D0I:10.13374/1.issnl00I53.2006.12.38 第28卷第12期 北京科技大学学报 Vol.28 No.12 2006年12月 Journal of University of Science and Technology Beijing Dec.2006 基于蒙特卡罗法的轨迹再现转向机构稳健性设计 张蕾)张文明)申焱华) 1)北京科技大学土木与环境工程学院，北京1000832)天津工程师范学院汽车工程系，天津300222 摘要对于转向梯形机构，以转向过程的运动精度为目标函数，以主销中心距、轴距、转向梯形 底角和转向梯形臂长度四个参数作为设计变量，以最小传动角及最大角度误差作为约束，建立了 基于响应面方法的稳健设计数学模型，应用具有正态分布参数的蒙特卡罗稳健设计方法，对汽车 转向机构进行了优化设计·比较了确定性优化方法与蒙特卡罗方法的设计结果。在转向角度误差 相差不大的情况下，应用蒙特卡罗方法设计的转向机构最小传动角大，系统的传递性能及运动性 能好，并且当设计变量出现微小变化时，能有效保证转向系统的运动轨迹 关键词转向机构：稳健性设计：轨迹再现：蒙特卡罗法 分类号U463.42 汽车转向机构的实际运动轨迹与理想运动轨 1+2 Mcos0-2Lcos20 Mcos(0-B) arccos -0 迹之间存在不确定性运动误差飞.E包含两部分： L2+M2-2LMcos(0-B) 一是由于机构综合方法本身的近似性带来的误 (2) 差，即原理误差：另一部分是由机构的制造、装配 式中，α为外侧前轮实际转角，0为转向梯形底 带来的误差，即随机误差，这些不确定运动误差 角，L为转向梯形臂长度 破坏了汽车的运动轨迹，加重了轮胎的磨损，影响 为了提高转向机构的运动精度，目标函数设 了车辆的操纵，因此，考虑各种相关因素的随机 计为：内侧前轮转动过程中，外侧前轮实际输出转 性，将蒙特卡罗(Monte Carlo)模拟方法应用于汽 角与理想转角相差最小，即 车整体式转向机构设计中，以提高转向机构的运 动精度 y4(4-0)2 (3) 1 以运动轨迹精度为目标的转向机 式中，，为加权系数，为外侧前轮实际输出转 角，0：为对应的外侧前轮理想输出转角 构设计 车辆转向时，内、外侧前轮理想运动轨迹应保 y 蒙特卡罗(Monte Carlo)模拟方法 持以下关系，此时车轮转向时无侧滑，轮胎磨损 Monte Carlo是一种计算机模拟方法，又称随 小： 机模拟法或统计实验法，是一种根据统计抽样理 co=arccot (cot B+M/S) (1) 论近似求解数学问题或物理问题的方法，同传统 式中，M为主销中心距，S为轴距，B为给定的内 代数法相比，Monte Carlo无须知道参数的分布类 侧前轮转角，，为对应的外侧前轮理想转角 型及概率参数，可以选用正态分布、指数分布、威 车辆转向时，实际是由等腰梯形机构近似地 布尔分布等任何一种分布解决问题，本文应用基 实现式(1)的理想运动轨迹，整体式转向机构的 于响应面模型的蒙特卡罗模拟方法对转向机构进 内、外侧前轮实际运动轨迹如下式所示： 行稳健优化设计，基本步骤如下 L.sin(0-3] a-arctan M-Lcos(0B) (1)确定响应面模型，将其表示为各自变量 x(设计变量)的超曲面，系统的输出与设计变量 的函数关系如下式所示： 收稿日期：2005-09-14修回日期：2006-05-16 f(x)=f(x1,x2,..xn) (4) 基金项目：国家自然科学基金资助项目(N。.50475173) (2)对各随机变量x的分布总体进行随机抽 作者简介：张蕾(1975一)，女，副教授，博士研究生；张文明 (1950一)，男，教授，博士生导师 样，得到样本x》=[x,x2,…xn]；
基于蒙特卡罗法的轨迹再现转向机构稳健性设计 张 蕾12） 张文明1） 申焱华1） 1） 北京科技大学土木与环境工程学院北京100083 2） 天津工程师范学院汽车工程系天津300222 摘 要 对于转向梯形机构以转向过程的运动精度为目标函数以主销中心距、轴距、转向梯形 底角和转向梯形臂长度四个参数作为设计变量以最小传动角及最大角度误差作为约束建立了 基于响应面方法的稳健设计数学模型．应用具有正态分布参数的蒙特卡罗稳健设计方法对汽车 转向机构进行了优化设计．比较了确定性优化方法与蒙特卡罗方法的设计结果．在转向角度误差 相差不大的情况下应用蒙特卡罗方法设计的转向机构最小传动角大系统的传递性能及运动性 能好并且当设计变量出现微小变化时能有效保证转向系统的运动轨迹． 关键词 转向机构；稳健性设计；轨迹再现；蒙特卡罗法 分类号 U463∙42 收稿日期：20050914 修回日期：20060516 基金项目：国家自然科学基金资助项目（No．