《抽样调查》习题 概述 1.1结合以下所列情况讨论哪些适合用全面调查,哪些适合用抽样调查,并说明理由 1.研究居住在某城市所有居民的食品消费结构 2.调查一个县各村的粮食播种面积和全县生猪的存栏头数 3.为进行治疗,调查一地区小学生中患沙眼的人数 4调查一地区结核病的发生率; 5估计一个水库中草鱼的数量: 6某企业想了解其产品在市场的占有率 7调查一个县中小学教师月平均工资 1.2结合习题1.1的讨论,你能否概括在什么场合作全面调查,什么场合适合做抽样调查 1.3讨论以下所列情况是否属于概率抽样,并说明理由: 1.从一个包含有100只兔子的实验室大笼子里抓10只兔子做实验。研究人员不经任何挑选 抓到哪只就算那一只,抓满10只为止。 2.将笼中的100只兔子编上1~100号,任意列出10个不重复的数字(为1~100之间的整 数),以相应的兔子作为抽中作试验的样本 3.从钱包中随便抽出一纸币,凡兔子号码尾数与该纸币编号尾数相同者及作为抽中的样本 1.4某刊物对其读者进行调查,调查表随刊物送到读者手中,对寄回的调查表进行分析 试问这是不是一项抽样调查?样本抽取是不是属于概率抽样?为什么? 1.5结合习题1.3与1.4的讨论,根据你的理解什么是概率抽样?什么是非概率抽样? 它们各有什么优点? 1.6请列举一些你所了解的以及被接受的抽样调查 1.7抽样的随机原则及其意义; 1.8怎样理解抽样调查的科学性? 1.9抽样调查基础理论及其意义 1.10抽样调查的特点。 抽样调查基本原理 2.1试说明以下术语或概念之间的关系与区别; 1.总体、样本与个体; 2.总体与抽样框: 3.个体、抽样单元与抽样框。 2.2试说明以下术语或概念之间的关系与区别 1.均方误差、方差与偏倚; 2.方差、标准差与标准误 3.无偏估计、祥和估计量与可用估计量 4.绝对误差限、置信限(置信区间)与置信度。 2.3从某个总体抽取一个n=50的独立同分布样本,样本数据如下: 567601665732366937462619279287 690520502312452562557574350875 834203593980172287753259276876 69237188764139944292744291811
《抽样调查》习题 概述 1.1 结合以下所列情况讨论哪些适合用全面调查，哪些适合用抽样调查，并说明理由； 1.研究居住在某城市所有居民的食品消费结构； 2.调查一个县各村的粮食播种面积和全县生猪的存栏头数； 3.为进行治疗，调查一地区小学生中患沙眼的人数； 4.调查一地区结核病的发生率； 5.估计一个水库中草鱼的数量； 6.某企业想了解其产品在市场的占有率； 7.调查一个县中小学教师月平均工资。 1.2 结合习题 1.1 的讨论，你能否概括在什么场合作全面调查，什么场合适合做抽样调查。 1.3 讨论以下所列情况是否属于概率抽样，并说明理由： 1.从一个包含有 100 只兔子的实验室大笼子里抓 10 只兔子做实验。研究人员不经任何挑选 抓到哪只就算那一只，抓满 10 只为止。 2.将笼中的 100 只兔子编上 1～100 号，任意列出 10 个不重复的数字（为 1～100 之间的整 数），以相应的兔子作为抽中作试验的样本； 3.从钱包中随便抽出一纸币，凡兔子号码尾数与该纸币编号尾数相同者及作为抽中的样本。 1.4 某刊物对其读者进行调查，调查表随刊物送到读者手中，对寄回的调查表进行分析。 试问这是不是一项抽样调查？样本抽取是不是属于概率抽样？为什么？ 1.5 结合习题 1.3 与 1.4 的讨论，根据你的理解什么是概率抽样？什么是非概率抽样？ 它们各有什么优点？ 1.6 请列举一些你所了解的以及被接受的抽样调查。 1.7 抽样的随机原则及其意义； 1.8 怎样理解抽样调查的科学性? 1.9 抽样调查基础理论及其意义； 1.10 抽样调查的特点。 抽样调查基本原理 2.1 试说明以下术语或概念之间的关系与区别； 1.总体、样本与个体； 2.总体与抽样框； 3.个体、抽样单元与抽样框。 