D0I:10.13374/i.issnl00It03.2009.11.048 第31卷第11期 北京科技大学学报 Vol.31 No.11 2009年11月 Journal of University of Science and Technology Beijing Now.2009 多个执行机构的系数无界Lurie系统和Lurie大系统 的绝对稳定性 廖福成李安贵 孙凤彬 北京科技大学应用科学学院，北京100083 摘要研究了多个执行机构的系数无界L间接控制系统零解的绝对稳定性.首先，把研究对象看作大系统，利用大系统 分解技术，把系统分解为一些孤立子系统，通过子系统的Lyapunov函数构造出Lrie间接控制系统的Lyapunov函数，进而得 到系统绝对稳定性的多个判别准则.这些判别准则既适用于多个执行机构的系数无界L间接控制系统，又适用于系数有 界的这类系统，还适用于常系数的这类系统：同时，将有关结果成功推广应用于多个执行机构的系数无界Le间接控制大系 统 关键词大系统：Lurie控制系统；绝对稳定性；Lyapunov方法 分类号TP273;0231 Absolute stability of Lurie systems and Lurie large-scale systems with multiple op- erators and unbounded coefficients LIAO Fu-cheng,LI An-gui,SUN Feng"bin School of Applied Science.University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083.China ABSTRACT The absolute stability of multi-functional Lurie indirect control systems with multiple operators and unbounded coeffi- cients was studied.The systems were regarded as large-scale systems.Based on the decomposition technique,the considered systems were partitioned into some isolated subsystems.By making use of the Lyapunov functions of subsystems,the Lyapunov function of Lurie indirect control systems was constructed,and some stability criteria of Lurie indirect control systems were contained.The re- sults were also extended into large"scale indirect control Lurie systems with multiple operators and unbounded coefficients. KEY WORDS large"scale system:Lurie control system:absolute stability:Lyapunov method 作为一类非常重要的非线性系统，Lurie控制系 是非常有效的1].文献[17一18]把这种方法应用到 统一直受到学术界的关注，从1944年由Lurie和了一个执行机构的系数无界Luie系统.本文把这 Postnikov提出Lurie控制系统开始，人们就对它的 种方法应用到多个执行机构的系数无界Luie系 绝对稳定性持续地进行着研究，并已得到了许多有 统，给出若干个非常简便的绝对稳定性判别准则， 价值的结果-].