50475173） 作者简介：张 蕾（1975—）女副教授博士研究生；张文明 （1950—）男教授博士生导师 汽车转向机构的实际运动轨迹与理想运动轨 迹之间存在不确定性运动误差ε．ε包含两部分： 一是由于机构综合方法本身的近似性带来的误 差即原理误差；另一部分是由机构的制造、装配 带来的误差即随机误差．这些不确定运动误差 破坏了汽车的运动轨迹加重了轮胎的磨损影响 了车辆的操纵．因此考虑各种相关因素的随机 性将蒙特卡罗（Monte Carlo）模拟方法应用于汽 车整体式转向机构设计中以提高转向机构的运 动精度． 1 以运动轨迹精度为目标的转向机 构设计 车辆转向时内、外侧前轮理想运动轨迹应保 持以下关系此时车轮转向时无侧滑轮胎磨损 小： α0＝arccot（cotβ＋ M／S） （1） 式中M 为主销中心距S 为轴距β为给定的内 侧前轮转角α0 为对应的外侧前轮理想转角． 车辆转向时实际是由等腰梯形机构近似地 实现式（1）的理想运动轨迹．整体式转向机构的 内、外侧前轮实际运动轨迹如下式所示： α＝arctan Lsin（θ—β） M— Lcos（θ—β） ＋ arccos L＋2Mcosθ—2Lcos 2θ— Mcos（θ—β） L 2＋ M 2—2LMcos（θ—β） —θ （2） 式中α为外侧前轮实际转角θ为转向梯形底 角L 为转向梯形臂长度． 为了提高转向机构的运动精度目标函数设 计为：内侧前轮转动过程中外侧前轮实际输出转 角与理想转角相差最小即 ε＝ ∑ n i＝1 ωi（αi—α0i） 2 （3） 式中ωi 为加权系数αi 为外侧前轮实际输出转 角α0i为对应的外侧前轮理想输出转角． 2 蒙特卡罗（Monte Carlo）模拟方法 Monte Carlo 是一种计算机模拟方法又称随 机模拟法或统计实验法是一种根据统计抽样理 论近似求解数学问题或物理问题的方法．同传统 代数法相比Monte Carlo 无须知道参数的分布类 型及概率参数可以选用正态分布、指数分布、威 布尔分布等任何一种分布解决问题．本文应用基 于响应面模型的蒙特卡罗模拟方法对转向机构进 行稳健优化设计．基本步骤如下． （1） 确定响应面模型将其表示为各自变量 x（设计变量）的超曲面系统的输出与设计变量 的函数关系如下式所示： f （ x）＝ f （ x1x2…x n） （4） （2） 对各随机变量 x 的分布总体进行随机抽 样得到样本 x （ j）＝［ xj1xj2… xjn ］ T； 第28卷 第12期 2006年 12月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．28No．12 Dec．2006 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2006．12．038
Vol.28 No.12 张蕾等：基于蒙特卡罗法的轨迹再现转向机构稳健性设计 .1175, (③)选择各独立随机变量的分布规律，包括 约束如下式，其角度误差过大会加大轮胎的侧滑， 各独立随机变量的均值和标准差等； 增加汽车的转向阻力： (4)将样本x)代入相关关系式，得到运动 a4-a0:≤3° (10) 角度误差样本，如下式，从而构成一次试验： (③)设计变量的约束，根据经验公式，转向 Ai=g(x》,月)=g(x,x2,…,xim,月)(5) 梯形底角应满足： 式中，△为最大样本误差，B:为内侧前轮转角，i 0=arccot(4s/3M)±5° (11) =1,…,m 根据实车布置，转向梯形臂长度范围为 (5)检验样本误差是否满足下式： 0.25~0.5m Y;=Aiax-[A]≤0 (6) 3.3响应面模型 式中，Y;样本最大误差与许用误差的差值，[△] 选择内侧前轮常用转角2°，4°，6°，8°，10°时对 为许用误差， 应的外侧前轮转角建立响应面模型 (6)重复(2)一(5)步骤K次，计算K次独立 3.4设计目标 抽样试验中Y≤0的次数，如下式： 选取转向过程中需要再现的14个运动角度， 即理想的内外侧前轮转角关系进行设计，内侧前 KT= (7) 轮转角a为2°，4°，6°，8°，10°，12°，14°，16°，18°， 式中，Kr为Y≤0的次数， 20°，22°，24°，26°，28°；对应的外侧前轮转角3为 0,Y>0 1.96°，3.83°，5.63°，7.36°，9.02°，10.62°，12.16°， U1,Y,≤0 13.65°，15.09°，16.49°，17.85°，19.17°，20.46°， (7)重复K次实验后，计算可靠度，如下式： 21.72°. P=KT/K (8) 4结果分析 若P≥（ò为要求的可靠度），则产品是稳健的； 否则对产品各随机变量的精度进行修改 基于蒙特卡罗方法设计的整体式转向机构的 (8)绘制概率分布图 结果如下所示.