2.2 试说明以下术语或概念之间的关系与区别； 1.均方误差、方差与偏倚； 2.方差、标准差与标准误； 3.无偏估计、祥和估计量与可用估计量； 4.绝对误差限、置信限（置信区间）与置信度。 2.3 从某个总体抽取一个 n=50 的独立同分布样本，样本数据如下： 567 601 665 732 366 937 462 619 279 287 690 520 502 312 452 562 557 574 350 875 834 203 593 980 172 287 753 259 276 876 692 371 887 641 399 442 927 442 918 11
17841640521058797746153644476 1.计算样本均值y与样本方差s2 2.若用y估计总体均值,按数理统计结果,y是否无偏,并写出它的方差表达式 3.根据上述样本数据,如何估计v(y)? 4假定y的分布是近似正态的,试分别给出总体均值μ的置信度为80%,90%,95%,99% 的(近似)置信区间 2.4样本可能数目及其意义 2.5影响抽样误差的因素 2.6抽样分布及其意义 2.7抽样估计的基本原理 2.8置信区间的确定, 简单随机抽样 3.1讨论下列从总体中筹得的样本是否尾灯概率抽选(回答“是”或“否”) 1.总体(1-112)。抽法:从数1-56中随机抽取一个数r,再从数12中抽取一个数,以决定 该数为r或561 2.总体(1-112)。抽法:首先从1-2中抽选一个数以决定两个群1-100或101-112,再从抽 中的群中随机抽选一个数r 3总体(1-1109)。抽法:从1-10000中抽选一个随机数r,若第一位是偶数,则用后面的 位数来表示1-1000(以000代表1000);若第一位数是奇数,当后面的三位数在101-109 之间就代表1001和1109,若在110和1000之间被抛弃,重新抽选r 4.总体(67084-68192)。抽法:从1-1109中抽选一个随机数r,然后用r+67083作为被 抽选的数 5.总体(6708468192)。抽法:从1-2000中抽选一个随机数r,若在0084-192之间就加 67000取相应数,否则就抛弃,重选 6总体有1109个数分布在61000-68000之间。抽法:随机抽选四位数r加60000,如果该 数有相应的数就算抽中,无相应数抛弃重选 总体(1-17)。抽法:在1-100中抽选r,再除以20,若余数在1-17之间,就抽中相应的 数,否则抛弃重选 8总体(1-17)。抽法:在1-100中随机抽选一个数除以17,以余数作为抽中的数 32设总体N=5,其指标值为{3,5,6,7,9} 1计算总体方差a2和S2 2从中抽取n=2的随机样本,分别计算放回抽样和不放回抽样的方差V(y) 3按放回抽样和不放回抽样的分别列出所有可能的样本并计算j,验证E(y)=Y 4.按放回抽样和不放回抽样的所有可能的样本,计算其方差V(y),并与公式计算的结果 进行比较 5对所有的可能样本计算样本方差s2,并验证在放回抽样的情况下E(s2)=2:在不放回 的情况下:E(s2)=S2。 3.3在一森林抽样调査中,某林场共有1000公顷林地,随机布设了50块面积为0.06公顷
178 416 405 210 58 797 746 153 644 476 1.计算样本均值 y 与样本方差 s 2 ; 2.若用 y 估计总体均值，按数理统计结果，ｙ是否无偏，并写出它的方差表达式； 3.根据上述样本数据，如何估计 v(y)？ 4.假定 y 的分布是近似正态的，试分别给出总体均值 μ 的置信度为 80％，90％，95％，99％ 的（近似）置信区间。 2.4 样本可能数目及其意义； 2.5 影响抽样误差的因素； 2.6 抽样分布及其意义； 2.7 抽样估计的基本原理； 2.8 置信区间的确定。 简单随机抽样 3.1 讨论下列从总体中筹得的样本是否尾灯概率抽选（回答“是”或“否”）； 1.总体（1-112）。