其中，有许多文献对Lurie控制系 沿用文献[1一18]的符号规则，用入(A)表示矩阵A 统进行了推广，提出并研究了Lrie大系统9-o]、 的特征值：对向量x=（x1,x2,…,xm)T与y=(y1, Lurie不确定系统和Lurie时滞系统等1-. y2,…,ym),用x≤y表示x≤y:(i=1,2,3,…, 然而，这些文献都只讨论了系数为有界函数时的 m):对向量x=(x1,x2,…,xm),用‖x‖表示x Lrie系统，廖福成曾提出了一种研究系数无界大 系统零解的绝对稳定性方法；该方法仍然是 的Euclid范数，即‖x‖= ：对矩阵A, =1 Lyapunov函数法，对研究系数无界的Lurie系统也 ‖A‖表示由向量的Euclid范数导出的矩阵范数， 收稿日期：2009-02-03 基金项目：国家自然科学基金资助项目(N。.10671011):北京科技大学治金研究基金资助项目(N。.2009-002) 作者简介：廖福成(1957一)，男，教授，博士生导师，博士，E-mail:fcliao(@sas.ustb-ed~cnm
多个执行机构的系数无界 Lurie 系统和 Lurie 大系统 的绝对稳定性 廖福成 李安贵 孙凤彬 北京科技大学应用科学学院北京100083 摘 要 研究了多个执行机构的系数无界 Lurie 间接控制系统零解的绝对稳定性．首先把研究对象看作大系统利用大系统 分解技术把系统分解为一些孤立子系统通过子系统的 Lyapunov 函数构造出 Lurie 间接控制系统的 Lyapunov 函数进而得 到系统绝对稳定性的多个判别准则．这些判别准则既适用于多个执行机构的系数无界 Lurie 间接控制系统又适用于系数有 界的这类系统还适用于常系数的这类系统．同时将有关结果成功推广应用于多个执行机构的系数无界 Lurie 间接控制大系 统． 关键词 大系统；Lurie 控制系统；绝对稳定性；Lyapunov 方法 分类号 TP273；O231 Absolute stability of Lurie systems and Lurie large-scale systems with multiple operators and unbounded coefficients LIA O Fu-chengLI A n-guiSUN Feng-bin School of Applied ScienceUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China ABSTRACT T he absolute stability of mult-i functional Lurie indirect control systems with multiple operators and unbounded coefficients was studied．T he systems were regarded as large-scale systems．Based on the decomposition techniquethe considered systems were partitioned into some isolated subsystems．By making use of the Lyapunov functions of subsystemsthe Lyapunov function of Lurie indirect control systems was constructedand some stability criteria of Lurie indirect control systems were contained．T he results were also extended into large-scale indirect control Lurie systems with multiple operators and unbounded coefficients． KEY WORDS large-scale system；Lurie control system；absolute stability；Lyapunov method 收稿日期：2009－02－03 基金项目：国家自然科学基金资助项目（No．10671011）；北京科技大学冶金研究基金资助项目（No．2009－002） 作者简介：廖福成（1957－）男教授博士生导师博士E-mail：fcliao＠sas．ustb．edu．cn 作为一类非常重要的非线性系统Lurie 控制系 统一直受到学术界的关注．