设计变量值：[MS0L]T= [2.33.6575.770.25]T;约束值：最小传动 3 以运动轨迹精度为目标的转向机 角35.7°，最大角度误差2.14°；目标值：1.75°. 构数学模型 各响应面模型概率分布如图1,3~(1.98 0.001),月4~(3.92,0.0042)，~(5.83， 3.1设计变量 0.0092),3(7.71,0.012),80(9.55,0.022). 选择主销中心距(M)、轴距(S)、梯形底角 (B下标表示内侧前轮转角)，内侧前轮转角α与 ()和转向臂长度(L)四个参数作为设计变量，记 外侧前轮实际转角B关系如图2中的实际关系曲 X=[x1 x2 x3x]=[M S 0 L], 线（蒙特卡罗法） 些变量为服从正态分布的相互独立的随机变量. 以主销中心距、轴距、梯形底角和转向臂长度 各变量分布如下： 四个参数为确定性设计变量，应用常规的数学模 MN(2.3,0.0052),SN(3.65,0.0052), 型进行优化设计，设计结果如下，设计变量值： 0N(67,0.012),LN(0.25,0.0012). [Ms0L]=[2.33.6573.75 3.2约束条件 0.32]';约束值：最小传动角32.16°，最大角度误 (1)最小传动角的约束，最小传动角是指转 差1.93°：目标值：1.62°.内侧前轮转角α与外侧 向梯形臂与横拉杆所夹的最小锐角，此角过小会 前轮实际转角B关系如图2中的实际关系曲线 使杆件的作用力臂短而受力过大，还会使杆件接 (确定性法)· 近转动的“死点”，影响正常使用，最小传动角按 由图2可以看出：将设计变量考虑为确定值 下式计算，其值要求大于30°. 时，确定性方法得到的轨迹曲线比蒙特卡罗方法 Y=arccos[-Mcos(0A)+2 Mcos0- 得到的轨迹曲线更接近理想曲线，但是，不可控 2 Lcos20]/(M-2Lcos0)! (9) 因素使设计变量发生变化时，确定性方法不能有 式中，Y为最小传动角，A为外侧前轮最大转角， 效保证转向系统的运动轨迹精度，蒙特卡罗方法 (②)最大角度误差的约束，最大角度误差的 可以保证，如图3所示，图3是设计变量梯形底
（3） 选择各独立随机变量的分布规律包括 各独立随机变量的均值和标准差等； （4） 将样本 x （ j）代入相关关系式得到运动 角度误差样本如下式从而构成一次试验： Δi max＝g（ x （ j）βi）＝g（ xj1xj2…xjnβi）（5） 式中Δi max为最大样本误差βi 为内侧前轮转角i ＝1…m． （5） 检验样本误差是否满足下式： Y j＝Δi max—［Δ］≤0 （6） 式中Y j 样本最大误差与许用误差的差值［Δ］ 为许用误差． （6） 重复（2）～（5）步骤 K 次计算 K 次独立 抽样试验中 Y j≤0的次数如下式： KT＝ ∑ K j＝1 Uj （7） 式中KT 为 Y j≤0的次数 Uj＝ 0 Y j＞0 1 Y j≤0 ． （7） 重复 K 次实验后计算可靠度如下式： P＝ KT／K （8） 若 P≥δ（δ为要求的可靠度）则产品是稳健的； 否则对产品各随机变量的精度进行修改． （8） 绘制概率分布图． 3 以运动轨迹精度为目标的转向机 构数学模型 3∙1 设计变量 选择主销中心距（ M）、轴距（ S）、梯形底角 （θ）和转向臂长度（ L）四个参数作为设计变量记 X＝［ x1 x2 x3 x4］ T＝［ M S θ L ］ T这 些变量为服从正态分布的相互独立的随机变量． 各变量分布如下： M～N（2∙30∙0052）S～N（3∙650∙0052） θ～N（670∙012）L～N（0∙250∙0012）． 3∙2 约束条件 （1） 最小传动角的约束．最小传动角是指转 向梯形臂与横拉杆所夹的最小锐角．此角过小会 使杆件的作用力臂短而受力过大还会使杆件接 近转动的“死点”影响正常使用．最小传动角按 下式计算其值要求大于30°． γ＝arccos｛［— Mcos（θ＋ A）＋2Mcosθ— 2Lcos 2θ］／（ M—2Lcosθ）｝ （9） 式中γ为最小传动角A 为外侧前轮最大转角． （2） 最大角度误差的约束．最大角度误差的 约束如下式其角度误差过大会加大轮胎的侧滑 增加汽车的转向阻力： ｜αi—α0i｜≤3° （10） （3） 设计变量的约束．根据经验公式转向 梯形底角应满足： θ＝arccot（4S／3M）±5° （11） 根据 实 车 布 置转 向 梯 形 臂 长 度 范 围 为 0∙25～0∙5m． 3∙3 响应面模型 选择内侧前轮常用转角2°4°6°8°10°时对 应的外侧前轮转角建立响应面模型． 3∙4 设计目标 选取转向过程中需要再现的14个运动角度 即理想的内外侧前轮转角关系进行设计．