根椐格林公式 ∫ax,(x,)h=Px,/(x 即 P aP ∫-。,bd=Px,y,/(x,y)h ∑ Z O 平面有向曲线 庄k=①么b=手PxpM, 空间有向曲线 上页
= − c D P x y f x y dxdy P x y f x y dx y x y [ , , ( , )] [ , , ( , )] dxdy P x y f x y dx y P dzdx z P c = − 即 [ , , ( , )] 根椐格林公式 平面有向曲线 2 dxdy P(x, y,z)dx, y P dzdx z P = − 空间有向曲线
上同理可证 00 ∫mad-dh=x,y az OR OR dydz-o dzdx=R(x, y, z)dz, ax ∑ OR dQ OP OR )dydz )aid + a0 aP )dd小y ax ox a ∑ ay az xo1 Px+Q小y+Rd.故有结论成立 上页
dydz Q(x, y,z)dy, z Q dxdy x Q = − 同理可证 dzdx R(x, y,z)dz, x R dydz y R = − dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ( ) ( ) ( ) − + − + − = Pdx + Qdy + Rdz.. 故有结论成立
便于记忆形式 dydz dzdx dxa小 a 0aR 「Pdx+Qd+Rtz ∑ P Q 另一种形式 cosa cos B cosr aa 0 2/C x ay az =nPx+小y+Rz R 其中n={c0sa,c0B,c0sy} 上页
= + + Pdx Qdy Rdz P Q R x y z dydz dzdx dxdy = + + ds Pdx Qdy Rdz P Q R x y z cos cos cos 另一种形式 n = {cos,cos ,cos } 其中 便于记忆形式
Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系 王(当是xm面的平面闭区域时) 斯托克斯公式 特殊情形 格林公式 上页
Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系. 斯托克斯公式 特殊情形 格林公式 (当Σ是xoy面的平面闭区域时)
生二、简单的应用 例1计算曲线积分+xc+yt, 王其中是平面x+y+2=1被三坐标面所截成的 三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧 牛的法向量之间符合右手规则 解按斯托克斯公式,有 n 庄za trdv+ ddz dydz dzdx dxdy 上页
例 1 计算曲线积分 zdx + xdy + ydz , 其 中 是平面x + y + z = 1被三坐标面所截成的 三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧 的法向量之间符合右手规则. 二、简单的应用 0 Dxy x y z n 1 1 1 解 按斯托克斯公式, 有 zdx xdy ydz + + = dydz + dzdx + dxdy