从1944年由 Lurie 和 Postnikov 提出 Lurie 控制系统开始人们就对它的 绝对稳定性持续地进行着研究并已得到了许多有 价值的结果［1－8］．其中有许多文献对 Lurie 控制系 统进行了推广提出并研究了 Lurie 大系统［9－10］、 Lurie 不确定系统［11－13］ 和 Lurie 时滞系统等［14－15］． 然而这些文献都只讨论了系数为有界函数时的 Lurie 系统．廖福成曾提出了一种研究系数无界大 系统 零 解 的 绝 对 稳 定 性 方 法；该 方 法 仍 然 是 Lyapunov函数法对研究系数无界的 Lurie 系统也 是非常有效的［16］．文献［17－18］把这种方法应用到 了一个执行机构的系数无界 Lurie 系统．本文把这 种方法应用到多个执行机构的系数无界 Lurie 系 统给出若干个非常简便的绝对稳定性判别准则． 沿用文献［16－18］的符号规则用 λ（ A）表示矩阵 A 的特征值；对向量 x＝（ x1x2…xm） T 与 y＝（ y1 y2…ym） T用 x≤ y 表示 xi≤ yi （ i＝123… m）；对向量 x＝（ x1x2…xm ） T用‖ x‖表示 x 的 Euclid 范数即‖ x‖＝ ∑ n i＝1 x 2 i ；对矩阵 A ‖ A‖表示由向量的 Euclid 范数导出的矩阵范数 第31卷 第11期 2009年 11月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．31No．11 Nov．2009 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2009．11．048
第11期 摩福成：多个执行机构的系数无界Luie系统和Lurie大系统的绝对稳定性 ,1473 即‖A‖=巴码，‖AxI,易证‖A‖= 6:=-Pf:(),=1,2,…,m (3) N入r(ATA) 对孤立子系统(2)，作Lyapunov函数 1主要定理及其证明 Vo=x'Px (4) 由于P正定对称，所以Vo是R”中的正定二次型. 考虑具有多个执行机构的Lrie间接控制系 统5 注意V0还有无穷小上界和无限大性质，另外还有 iolg=x[AT(t)P+PA(t)]x≤-a(t)‖xI2, x=A(t)x十2b(t)f(g) =1 =1,2,,m 由于lim(t)=十o,所以存在t1>t使得t≥h ai=c(t)x-0(t)fi() 时有(t)>l,从而t≥t1时有 (1) vol2≤-‖x‖2， 式中，x∈R;b:(t)∈R;c:(t)∈R"(i=1,2,, 所以孤立子系统（②）的零解是全局渐近稳定的 m);A(t)是nXn矩阵函数；在(t,十o)上连续，这 对(3)中的第i(=1,2,…,m)个孤立子系统， 里(R或=-∞；f()(i=1,2,…,m)为连续 作Lyapunov函数 函数，满足f:(0)=0、:≠0时f:(:)>0;(t)≥ >0(i=1,2,…,m) =()=(oa (5) 士∞ 附注1本文假设。f(o)do=+∞(=1， 由于f:(:)的性质，V:亦是正定的，而且，从对f: 的假设知V:有无穷小上界和无限大性质.由于 2,m),于是函数重()=0f()dc满足：① 重，(0)=0：②≠0时④()>0：③1m重(o)= lg=f( 十°，即Φ（σ）是正定函数，有无限大性质，且有无 -(t)f()≤-Pfi(), 穷小上界[5,1] 同样，从f()的性质，V:(3是负定的.所以(3)中 附注2在以上假设下，系统(1)只有一个平衡 点(x…m)T=0. 的每个孤立子系统的零解也是全局渐近稳定的· (2)求V:(=0,1,…,m)关于系统(1)的轨线 如果对任何满足上述条件的f:(:)(=1,2, 的全导数并估计其大小. …,m),系统(1)的零解都是全局渐近稳定的，则称 系统(1)是绝对稳定的， Vola)=x"[AT()P+PA(t)]x+ 假设I设存在正定对称常数矩阵P,使得 X[AT()P+PA()]-6(t)<0 22rp%(eK4c 式中，8(t)>0(Ht∈(t,十oo),设limò(t)= 十∞； -ox+2空1m(oI1x= 假设Ⅱ 2b(≤KJ8080 ‖c()L≤ ()xlI-()llx+ (t)(t) M:. 式中，K:和M:(=1,2,…,m)为常数 会胎a≤ 注意：假设I体现了系数无界的特点；假设Ⅱ相 (c)lxl-J()lx‖+ 当于说，关联项比主对角线上的“元素”要小. 定理1在假设I,假设Ⅱ下，如果之KM< K:(ol()] (6) =1 1成立，则Lurie间接控制系统(l)是绝对稳定的， 对V:(=1,2,,m),有 证明(l)构造孤立子系统的Lyapunov函数. 先考虑孤立子系统 ,lw=fi品l = x=A(t)x (2) f()[c(t)x-(t)f:()]≤ 和 ‖c(t)lf()l‖x‖-(t)lf(o)l2≤