内侧前 轮转角 α为2°4°6°8°10°12°14°16°18° 20°22°24°26°28°；对应的外侧前轮转角 β为 1∙96°3∙83°5∙63°7∙36°9∙02°10∙62°12∙16° 13∙65°15∙09°16∙49°17∙85°19∙17°20∙46° 21∙72°． 4 结果分析 基于蒙特卡罗方法设计的整体式转向机构的 结果如下所示．设计变量值：［ M S θ L ］ T＝ ［2∙3 3∙65 75∙77 0∙25］ T；约束值：最小传动 角35∙7°最大角度误差2∙14°；目标值：1∙75°． 各响应面模型概率分布如图1β2～（1∙98 0∙0012）β4 ～ （3∙920∙0042）β6 ～ （5∙83 0∙0092）β8～（7∙710∙012）β10～（9∙550∙022）． （β下标表示内侧前轮转角）．内侧前轮转角 α与 外侧前轮实际转角β关系如图2中的实际关系曲 线（蒙特卡罗法）． 以主销中心距、轴距、梯形底角和转向臂长度 四个参数为确定性设计变量应用常规的数学模 型进行优化设计设计结果如下．设计变量值： ［M S θ L ］ T ＝ ［2∙3 3∙65 73∙75 0∙32］ T；约束值：最小传动角32∙16°最大角度误 差1∙93°；目标值：1∙62°．内侧前轮转角 α与外侧 前轮实际转角β关系如图2中的实际关系曲线 （确定性法）． 由图2可以看出：将设计变量考虑为确定值 时确定性方法得到的轨迹曲线比蒙特卡罗方法 得到的轨迹曲线更接近理想曲线．但是不可控 因素使设计变量发生变化时确定性方法不能有 效保证转向系统的运动轨迹精度蒙特卡罗方法 可以保证如图3所示．图3是设计变量—梯形底 Vol．28No．12 张蕾等： 基于蒙特卡罗法的轨迹再现转向机构稳健性设计 ·1175·
,1176 北京科技大学学报 2006年第12期 80 (a)B. b)月 40 0 0 1.97838 1.98150 198541 3.91430 3.92655 3.94190 外侧前轮转角) 外侧前轮转角) 80 80 (d)B, 60 (e)B 20 0 0外 5.80867 5.83579 5.87000 7.66210 7.70959 7.76970 外侧前轮转角) 外侧前轮转角() 80 (e)Bio 40 20 0 947493 9.54812 9.64100 外侧前轮转角) 图1概率分布 Fig.1 Probability distribution 35 一实际关系曲线（蒙特卡罗法） 02300 5结论 …实际关系曲线（确定性法） 一理想关系曲线 选择主销中心距、轴距、梯形底角和转向梯形 5 10 臂长度四个参数作为设计变量，并将变量作为随 机数处理，考虑各种因素的随机性，更加符合实际 分 20 30 内侧车轮转角() 应用情况，应用基于响应面模型的蒙特卡罗模拟 方法可以设计出运动精度高、稳健性能好的转向 图2前轮转角关系曲线 梯形机构，并且这种设计方法的基本原理与数学 Fig.2 Correlation between steering angle and front wheels 模型具有普遍意义，可用于其他转向机构的设计， 025 g 020 …确定性法 参考文献 0.15 一蒙特卡罗法 [1】郭惠昕，张世安·轨迹再现机构的模糊稳健优化设计方法· 0.10 机械传动，2002,26(1)：16 0.05 0 [2]孟宪举，张策.用蒙特卡罗法进行轨迹创成连杆机构的稳 6.056 健性分析.机械科学与技术，2004,23(2)：204 0 20 30 40 内侧车轮转角() [3]陈立周，于晓红·基于随机优化的工程稳健设计.北京科技 大学学报，1999,21(1)：57 图3轨迹变化曲线 [4]张广军，宁仲良·蒙特卡罗法在零件可靠性设计中的应用 Fig.3 Curves of locus variety 西安科技学院学报，2003,23(1)：59 角发生0.5°偏差时，转向机构运动轨迹发生的变 [5]陈德勇，郑春林.机械功能参数下可靠度的最大熵分布和 贝叶斯估计.北京科技大学学报，1996,16(1)：47 化·可以看出：确定性方法因数值发生偏差导致 [6]谭晓兰，韩建友，陈立周，考虑运动副间隙影响的函数发生 的运动轨迹变化远远大于蒙特卡罗方法产生的变 机构的稳健优化设计.北京科技大学学报，2004,26(4)： 化：并且应用蒙特卡罗模拟方法设计的转向机构 416. 最小传动角大，系统的传递性能及运动性能好， [7]郭长虹，赵炳利，郝丽霞，基于蒙特卡罗模拟法的计算机辅 助公差分析.现代制造工程，2004(8)：74 可见，基于响应面模型的蒙特卡罗模拟方法既保 证了转向机构的运动轨迹精度，又提高了转向系 [8]Lio M D.Robust design of linkages synthesis by solving non- linear optimization problems.Mech Mach Theory.1997.32 统的稳健性，是一种更具工程实用价值的设计 (8):921 方法 [9]诸文龙.底盘设计.北京：机械工业出版社，1981