抽法：从数 1-56 中随机抽取一个数 r，再从数 1-2 中抽取一个数，以决定 该数为 r 或 56+r； 2.总体（1-112）。抽法：首先从 1-2 中抽选一个数以决定两个群 1-100 或 101-112，再从抽 中的群中随机抽选一个数 r； 3.总体（1-1109）。抽法：从 1-10000 中抽选一个随机数 r，若第一位是偶数，则用后面的三 位数来表示 1-1000（以 000 代表 1000）；若第一位数是奇数，当后面的三位数在 101-109 之间就代表 1001 和 1109，若在 110 和 1000 之间被抛弃，重新抽选ｒ； ４．总体（67084-68192）。抽法：从 1-1109 中抽选一个随机数 r，然后用ｒ+67083 作为被 抽选的数； 5. 总体（67084-68192）。抽法：从 1-2000 中抽选一个随机数 r，若在 0084-1192 之间就加 67000 取相应数，否则就抛弃，重选 r； 6.总体有 1109 个数分布在 61000-68000 之间。抽法：随机抽选四位数 r 加 60000，如果该 数有相应的数就算抽中，无相应数抛弃重选； 7.总体（1-17）。抽法：在 1-100 中抽选 r，再除以 20，若余数在 1-17 之间，就抽中相应的 数，否则抛弃重选； 8.总体（1-17）。抽法：在 1-100 中随机抽选一个数除以 17，以余数作为抽中的数。 3.2 设总体 N=5，其指标值为{3，5，6，7，9} 1.计算总体方差 2 和 S 2 ； 2.从中抽取 n=2 的随机样本，分别计算放回抽样和不放回抽样的方差 V ( y) ； 3.按放回抽样和不放回抽样的分别列出所有可能的样本并计算 y ，验证 E( y) =Y ； 4. 按放回抽样和不放回抽样的所有可能的样本，计算其方差 V ( y) ，并与公式计算的结果 进行比较； 5.对所有的可能样本计算样本方差 s 2 ,并验证在放回抽样的情况下 E（s 2）= 2 ；在不放回 的情况下：E（s 2）= S2。 3.3 在一森林抽样调查中，某林场共有 1000 公顷林地，随机布设了 50 块面积为 0.06 公顷
的方形样地,测得这50块样地的平均储蓄量为9m3,标准差为1.63m3,试以95%的置信 度估计该林场的木材储蓄量。 3.4某居民区共有10000户,现用抽样调查的方法估计该区居民的用水量。采用简单随 机抽样抽选了100户,得y=12.5,s2=1252。估计该居民区的总用水量95%的置信区间。 若要求估计的相对误差不超过20%,试问应抽多少户做样本? 3.5某工厂欲制定工作定额,估计所需平均操作时间,从全厂98名从事该项作业的工人 中随机抽选8人,其操作时间分别为42,5.1,79,38,53,46,5.1,4.1(单位:分) 试以95%的置信度估计该项作业平均所需时间的置信区间(有限总体修正系数可忽略)。 3.6从某百货商店的3000张发货票中随机抽取300张来估计家用电器销售额,发现其中 有200张是销售家用电器的,这200张发货票的总金额是48956元,其离差平方和为 12698499。若置信度是95%,试估计这3000张发货票中家用电器销售额的置信区间。 3.7某总体有10个单元,分为A,B,C三类,其中A类有2个单元,B类和C类各有四个 单元。若采用不放回抽样抽取一样本量为4的简单随机样本来估计B类单元在B,C两类单 元中的比例,试计算估计量的标准误。 3.8某县采用简单随机抽样估计粮食、棉花、大豆的播种面积,抽样单元为农户。根据 以往资料其变量的变异系数为 名称 粮食棉花大豆 变异系数0.380.390.44 若要求以上各个项目的置信度为95%,相对误差不超过4%,需要抽取多少户?若用这一样 本估计粮食的播种面积,其精度是多少? 3.9从一叠单据中用简单随机抽样方法抽取了250张,发现其中有50张单据出现错误, 试以95%的置信度估计这批单据中有错误的比例。若已知这批单据共1000张,你的结论有 何变化?若要求估计的绝对误差不超过1%,则至少抽取多少张单据作样本? 