即 ‖ A ‖ ＝ max ‖ x‖＝1 ‖ Ax ‖易 证 ‖ A ‖ ＝ λmax（ A T A）． 1 主要定理及其证明 考虑具有多个执行机构的 Lurie 间接控制系 统［5－6］ x ·＝ A（ t） x＋∑ m j＝1 bj（ t） f j（σj） σ · i ＝ c T i （ t） x－ρi（ t） f i（σi） i＝12…m （1） 式中x∈R n；bi（ t）∈R n；ci（ t）∈R n （ i＝12… m）；A（ t）是 n×n 矩阵函数；在（τ＋∞）上连续这 里 τ∈R 或 τ＝－∞；f i（σi）（ i＝12…m）为连续 函数满足 f i（0）＝0、σi≠0时 σif i（σi）＞0；ρi（ t）≥ ρi＞0（ i＝12…m）． 附注1 本文假设∫ ±∞ 0 f i（σ）dσ＝＋∞（ i＝1 2…m）于是函数 Φi（σ）＝∫ σ 0 f i（σ）dσ满足：① Φi（0）＝0；② σ≠0时 Φi（σ）＞0；③ lim ｜σ｜→＋∞ Φi（σ）＝ ＋∞．即 Φi（σ）是正定函数有无限大性质且有无 穷小上界［519］． 附注2 在以上假设下系统（1）只有一个平衡 点（ x T σ1 … σm） T＝0． 如果对任何满足上述条件的 f i （σi）（ i＝12 …m）系统（1）的零解都是全局渐近稳定的则称 系统（1）是绝对稳定的． 假设Ⅰ 设存在正定对称常数矩阵 P使得 λ［ A T （ t） P＋PA（ t）］≤－δ（ t）＜0． 式中δ（ t）＞0（∀t ∈（τ＋∞））设 limt→＋∞ δ（ t）＝ ＋∞； 假设 Ⅱ 2‖Pbi（ t）‖ δ（ t）ρi（ t） ≤ Ki ‖ci（ t）‖ δ（ t）ρi（ t） ≤ Mi． 式中Ki 和 Mi（ i＝12…m）为常数． 注意：假设Ⅰ体现了系数无界的特点；假设Ⅱ相 当于说关联项比主对角线上的“元素”要小． 定理1 在假设Ⅰ、假设Ⅱ下如果 ∑ m i＝1 KiMi＜ 1成立则 Lurie 间接控制系统（1）是绝对稳定的． 证明 （1） 构造孤立子系统的 Lyapunov 函数． 先考虑孤立子系统 x · ＝ A（ t） x （2） 和 σ · i＝－ρif i（σi）i＝12…m （3） 对孤立子系统（2）作 Lyapunov 函数 V0＝x T Px （4） 由于 P 正定对称所以 V0 是 R n 中的正定二次型． 注意 V0 还有无穷小上界和无限大性质．另外还有 V · 0｜（2）＝x T ［ A T （ t） P＋PA（ t）］ x≤－δ（ t）‖x‖2 由于 limt→＋∞ δ（ t）＝＋∞所以存在 t1＞τ使得 t≥ t1 时有 δ（ t）＞1从而 t≥t1 时有 V · 0｜（2）≤－‖x‖2 所以孤立子系统（2）的零解是全局渐近稳定的． 对（3）中的第 i（ i＝12…m）个孤立子系统 作 Lyapunov 函数 V i＝Φi（σi）＝∫ σi 0 f i（σ）dσ （5） 由于 f i（σi）的性质V i 亦是正定的．而且从对 f i 的假设知 Vi 有无穷小上界和无限大性质．由于 V · i｜（3）＝ f i（σi） dσi d t （3） ＝ －ρi（ t） f 2 i（σi）≤－ρif 2 i（σi） 同样从 f i（σi）的性质V · i｜（3）是负定的．