第十二章全等三角形 121全等三角形 122三角形全等的判定 专题一三角形全等的判定 1.如图,BD是平行四边形ABCD的对角线,∠ABD的平分线BE交AD于点E,∠CDB 的平分线DF交BC于点F 求证:△ABE≌△CDF 2.如图,在△ABC中,D是BC边上的点(不与B,C重合),F,E分别是AD及其延长线 上的点,CF∥BE.请你添加一个条件,使△BDE≌△CDF(不再添加其他线段,不再标注或 使用其他字母),并给出证明 (1)你添加的条件是 (2)证明: 3.如图,△ABC中,点D在BC上,点E在AB上,BD=BE,要使△ADB≌△CEB,还 需添加一个条件 (1)给出下列四个条件 ①AD=CE ②AE=CD ③∠BAC=∠BCA ④∠ADB=∠CEB; 请你从中选出一个能使△ADB≌△CEB的条件,并给出证明 (2)在(1)中所给出的条件中,能使△ADB≌△CEB的还有哪些?直接在题后横线上 写出满足题意的条件序号
1 第十二章 全等三角形 12.1 全等三角形 12.2 三角形全等的判定 专题一 三角形全等的判定 1．如图，BD 是平行四边形 ABCD 的对角线，∠ABD 的平分线 BE 交 AD 于点 E，∠CDB 的平分线 DF 交 BC 于点 F． 求证：△ABE≌△CDF． 2．如图，在△ABC 中，D 是 BC 边上的点（不与 B，C 重合），F，E 分别是 AD 及其延长线 上的点，CF∥BE. 请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF (不再添加其他线段，不再标注或 使用其他字母)，并给出证明． （1）你添加的条件是：__________； （2）证明： 3．如图，△ABC 中，点 D 在 BC 上，点 E 在 AB 上，BD=BE，要使△ADB≌△CEB，还 需添加一个条件． （1）给出下列四个条件： ①AD=CE； ②AE=CD； ③∠BAC=∠BCA； ④∠ADB=∠CEB； 请你从中选出一个能使△ADB≌△CEB 的条件，并给出证明； （2）在（1）中所给出的条件中，能使△ADB≌△CEB 的还有哪些？直接在题后横线上 写出满足题意的条件序号．__________________．
专题二全等三角形的判定与性质 4.如图,已知△ABC中,∠ABC=45°,AC=4,H是高AD和BE的交点,则线段BH的长 度为( B √6 √3D 5.【2013襄阳】如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,将△ADC绕点A顺时针 旋转,使AC与AB重合,点D落在点E处,AE的延长线交CB的延长线于点M,EB的延 长线交AD的延长线于点N 求证:AM=AN 6.【2012泸州】如图,△ABC是等边三角形,D是AB边上一点,以CD为边作等边三角形 CDE,使点E、A在直线DC的同侧,连接AE.求证:AE∥BC
2 专题二 全等三角形的判定与性质 4．如图，已知△ABC 中，∠ABC=45°，AC=4，H 是高 AD 和 BE 的交点，则线段 BH 的长 度为（ ） A． 6 B．4 C． 2 3 D．5 5．【2013·襄阳】如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点 D，将△ADC 绕点 A 顺时针 旋转，使 AC 与 AB 重合，点 D 落在点 E 处，AE 的延长线交 CB 的延长线于点 M，EB 的延 长线交 AD 的延长线于点 N. 求证：AM＝AN. N M E B D C A 6．【2012·泸州】如图，△ABC 是等边三角形，D 是 AB 边上一点，以 CD 为边作等边三角形 CDE，使点 E、A 在直线 DC 的同侧，连接 AE．求证：AE∥BC．
专题三全等三角形在实际生活中的应用 7.如图,有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上.已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平 方向的长度DF相等,则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是() C.120° D.150° 8.有一座小山,现要在小山A、B的两端开一条隧道,施工队要知道A、B两端的距离 于是先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连接AC并延长到D,使CD=CA,连 接BC并延长到E,使CE=CB,连接DE,那么量出DE的长,就是A、B两端的距离,你 能说说其中的道理吗? 9.已知如图,要测量水池的宽AB,可过点A作直线AC⊥AB,再由点C观测,在BA延 长线上找一点B,使∠ACB=∠ACB,这时只要量出AB的长,就知道AB的长,对吗?为 什么?