3.10欲调查二种疾病的发病率,疾病A的发病率较高,预期为50%; 疾病B的发病率预期为1%。若要得到相同的标准差0.5%,采用简单随机抽样各需要多大的 样本量?试对上述不同的结果加以适当的说明。 3.11假设总体中每个单元有两个指标值Y和X,i=1,…,N,记y,为相应的简单随机样 本的均值。试证样本协方差 (y1-卫x2-x 是总体协方差 n-12(-F(X-X) 的无偏估计 3.12设y是从总体{Y,…,Y}中抽取的样本量为n的简单随机样本的均值,如是从样 本量为n的简单随机子样本均值,y是剩余的样本单元均值。试证 Cov(n,yn)=- (提示:利用以下事实:两个子样本均可看成是从总体中直接抽取的简单随机子样本)。 3.13设某个总体由L个子总体构成,今从该总体中抽取一个大小为n的简单随机样本, 且设属于第j个子总体的单元数为n固定的条件下,这n个单元可看成是从第j个子总体
的方形样地，测得这 50 块样地的平均储蓄量为 9m3，标准差为 1.63 m3，试以 95%的置信 度估计该林场的木材储蓄量。 3.4 某居民区共有 10000 户，现用抽样调查的方法估计该区居民的用水量。采用简单随 机抽样抽选了 100 户，得 ý=12.5，s2=1252。估计该居民区的总用水量 95%的置信区间。 若要求估计的相对误差不超过 20%，试问应抽多少户做样本？ 3.5 某工厂欲制定工作定额，估计所需平均操作时间，从全厂 98 名从事该项作业的工人 中随机抽选 8 人，其操作时间分别为 4.2，5.1，7.9，3.8，5.3，4.6，5.1，4.1（单位：分）， 试以 95%的置信度估计该项作业平均所需时间的置信区间（有限总体修正系数可忽略）。 3.6 从某百货商店的 3000 张发货票中随机抽取 300 张来估计家用电器销售额，发现其中 有 200 张是销售家用电器的，这 200 张发货票的总金额是 48956 元，其离差平方和为 12698499。若置信度是 95%，试估计这 3000 张发货票中家用电器销售额的置信区间。 3.7 某总体有 10 个单元，分为 A,B,C 三类，其中 A 类有 2 个单元，B 类和 C 类各有四个 单元。若采用不放回抽样抽取一样本量为 4 的简单随机样本来估计 B 类单元在 B,C 两类单 元中的比例，试计算估计量的标准误。 3.8 某县采用简单随机抽样估计粮食、棉花、大豆的播种面积，抽样单元为农户。根据 以往资料其变量的变异系数为 名称 粮食 棉花 大豆 变异系数 0.38 0.39 0.44 若要求以上各个项目的置信度为 95%，相对误差不超过 4%，需要抽取多少户？若用这一样 本估计粮食的播种面积，其精度是多少？ 3.9 从一叠单据中用简单随机抽样方法抽取了 250 张，发现其中有 50 张单据出现错误， 试以 95%的置信度估计这批单据中有错误的比例。若已知这批单据共 1000 张，你的结论有 何变化？若要求估计的绝对误差不超过 1%，则至少抽取多少张单据作样本？ 3.10 欲调查二种疾病的发病率，疾病 A 的发病率较高，预期为 50%; 疾病 B 的发病率预期为 1%。若要得到相同的标准差 0.5%，采用简单随机抽样各需要多大的 样本量？试对上述不同的结果加以适当的说明。 3.11 假设总体中每个单元有两个指标值 Yi 和 Xi，i=1，…，N，记 y,为相应的简单随机样 本的均值。试证样本协方差 = − − − = n i yx i i y y x x n s 1 ( )( ) 1 1 是总体协方差 = − − − = n i yx Yi Y Xi X n S 1 ( )( ) 1 1 的无偏估计。 3.12 设 ý 是从总体{Yi, …，YN}中抽取的样本量为 n 的简单随机样本的均值，ýn1 是从样 本量为 n1 的简单随机子样本均值，ýn2 是剩余的样本单元均值。试证： Cov（ n1 y , n2 y )= N S y 2 − （提示：利用以下事实：两个子样本均可看成是从总体中直接抽取的简单随机子样本）。 3.13 设某个总体由 L 个子总体构成，今从该总体中抽取一个大小为 n 的简单随机样本， 且设属于第 j 个子总体的单元数为 nj 固定的条件下，这 nj 个单元可看成是从第 j 个子总体