图1 概率分布 Fig．1 Probability distribution 图2 前轮转角关系曲线 Fig．2 Correlation between steering angle and front wheels 图3 轨迹变化曲线 Fig．3 Curves of locus variety 角发生0∙5°偏差时转向机构运动轨迹发生的变 化．可以看出：确定性方法因数值发生偏差导致 的运动轨迹变化远远大于蒙特卡罗方法产生的变 化；并且应用蒙特卡罗模拟方法设计的转向机构 最小传动角大系统的传递性能及运动性能好． 可见基于响应面模型的蒙特卡罗模拟方法既保 证了转向机构的运动轨迹精度又提高了转向系 统的稳健性是一种更具工程实用价值的设计 方法． 5 结论 选择主销中心距、轴距、梯形底角和转向梯形 臂长度四个参数作为设计变量并将变量作为随 机数处理考虑各种因素的随机性更加符合实际 应用情况．应用基于响应面模型的蒙特卡罗模拟 方法可以设计出运动精度高、稳健性能好的转向 梯形机构并且这种设计方法的基本原理与数学 模型具有普遍意义可用于其他转向机构的设计． 参 考 文 献 ［1］ 郭惠昕张世安．轨迹再现机构的模糊稳健优化设计方法． 机械传动200226（1）：16 ［2］ 孟宪举张策．用蒙特卡罗法进行轨迹创成连杆机构的稳 健性分析．机械科学与技术200423（2）：204 ［3］ 陈立周于晓红．基于随机优化的工程稳健设计．北京科技 大学学报199921（1）：57 ［4］ 张广军宁仲良．蒙特卡罗法在零件可靠性设计中的应用． 西安科技学院学报200323（1）：59 ［5］ 陈德勇郑春林．机械功能参数下可靠度的最大熵分布和 贝叶斯估计．北京科技大学学报199616（1）：47 ［6］ 谭晓兰韩建友陈立周．考虑运动副间隙影响的函数发生 机构的稳健优化设计．北京科技大学学报200426（4）： 416． ［7］ 郭长虹赵炳利郝丽霞．基于蒙特卡罗模拟法的计算机辅 助公差分析．现代制造工程2004（8）：74 ［8］ Lio M D．Robust design of linkages synthesis by solving nonlinear optimization problems．Mech Mach Theory199732 （8）：921 ［9］ 诸文龙．底盘设计．北京：机械工业出版社1981 ·1176· 北 京 科 技 大 学 学 报 2006年第12期
Vol.28 No.12 张蕾等：基于蒙特卡罗法的轨迹再现转向机构稳健性设计 .1177. [10]张洪秋.汽车设计.北京：机械工业出版社，1992 Robust design for locus generating steering mechanism based on Monte Carlo method ZHA NG Lei),ZHA NG Wenming,SHEN Yanhua) 1)Civil and Environmental Engineering School,University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China 2)Automotive Engineering Department,Tianjin University of Technology and Education.Tianjin 300222,China ABSTRACI A robust mathematical design model based on the response surface method was established for steering trapezoid mechanism.In the model,movement precision during steering course was chosen as the objective function:kingpins distance,axles distance,trapezoid mechanism's bottom angle and steering arm length were defined as the design variables:minimum transmission angle and maximum angle error were considered as the restraint condition.Steering mechanism of a truck was optimum designed by adopting