3 专题三 全等三角形在实际生活中的应用 7．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平 方向的长度 DF 相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC 与∠DFE 的度数和是（ ） A．60° B．90° C．120° D．150° 8．有一座小山，现要在小山 A、B 的两端开一条隧道，施工队要知道 A、B 两端的距离， 于是先在平地上取一个可以直接到达 A 和 B 的点 C，连接 AC 并延长到 D，使 CD=CA，连 接 BC 并延长到 E，使 CE=CB，连接 DE，那么量出 DE 的长，就是 A、B 两端的距离，你 能说说其中的道理吗？ 9．已知如图，要测量水池的宽 AB，可过点 A 作直线 AC⊥AB，再由点 C 观测，在 BA 延 长线上找一点 B′，使∠ACB′=∠ACB，这时只要量出 AB′的长，就知道 AB 的长，对吗？为 什么？
状元笔记 【知识要点】 1.全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 2.全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等 3.三角形全等的判定方法 (1)三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或"SSS”) (2)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS") (3)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或"ASA") (4)两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或"AAS") 4.直角三角形全等的判定方法 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或"HL") 【温馨提示】 1.两个三角形全等的条件中必须有一条边分别相等,只有角分别相等不能证明两个三角形 全等 2.有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 3."HL"定理指的是斜边和一条直角边分别相等,而不是斜边和直角分别相等 【方法技巧】 1.应用全等三角形性质解决问题的前提是准确地确定全等三角形的对应边和对应角,其规 律主要有以下几点 (1)以对应顶点为顶点的角是对应角 (2)对应顶点所对应的边是对应边 (3)公共边(角)是对应边(角 (4)对顶角是对应角 (5)最大边(角)是对应边(角),最小边(角)是对应边(角 全等三角形的对应边和对应角可以依据字母的对应位置来确定,如若△ABC≌△DEF, 说明A与D,B与E,C与F是对应点,则∠ABC与∠DEF是对应角,边AC与边DF 是对应边 2.判定两个三角形全等的解题思路 已知两边找夹角 SAS 找另一边——SSS 边为角的对边一一找任一角——AAS 已知一边一角 找夹角的另一边——SAS 边为角的邻边找夹边的另一角一ASA 找边的对角一AAS 已知两角找夹边 -ASA 找任一边一—AAS
4 状元笔记 【知识要点】 1．全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 2．全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 3．三角形全等的判定方法 (1)三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)． (2)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)． (3)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)． (4)两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)． 4．直角三角形全等的判定方法 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”)． 【温馨提示】 1．两个三角形全等的条件中必须有一条边分别相等，只有角分别相等不能证明两个三角形 全等． 2．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 3．“HL”定理指的是斜边和一条直角边分别相等，而不是斜边和直角分别相等． 【方法技巧】 1．应用全等三角形性质解决问题的前提是准确地确定全等三角形的对应边和对应角，其规 律主要有以下几点： （1）以对应顶点为顶点的角是对应角； （2）对应顶点所对应的边是对应边； （3）公共边（角）是对应边（角）； （4）对顶角是对应角； （5）最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）． 全等三角形的对应边和对应角可以依据字母的对应位置来确定，如若△ABC≌△DEF， 说明 A 与 D，B 与 E， C 与 F 是对应点，则∠ABC 与∠DEF 是对应角，边 AC 与边 DF 是对应边． 2．判定两个三角形全等的解题思路： SAS SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS 找夹角—— 已知两边 找另一边—— 边为角的对边——找任一角—— 找夹角的另一边—— 已知一边一角 边为角的邻边 找夹边的另一角—— 找边的对角—— 找夹边—— 已知两角 找任一边——
参考答案: 1.证明:平行四边形ABCD中,AB=CD,∠A=∠C,AB∥CD ∠ABD=∠CDB ∠ABE=1∠ABD.∠CDF=1 2<CDB.∴∠ABE=∠CDF 在△ABE与△CDF中, ∠A=∠C ∠ABE=∠CDF △ABE≌△CDF 2.解:(1)BD=DC(或点D是线段BC的中点),FD=ED,CF=BE中任选一个即可 (2)以BD=DC为例进行证明 ∥BE, ∠FCD=∠EBD ∠FDC=∠EDB △BDE≌△CDF 3.解:(1)添加条件②,③,④中任一个即可,以添加②为例说明 证明:∵AE=CD,BE=BD, ∴AB=CB 又∠ABD=∠CBE,BE=BD ∴△ADB≌△CEB (2)③④ 4.B解析:∵∠ABC=45°,AD⊥BC,∴AD=BD,∠ADC=∠BDH, ∠AHE=∠BHD=∠C.∴△ADC≌△BDH.∴BH=AC=4.故选B 5.证明:如图所示 4 √5 △AEB由△ADC旋转而得 △AEB≌△ADC ∠3=∠1.∠6=∠C AB=AC,AD⊥BC ∠2=∠1.∠7=∠C ∠3=∠2.∠6=∠7
5 参考答案: 1．证明：平行四边形 ABCD 中，AB=CD，∠A=∠C，AB∥CD， ∴∠ABD=∠CDB． ∵∠ABE= 2 1 ∠ABD，∠CDF= 2 1 ∠CDB，∴∠ABE=∠CDF． 在△ABE 与△CDF 中， = = = ABE CDF AB CD A C ∴△ABE≌△CDF． 2．解：（1） BD = DC (或点 D 是线段 BC 的中点)， FD = ED，CF = BE 中任选一个即可﹒ （2）以 BD = DC 为例进行证明： ∵CF∥BE， ∴∠FCD﹦∠EBD． 又∵ BD = DC ，∠FDC=∠EDB， ∴△BDE≌△CDF． 3．解：（1）添加条件②，③，④中任一个即可，以添加②为例说明． 证明：∵AE=CD，BE=BD， ∴AB=CB． 又∠ABD=∠CBE，BE=BD， ∴△ADB≌△CEB． （2）③④． 4．B 解析：∵∠ABC=45°，AD⊥BC，∴AD=BD，∠ADC=∠BDH， ∠AHE=∠BHD=∠C．∴△ADC≌△BDH．∴BH=AC=4．故选 B． 5．证明：如图所示， 7 6 5 4 3 2 1 N M E B D C A ∵△AEB 由△ADC 旋转而得， ∴△AEB≌△ADC. ∴∠3＝∠1，∠6＝∠C． ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠2＝∠1，∠7＝∠C. ∴∠3＝∠2，∠6＝∠7．