中抽取的一个简单随机样本 3.14简单随机抽样在抽样技术中的地位 15简单随机抽样中样本量确定的原则及主要考虑因素 3.16总体方差的预先确定思路 分层抽样 4.1 公司希望估计某一个月内由于事故引起的工时损失。因工人、技术人员及行政管 理人员的事故率不同,因而采用分层抽样。已知下列资料 工人 技术人员 行政管理人员 N1=132 S12=36 若样本量n=30,试用你乃曼分配确定各层的样本量 4.2上题中若实际调查了18个工人,10个技术人员,2个行政人员,其中损失的工时数 如下: 技术人员 行政管理人员 8,24,0,0,16,32 5,0,24,8,12,3,2,1,8 6,0,16,7,4,4,9,5,1,8 试估计总的工时损失数并给出它的置信度为95%的置信区间 4.9在估计比例问题时: (1)假设P=0.5,W=W2=0.5,则P1和P为何值时可以使按比例分配的分层抽样精度可以得 益20%(即H(pmp)/(pn)=0.8) (2)若P=4%,其中W1=0.05,P=45%;W2=0.2,P2=5%;W2=0.75,P3=1%.则采用按比例分 配的分层抽样比简单随机抽样精度得益有多大? 4.10调查某个地区的养牛头数,以村作为抽样单元。根据村的海拔高度和人口密度划分成 四层,每层取10个村作为样本单元,经过调查获得下列数据 层村总数 样本村养牛头数 678910 438498010440124130 1234 4705 5014762878415817010456160 2558 228262110232139178334063220 14997 173425343602571531 要求: (1)估计该地区养牛总头数Y及其估计量的相对标准误差s()/P (2)讨论分层抽样与不分层抽样比较效率有否提高。 (3)若样本量不变采用乃曼分配可以减少方差多少? 4.11用下面的工厂分组资料 按工人人数分组 工厂数目 手工厂产值(万元) 标准差
中抽取的一个简单随机样本。 3.14 简单随机抽样在抽样技术中的地位； 3.15 简单随机抽样中样本量确定的原则及主要考虑因素； 3.16 总体方差的预先确定思路。 分层抽样 4.1 一公司希望估计某一个月内由于事故引起的工时损失。因工人、技术人员及行政管 理人员的事故率不同，因而采用分层抽样。已知下列资料： 工人 技术人员 行政管理人员 N1=132 N2=92 N3=27 S12=36 S22=25 S32=9 若样本量 n=30，试用你乃曼分配确定各层的样本量。 4.2 上题中若实际调查了 18 个工人，10 个技术人员，2 个行政人员，其中损失的工时数 如下： 工人 技术人员 行政管理人员 8，24，0，0，16，32， 6，0，16，7，4，4，9，5， 8，18，2，0 4，5，0，24，8，12，3，2， 1，8 1，8 试估计总的工时损失数并给出它的置信度为 95%的置信区间。 4.9 在估计比例问题时： （1） 假设P=0.5,W1=W2=0.5,则P1和P2为何值时可以使按比例分配的分层抽样精度可以得 益 20%（即 ( ) ( ) V pprop V psrs =0.8） （2） 若 P=4%，其中 W1=0.05，P1=45%；W2=0.2，P2=5%; W3=0.75, P3=1%.则采用按比例分 配的分层抽样比简单随机抽样精度得益有多大？ 4.10 调查某个地区的养牛头数，以村作为抽样单元。根据村的海拔高度和人口密度划分成 四层，每层取 10 个村作为样本单元，经过调查获得下列数据 层 村总数 样本村养牛头数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 1411 4705 2558 14997 43 84 98 0 10 44 0 124 13 0 50 147 62 87 84 158 170 104 56 160 228 262 110 232 139 178 334 0 63 220 17 34 25 34 36 0 25 7 15 31 要求： （1） 估计该地区养牛总头数 Y 及其估计量的相对标准误差 s Y Y ˆ ) ˆ ( （2） 讨论分层抽样与不分层抽样比较效率有否提高。 （3） 若样本量不变采用乃曼分配可以减少方差多少？ 4.11 用下面的工厂分组资料 按工人人数分组 工厂数目 每工厂产值（万元） 标准差