所以（3）中 的每个孤立子系统的零解也是全局渐近稳定的． （2） 求 V i（ i＝01…m）关于系统（1）的轨线 的全导数并估计其大小． V · 0｜（1）＝x T ［ A T （ t） P＋PA（ t）］ x＋ 2∑ m i＝1 x T Pbi（ t） f i（σi）≤ －δ（ t）‖x‖2＋2∑ m i＝1 ‖Pbi（ t）‖‖xi‖｜fi（σi）｜＝ δ（ t）‖x‖ － δ（ t）‖x‖＋ ∑ m i＝1 2‖Pb（ t）‖ δ（ t）·ρi（ t） ρi（ t）｜f i（σi）｜ ≤ δ（ t）‖x‖ － δ（ t）‖x‖＋ ∑ m i＝1 Ki ρi（ t）｜f i（σi）｜ （6） 对 V i（ i＝12…m）有 V · i｜（1）＝ f i（σi） dσi d t （1） ＝ f i（σi）［ c T i （ t） x－ρi（ t） f i（σi）］≤ ‖ci（ t）‖｜f i（σi）｜‖x‖－ρi（ t）｜f i（σi）｜2≤ 第11期 廖福成： 多个执行机构的系数无界 Lurie 系统和 Lurie 大系统的绝对稳定性 ·1473·
.1474 北京科技大学学报 第31卷 Lelf(sl8olxl-8(lf(s)1-= J(olf()≤J(lf()l. (t) Ic)c)Wlx‖- [M:(t)‖x‖-e()lf()l门(7) ()If:() 6(t)P:(t) 综合式(6)和(7)得到 Vo (llxl (c)xl 店 ()If1() P(t)If1(o1)l 2 ()If2(02)I D 2(L)1f2(02)1 Vm)(1) (t)I fm(om) m(t)I fm(om)I (8) 其中 一1 K1 K2 Km 件提户KM1 M1 -1 0 … 0 (4)从子系统的Lyapunov函数构造原系统的 D- M2 0 -1 0 (9) Lyapunov函数，并证明定理， 因为 一1 空KM<1,所以D是稳定的：由于 Mm 0 0 一D是M矩阵5,0]，由M矩阵的性质知存在对角 (③)矩阵D性质的讨论 容易求得，矩阵D的特征多项式为 矩阵S=diag(s0,s1,…,sm)(其中s>0,=0,1,2, λ+1-K1-K2 … 一Km 3,m)使D士SD负定[网.设D士SD的最 2 2 -M1 λ+1 0 0 大特征值为一B(注意一B<O),令 IN-DI= -M2 0 0 Vo > Sm 下 一Mm 0 0 λ+1 [(a+1P-空K(a+1)-= 则由二次型的性质及④(o)的性质，V是R+m中 +2+1-空k](a+1)- 的正定函数，有无限大性质，且有无穷小上界，把V 作为系统(l)的Lyapunov函数，则当t≥t1时有 由Routh-Hurwitz定理知，D稳定的充分必要条 l山=(s081… Sm ≤(s0s1…sm) J()‖x‖ J(c)‖x‖ J()lf()I J(t)lfi(a)I ≤ (Ifm() ()Ifm()
‖ci（ t）‖ δ（ t） ｜fi（σi）｜ δ（ t）‖x‖－ρi（ t）｜fi（σi）｜2＝ ρi（ t）｜f i（σi）｜ ‖ci（ t）‖ δ（ t）ρi（ t） δ（ t）‖x‖－ ρi（ t）｜f i（σi）｜ ≤ ρi（ t）｜f i（σi）｜· ［ Mi δ（ t）‖x‖－ ρi（ t）｜f i（σi）｜］ （7） 综合式（6）和（7）得到 V · 0 V · 1 V · 2 V · m （1） ≤ δ（ t）‖ x‖ ρ1（ t）｜f1（σ1）｜ ρ2（ t）｜f2（σ2）｜ ⋱ ρm（ t）｜f m（σm）｜ D δ（ t）‖ x‖ ρ1（ t）｜f1（σ1）｜ ρ2（ t）｜f2（σ2）｜ ρm（ t）｜f m（σm）｜ （8） 其中 D＝ －1 K1 K2 … Km M1 －1 0 … 0 M2 0 －1 … 0 Mm 0 0 … －1 （9） （3） 矩阵 D 性质的讨论． 容易求得矩阵 D 的特征多项式为 ｜λI－ D｜＝ λ＋1 － K1 － K2 … － Km － M1 λ＋1 0 … 0 － M2 0 λ＋1 … 0 － Mm 0 0 … λ＋1 ＝ （λ＋1） 2－ ∑ m i＝1 KiMi （λ＋1） m－1＝ λ2＋2λ＋ 1－ ∑ m i＝1 KiMi （λ＋1） m－1 由 Routh-Hurwitz 定理［5］ 知D 稳定的充分必要条 件是 ∑ m i＝1 KiMi＜1． （4） 从子系统的 Lyapunov 函数构造原系统的 Lyapunov 函数并证明定理． 因为 ∑ m i＝1 KiMi ＜1所以 D 是稳定的．由于 － D 是 M 矩阵［520］由 M 矩阵的性质知存在对角 矩阵 S＝diag（ s0s1…sm）（其中 si＞0i＝012 3…m）使 D T S＋SD 2 负定［20］．