the method of Monte Carlo optimization design with distribution parameters.The results of fixed optimization design and Monte Carlo optimization design were compared.It is shown that the minimum transmitted an- gle derived from the Monte Carlo optimization design method is larger and the system has well transmitted performance and steering performance while the difference of steering error is small,furthermore movement precision is assured when design variables are little varied. KEY WORDS steering mechanism:robust design:locus generating:Monte Carlo method
［10］ 张洪秋．汽车设计．北京：机械工业出版社1992 Robust design for locus generating steering mechanism based on Monte Carlo method ZHA NG Lei 12）ZHA NG Wenming 1）SHEN Y anhua 1） 1） Civil and Environmental Engineering SchoolUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China 2） Automotive Engineering DepartmentTianjin University of Technology and EducationTianjin300222China ABSTRACT A robust mathematical design model based on the response surface method was established for steering trapezoid mechanism．In the modelmovement precision during steering course was chosen as the objective function；kingpins distanceaxles distancetrapezoid mechanism’s bottom angle and steering arm length were defined as the design variables；minimum transmission angle and maximum angle error were considered as the restraint condition．Steering mechanism of a truck was optimum designed by adopting the method of Monte Carlo optimization design with distribution parameters．The results of fixed optimization design and Monte Carlo optimization design were compared．It is shown that the minimum transmitted angle derived from the Monte Carlo optimization design method is larger and the system has well transmitted performance and steering performance while the difference of steering error is smallfurthermore movement precision is assured when design variables are little varied． KEY WORDS steering mechanism；robust design；locus generating；Monte Carlo method Vol．28No．12 张蕾等： 基于蒙特卡罗法的轨迹再现转向机构稳健性设计 ·1177·