18260 50-99 4315 250 00-249 1760 1000人以上 567 2250 2500 若欲抽取3000个工厂作样本来估计产值,试比较下列各种分配的效率: (1)按工厂数多少分配样本 (2)按最优(奈曼)分配 4.12一个样本为1000的简单随机样本,其结果可分为三层,相应的 y2=10.2,12.6,17.1,S2=10.82(各层相同),s2=17.66,估计的层权是wn=0.5,0.3,0.2, 已知这些权数有误差,但误差在5%以内,最不好的情况是W=0.525,0.285,0.190或 W=0.475,0.315,0.210,你认为是否需要分层? 413设费用函数具有形式C1=c0+ m,其中C2,cn(h=1,…L均为已知数 试证明当总的费用固定时,为了使(,)达到最小,n必与(9)°成比例。 4.14假设总体包含大小相等的L个层,且N相对于L和n来说很大。I表示简单随机样 本均值的方差,V表示按比例分配的分层随机抽样时的相应方差。试证明下列两式近似 成立: (1)mnon=S2+∑(-Y) (2)n 其中S表示层内的平均方差,即2=1s2 4.15怎样分层能提高精度? 4.16总样本量在各层间分配的方法有哪些? 4.17分层的原则及其意义 比估计与回归估计 5.1对以下假设总体(N=6) U3 U
1—49 50—99 100—249 250—999 1000 人以上 18260 4315 2233 1057 567 100 250 500 1760 2250 80 200 600 1900 2500 若欲抽取 3000 个工厂作样本来估计产值，试比较下列各种分配的效率： （1） 按工厂数多少分配样本； （2） 按最优（奈曼）分配。 4.12 一 个 样 本 为 1000 的 简 单 随 机 样 本 ， 其 结 果 可 分 为 三 层 ， 相 应 的 2 y =10.2,12.6,17.1, 2 h s =10.82(各层相同)， 2 s =17.66，估计的层权是 wh =0.5,0.3,0.2, 已知这些权数有误差，但误差在 5%以内，最不好的情况是 Wh =0.525，0.285，0.190 或 Wh =0.475，0.315，0.210，你认为是否需要分层？ 4.13 设费用函数具有形式 = = + L h T h nh C c c 1 0 ,其中 0 c ， h c （h=1,…,L）均为已知数。 试证明当总的费用固定时，为了使 ( ) st V y 达到最小， h n 必与 2 3 2 2 ( ) h h h c W S 成比例。 4.14 假设总体包含大小相等的 L 个层，且 N 相对于 L 和 n 来说很大。 Vran 表示简单随机样 本均值的方差， Vprop 表示按比例分配的分层随机抽样时的相应方差。试证明下列两式近似 成立： （1） = = + − L h ran h Yh Y L nV S 1 2 2 ( ) 1 （2） 2 nVprop = Sh 其中 2 h S 表示层内的平均方差，即 = = L h h Sh L S 1 2 1 2 4.15 怎样分层能提高精度？ 4.16 总样本量在各层间分配的方法有哪些？ 4.17 分层的原则及其意义。 比估计与回归估计 5.1 对以下假设总体（N=6） U1 U2 U3 U 4 U5 U6 Xi Yi 0 1 3 5 8 10 1 3 11 18 29 46