设 D T S＋SD 2 的最 大特征值为－β（注意－β＜0）．令 V ＝ ∑ m i＝0 siV i＝（ s0 s1 … sm） V0 V1 V m 则由二次型的性质及 Φi（σi）的性质V 是 R n＋m中 的正定函数有无限大性质且有无穷小上界．把 V 作为系统（1）的 Lyapunov 函数则当 t≥t1 时有 V · ｜（1）＝（ s0 s1 … sm） V · 0 V · 1 V · m （1） ≤（ s0 s1 … sm）· δ（ t）‖x‖ ρ1（ t）｜f1（σ1）｜ ⋱ ρm（ t）｜f m（σm）｜ D δ（ t）‖x‖ ρ1（ t）｜f1（σ1）｜ ρm（ t）｜f m（σm）｜ ≤ ·1474· 北 京 科 技 大 学 学 报 第31卷
第11期 摩福成：多个执行机构的系数无界Luie系统和Luie大系统的绝对稳定性 .1475. (t)Ix‖ ().((sp J(t)f(01) (t)Ifm( (t)‖x‖ -((i)lx‖Ja(t)lf1(o)l…Jp(t)lfm(on)l) J()lf()l ()Ifm() -f8)lr2+空(e)fi( (10) 由于这时还有(t)>1,从而有 成立，则Lurie间接控制大系统(l)是绝对稳定的， la≤-月lx2+空( 证明如果只把K,M:(i=1,2,…,m)看作 (11) 这表明，对于所有满足条件的f:(o:)(i=1,2,…, 两组数，从定理1的证明知，之K,M,<1是(9)式 三1 m),l(是负定的.由Lyapunov关于全局渐近稳 中的矩阵D稳定的充分必要条件，所以在这里的 定的定理知系统(1)绝对稳定.定理1得证 条件成立时D稳定，从而若e>0足够小，矩阵 附注3从定理1的证明可以看出，假设I中 -1 K1十EK2十E…Km十E 的lim(t)=十oo可以减弱为(t)≥a>0(廿t∈ M1+e-1 0 0 D M2十E 0 -1 (t,十o),其中a为常数. 0 定理1的假设Ⅱ还可以减弱到如下的假设Ⅱ'. 2‖Pb() Mm十E 0 0 一1 假设Ⅱ′ im():(t) Kiw 也稳定.取定这样的c,由假设Ⅱ'知存在充分大的 ei(t) i吧(t)P(t) =Mi T(T>t1)使得t>T时， ‖c(t)‖ ≤M:十e, 式中，K:和M:(i=1,2,…,m)为常数 21Pb(0≤K+e.J8(o)0 o(t):(t) 推论1在假设I、假设Ⅱ'下，如果 =1,2,,m 空KM1 重复定理1的(6)(7)式的推导可得到类似(8)式的 不等式，即t>T时， Vo ()ll xll ()x 1 ()If()l (t)Ifi() 2 2(t)If2(2)1 D J()If2(02)1 Vm m(t)I fm(om) m(t)I fm (om) 由于现在D稳定，于是与定理1类似可知大系统 或 (1)绝对稳定.推论1证毕， 推论2在假设I下，如果 ‖c(‖=0，=1,2，…m, p-J()(0 ‖b:(t) im)() =0,i=1,2,…,m, 2Pb()≤K:(有界)，1,2，，m 8(1)(L) 1cL≤M(有界)=1,2，m 成立，则Lurie间接控制大系统(l)是绝对稳定的 J8(t)0:(L)
（ δ（ t）‖x‖ ρ1（ t）｜f1（σ1）｜ … ρm（ t）｜f m（σm）｜） D T S＋SD 2 δ（ t）‖x‖ ρ1（ t）｜f1（σ1）｜ ρm（ t）｜f m（σm）｜ ≤ －β（ δ（ t）‖x‖ ρ1（ t）｜f1（σ1）｜ … ρm（ t）｜f m（σm）｜） δ（ t）‖x‖ ρ1（ t）｜f1（σ1）｜ ρm（ t）｜f m（σm）｜ ＝ －βδ（ t）‖x‖2＋ ∑ m i＝1 ρm（ t） f 2 i（σi） （10） 由于这时还有 δ（ t）＞1从而有 V · ｜（1）≤－β ‖x‖2＋ ∑ m i＝1 ρm f 2 i（σi） （11） 这表明对于所有满足条件的 f i （σi）（ i＝12… m）V · ｜（1）是负定的．由 Lyapunov 关于全局渐近稳 定的定理［6］知系统（1）绝对稳定．定理1得证． 附注3 从定理1的证明可以看出假设Ⅰ中 的 limt→＋∞ δ（ t）＝＋∞可以减弱为 δ（ t）≥ a＞0（∀t∈ （τ＋∞））其中 a 为常数． 定理1的假设Ⅱ还可以减弱到如下的假设Ⅱ′． 