，分别存在正数 与 ，使得当 时
A-a<f(x) (4) 当04x-x小<2时有 g(x)<b+e 6=m(,4,6),则当0<k-xnl<6时,不等式f()sg()与(4), (5)式同时成立,于是 有 A-E<f(x)≤g(x)<B+E,从而A<B+2E。由E的任意性得A≤B,即(3) 式成立。 lim lin 定理3.6(迫敛性)设x→”=x→ ,且在某 内有 f(x)≤(x)≤g(x (6) lim h(x)= 则 证按假设,对任给的e>0,分别存在正数a与22,使得当 < 时 A-a<f(x) (7) 0<x-x<时有 g(x)<A+8 令6=m(f,.6),则当0-列小6时,不等式(6)、(7)、(8) 式同时成立,故有 A-<(x)()sg(x)<B+E,由此得H(x),1mh)=A
（4） 当 时有 （ 5） 令 ，则当 时，不等式 与（4）, （5）式同时成立，于是 有 ，从而 。由 的任意性得 ，即（3） 式成立。 定理 3.6（迫敛性）设 = = ，且在某 内有 （6） 则 。 证 按假设，对任给的 ，分别存在正数 与 ，使得当 时 （7） 当 时有 （8） 令 ，则当 时，不等式（6）、（7）、（8） 式同时成立，故有 ，由此得 ，所以
定理3.7(四则运算法则)若极限x→ limf(x) lim g(x) 与 都存在,则函 数J土8,∫8当→ 时极限也存在,且 lim[(x)+g(x) lim f(x), lim g(x) 1)x→x lim[f(xk(x) lim f() lim g(x) img(x)≠0 又若x→ 则/g当→时极限也存在,且有 f(x)/ling(x) 这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理,留给读者作为练习 利用函数极限的迫敛性与四则运算法则,我们可从一些简单的函数极限出发 计算较复杂的函数极限。 例1求 1-x<x-≤1 解由第一章§3习题13,当x>0时有 而 ,故由迫敛性得 lim x
定理 3.7（四则运算法则）若极限 与 都存在，则函 数 ， 当 时极限也存在，且 1） = 2） = 又若 ，则 当 时极限也存在，且有 3） 这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理，留给读者作为练习。 利用函数极限的迫敛性与四则运算法则，我们可从一些简单的函数极限出发 计算较复杂的函数极限。 例 1 求 。 解 由第一章§3 习题 13，当 时有 ，而 ，故由迫敛性得
1≤x <1-x 另一方面,当x<0时有 ,故由迫敛性又可得 m x lim 综上,我们求得 例2求 xtanx=x 解由 Cosx及§1例4所得的 lim sinx= sin=v2= lim cos x 并按四则运算法则有 lim (x tan x lim x 丌 lim cos x x+= 47 例3求 解当x+1≠0时有x+1x+1)x-2)_x-2 x2-x+1 故所求极限等于 x2x2) (-1)-(-1)+1 例4证明x→0 证任给E>0(不妨设E<1),为使
另一方面，当 时有 ，故由迫敛性又可得 。 综上，我们求得 。 例 2 求 。 解 由 及§1 例 4 所得的 并按四则运算法则有 = 例 3 求 解 当 时有 。 故所求极限等于 。 例 4 证明 证 任给 （不妨设 ），为使