向量与矩阵 ·d维列向量x及其转置x'orxT: X1 X2 X三 ,x=x'=(x1,x2,…,xd We denote the j-th column of A by ay or 4.,j,a为列向量。 A=a1,a2,…,an We denote the i-th row of A by ait or A,,aiI为行向量。 a2 A= 5/81
向量与矩阵 ▶ d 维列向量 x 及其转置 x ′ or x T : x = x1 x2 . . . xd , x T = x ′ = (x1, x2, · · · , xd) ▶ We denote the j-th column of A by aj or A:, j， aj 为列向量。 A = [a1, a2, · · · , an] . ▶ We denote the i-th row of A by ai T or Ai, : , ai T 为行向量。 A = a1 T a2 T . . . am T 5 / 81
2.1.2.矩阵乘法 设A∈Rmxm,B∈RmxP, C=AB∈RmxP, where Cy=∑aabg k=1 给定x,y∈R,x'y称为内积(inner product or dot product), xyeR=∑x i1 ·给定x∈Rm,y∈R,xyI称为外积(outer product), XIV1 xy2· X1yn X2y1X2y2·· XyT∈Rmx"= X2yn Xm1Xm2· Xmyn 6/81
2.1.2. 矩阵乘法 ▶ 设 A ∈ R m×n , B ∈ R n×p , C = AB ∈ R m×p , where Cij = Xn k=1 aikbkj ▶ 给定 x, y ∈ R n , x Ty 称为内积(inner product or dot product), x T y ∈ R = Xn i=1 xiyi . ▶ 给定 x ∈ R m , y ∈ R n , xyT 称为外积(outer product). xyT ∈ R m×n = x1y1 x1y2 · · · x1yn x2y1 x2y2 · · · x2yn . . . . . . . . . . . . xmy1 xmy2 · · · xmyn 6 / 81
给定矩阵A∈Rmxm和向量x∈R",y=Ax∈Rm,可以 从两个视角来看这个乘法。 ①将y看成是A行向量与列向量x的内积（单个向量 形式) a y= X= 2将y看成是A列向量的线性组合（多个向量相加形式） X1 X2 y=a1,a2,·,an =a1x1+a2x2+…·+anxm- Xn 7/81
▶ 给定矩阵 A ∈ R m×n 和向量 x ∈ R n , y = Ax ∈ R m , 可以 从两个视角来看这个乘法。 1 将 y 看成是 A 行向量与列向量 x 的内积(单个向量 形式) y = a1 T a2 T . . . am T x = a1 Tx a2 Tx . . . am Tx 2 将 y 看成是 A 列向量的线性组合(多个向量相加形式) y = [a1, a2, · · · , an] x1 x2 . . . xn = a1x1 + a2x2 + · · · + anxn. 7 / 81
同理，左乘行向量，yT=xTA∈R”,A∈Rmx”,X∈Rm,有两 种方式表达。 ①x与A的列向量的内积（单个向量形式） y=x[a1,a2,…,al=[x'a1,xa2,…,xan] 2或者A的行向量的线性组合（多个向量相加形式） a17 y=x1,x2,…,m =x1a1+x2a2+·+xmam 8/81
▶ 同理，左乘行向量, y T = x TA ∈ R n , A ∈ R m×n , x ∈ R m , 有两 种方式表达。 1 x T 与 A 的列向量的内积 (单个向量形式) y T = x T [a1, a2, · · · , an] = x T a1, x T a2, · · · , x T an 2 或者 A 的行向量的线性组合 (多个向量相加形式) y T = [x1, x2, · · · , xm] a1 T a2 T . . . am T = x1a1 T+x2a2 T+· · ·+xmam T 8 / 81
类似，C=AB,有内积、外积，行、列组合等表达形式。 ①内积（单个矩阵形式） a1Tbi aTb2 a1bp a2b1 a2b2 a2 bp C= [b1,b2,…,bnl= …amTbp 2外积（多个矩阵相加形式） b: C=[a,a2,…,an i=1 9/81
▶ 类似，C = AB, 有内积、外积，行、列组合等表达形式。 1 内积 (单个矩阵形式) C = a1 T a2 T . . . am T [b1, b2, · · · , bp] = a1 Tb1 a1 Tb2 · · · a1 Tbp a2 Tb1 a2 Tb2 · · · a2 Tbp . . . . . . . . . . . . am Tb1 am Tb2 · · · am Tbp 2 外积 (多个矩阵相加形式) C = [a1, a2, · · · , an] b1 T b2 T . . . bn T = Xn i=1 aibi T . 9 / 81