假设Ⅱ′ limt→＋∞ 2‖Pbi（ t）‖ δ（ t）ρi（ t） ＝ Ki limt→＋∞ ‖ci（ t）‖ δ（ t）ρi（ t） ＝ Mi． 式中Ki 和 Mi（ i＝12…m）为常数． 推论1 在假设Ⅰ、假设Ⅱ′下如果 ∑ m i＝1 KiMi＜1 成立则 Lurie 间接控制大系统（1）是绝对稳定的． 证明 如果只把 KiMi（ i＝12…m）看作 两组数从定理1的证明知∑ m i＝1 KiMi＜1是（9）式 中的矩阵 D 稳定的充分必要条件．所以在这里的 条件成立时 D 稳定．从而若ε＞0足够小矩阵 D＝ －1 K1＋ε K2＋ε … Km＋ε M1＋ε －1 0 … 0 M2＋ε 0 －1 … 0 Mm＋ε 0 0 … －1 也稳定．取定这样的 ε由假设Ⅱ′知存在充分大的 T（ T＞t1）使得 t＞ T 时 2‖Pbi（ t）‖ δ（ t）ρi（ t） ≤ Ki＋ε ‖ci（ t）‖ δ（ t）ρi（ t） ≤ Mi＋ε i＝12…m． 重复定理1的（6）（7）式的推导可得到类似（8）式的 不等式即 t＞ T 时 V · 0 V · 1 V · 2 V · m （1） ≤ δ（ t）‖ x‖ ρ1（ t）｜f1（σ1）｜ ρ2（ t）｜f2（σ2）｜ ⋱ ρm（ t）｜f m（σm）｜ D δ（ t）‖ x‖ ρ1（ t）｜f1（σ1）｜ ρ2（ t）｜f2（σ2）｜ ρm（ t）｜f m（σm）｜ 由于现在 D 稳定于是与定理1类似可知大系统 （1）绝对稳定．推论1证毕． 推论2 在假设Ⅰ下如果 limt→＋∞ ‖bi（ t）‖ δ（ t）ρi（ t） ＝0i＝12…m ‖ci（ t）‖ δ（ t）ρi（ t） ≤ Mi（有界）i＝12…m 或 limt→＋∞ ‖ci（ t）‖ δ（ t）ρi（ t） ＝0i＝12…m 2‖Pbi（ t）‖ δ（ t）ρi（ t） ≤ Ki（有界）i＝12…m 成立则 Lurie 间接控制大系统（1）是绝对稳定的． 第11期 廖福成： 多个执行机构的系数无界 Lurie 系统和 Lurie 大系统的绝对稳定性 ·1475·
.1476 北京科技大学学报 第31卷 因为空KM,<1,从而推论1的条件 证明 2,…,rij=1,2,…,m)c6(t)∈R4(k=1,2,…, m;j=1,2,,r)是向量函数，在(t,十∞)上连续， 满足，所以推论2成立.推论2证毕 考虑常系数Lurie间接控制系统[5-6] 空=aA(0=1,2是×与矩阵 =Ar+2bf(9) 函数，在(t,十∞)上连续，这里t∈R或t=一∞； =1 i=1,2,…,m(12) 9(t)(k=1,2,…,m)是(t,+∞)上的连续函数； a:=cix-ef:(:) f()(k=1,2,…,m)为连续函数，满足fk(0)= 这时系统的系数不是无界的，但上面的定理仍然正 0、≠0时of(4)>0;9(t)≥9>0(k=1,2, 确.叙述如下 …,m) 假设Ⅲ设存在正定对称常数矩阵P,使得 作如下假设： [ATP+PA]≤-60. (a)存在适当维数的正定对称常数矩阵P1, 式中，0 P2,,P,使得 假设W 2b<K,0, Lc业≤M λ[A(t)P:十PA:(t)]≤-d(t)<0, J8识 =1,2,…,r, 类似于定理1，可以证明： 式中，d:(t)>0(Ht∈(t,+∞)，记(t)= 定理2在假设Ⅲ、假设N下，如果 min(t),o2(t),,d,(t)h,设lim(t)=十oo; KM,<1 =1 (b) 2‖pAL≤L,<+∞， N⊙：(t).©(t) 成立，则常系数Lurie间接控制系统(I2)是绝对稳 Ht∈(t,+∞)，i,j=1,2,…,r,i≠j, 定的， 式中，L为常 假设V2‖Ph:‖≤K,‖lc:‖≤M: 还可以有如下证明， (c) 2‖PbL≤K对 N©(t)e(t) 推论3在假设Ⅲ、假设V下，如果 (i=1,2,…,r,j=1,2,…,m), KM<ò ‖c(t) 10 N⊙(t)(t) ≤M荀 成立，则常系数Luie间接控制系统(12)是绝对稳 (=1,2,…,mj=1,2,…,r） 定的 式中，所有K和M都是常数， 证明由定理2，系统(12)绝对稳定的充分条 令 件是 -1 L12… L1, 空M= KM<1, -1 台J600 L21 …L2 D 就是 La Lr2 -1 KiMi<8. K11 K12 K1m 推论3证毕. K21 K22 K2m 2 多个执行机构的系数无界Luie大系统的 Ki1 Kr2 Krm) 绝对稳定性 M11 M12 M1, 考虑多个执行机构的系数无界Lurie大系统 M21 M22 M2, M- -4o+ bg(e)f(9) =1 Mml Mm2… Mmp e-空(e)x-A(e)f(s) 定理3在假设(a)、(b)和(c)下，如果矩阵 =1 D K =1,2,…,r,k=1,2,…,m (13) D- M-I 式中，x:∈R”(i=1,2,,r);b(t)∈R"(i=1, 稳定，则Lurie间接控制大系统(l3)是绝对稳定的
证明 因为 ∑ m i＝1 KiMi＜1从而推论1的条件 满足．所以推论2成立．推论2证毕． 考虑常系数 Lurie 间接控制系统［5－6］ x ·＝ Ax＋∑ m j＝1 bjf j（σj） σ · i ＝ c T i x－ρif i（σi） i＝12…m （12） 这时系统的系数不是无界的但上面的定理仍然正 确．叙述如下． 假设Ⅲ 设存在正定对称常数矩阵 P使得 λ［ A T P＋PA］≤－δ＜0． 式中δ＞0． 假设Ⅳ 2‖Pbi‖ δρi ≤ Ki ‖ci‖ δρi ≤ Mi． 类似于定理1可以证明： 定理2 在假设Ⅲ、假设Ⅳ下如果 ∑ m i＝1 KiMi＜1 成立则常系数 Lurie 间接控制系统（12）是绝对稳 定的． 假设Ⅴ 2‖Pbi‖≤ Ki‖ci‖≤ Mi． 还可以有如下证明． 推论3 在假设Ⅲ、假设Ⅴ下如果 ∑ m i＝1 KiMi ρi ＜δ 成立则常系数 Lurie 间接控制系统（12）是绝对稳 定的． 证明 由定理2系统（12）绝对稳定的充分条 件是 ∑ m i＝1 KiMi＝ ∑ m i＝1 Ki δρi Mi δρi ＜1 就是 ∑ m i＝1 KiMi ρi ＜δ． 推论3证毕． 2 多个执行机构的系数无界 Lurie 大系统的 绝对稳定性 考虑多个执行机构的系数无界 Lurie 大系统 x · i ＝ ∑ r j＝1 Aij（ t） xj ＋∑ m j＝1 bij（ t） f j（σj） σ · k ＝ ∑ r j＝1 c T kj（ t） xj －ρk（ t） f k（σk） i＝12…rk＝12…m （13） 式中xi∈R n i （ i＝12…r）；bij （ t）∈R n i （ i＝1 2…r；j＝12…m）ckj （ t）∈R n i （ k＝12… m；j＝12…r）是向量函数在（τ＋∞）上连续 ∑ r i＝1 ni＝ n；Aij（ t）（ ij＝12…r）是 ni× nj 矩阵 函数在（τ＋∞）上连续这里 τ∈R 或 τ＝－∞； ρk（ t）（ k＝12…m）是（τ＋∞）上的连续函数； f k（σk）（ k＝12…m）为连续函数满足 f k（0）＝ 0、σk≠0时 σk f k （σk）＞0；ρk （ t）≥ρk＞0（ k＝12 …m）． 作如下假设： （a） 存在适当维数的正定对称常数矩阵 P1 P2…Pr使得 λ［ A T ii（ t） Pi＋PiAii（ t）］≤－δi（ t）＜0 i＝12…r 式中δi （ t ） ＞0（∀t ∈ （τ＋ ∞）记 δ（ t）＝ min｛δ1（ t）δ2（ t）…δr（ t）｝设 limt→＋∞ δ（ t）＝＋∞； （b） 2‖PiAij（ t）‖ δi（ t）·δj（ t） ≤ L ij＜＋∞ ∀t∈（τ＋∞）ij＝12…ri≠ j 式中L ij为常数； （c） 2‖Pibij（ t）‖ δi（ t）ρj（ t） ≤ Kij （ i＝12…rj＝12…m） ‖cij（ t）‖ δj（ t）ρi（ t） ≤ Mij （ i＝12…m；j＝12…r）． 式中所有 Kij和 Mij都是常数． 令 D＝ －1 L12 … L1r L21 －1 … L2r L r1 L r2 … －1 K＝ K11 K12 … K1m K21 K22 … K2m Kr1 Kr2 … Krm M＝ M11 M12 … M1r M21 M22 … M2r Mm1 Mm2 … Mmr ． 定理3 在假设（a）、（b）和（c）下如果矩阵 ＾D＝ D K M － I 稳定则 Lurie 间接控制大系统（13）是绝对稳定的． ·1476· 北 京 科 技 大 学 学 报 第31卷