T t。=ahb-ai 对于薄壁杆件， 所以 相对扭转角 ml 4。=Gb】GBmn 由表得，名，B=号 所以 3ml p。=GDr (2)闭口薄壁圆环的应力和变形 薄壁圆环内的剪应力为 T m =2R1D 相对扭转角 、7 对于薄壁圆环，其极惯性矩 所以 TI 4ml 4-Gi。GD 要点与讨论： 开口薄壁圆环与闭口薄壁圆环比较 最大剪应力 =3D t621 相对扭转角 妾-9 即开口薄壁圆环的剪应力和扭转角#都要比闭口薄壁圆环的大得多，因此在使用上是不利 的
2 2 dt m hb T a = = 对于薄壁杆件， b h ，由表查得， 3 1 = 所以 2 3 Dt m a = 相对扭转角 ( ) 3 3 G dt ml G hb Tl = = 由表得， b h ， 3 1 = 所以 3 3 G Dt ml = （2）闭口薄壁圆环的应力和变形 薄壁圆环内的剪应力为 D t m R t T b 2 2 0 2 2 = = 相对扭转角 p b GI Tl = 对于薄壁圆环，其极惯性矩 2 4 3 2 2 0 D D t I AR Dt p = = 所以 G D t ml GI Tl p b 3 4 = = 要点与讨论： 开口薄壁圆环与闭口薄壁圆环比较： 最大剪应力 t D b a 2 3 = 相对扭转角 2 4 3 = t D b a 即开口薄壁圆环的剪应力和扭转角#都要比闭口薄壁圆环的大得多，因此在使用上是不利 的
例5-1简支梁受力如图a所示。试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。 解：(1)求支座反力 由平衡方程∑mB=0和 ∑m4=0分别求得 (a) R,=1,R,=891 利用平衡方程∑y=0对 所求反力进行校核。 (2)建立剪力方程和弯矩 (b) 方程 以梁的左端为坐标原点， 建立x坐标，如图a所示。 因在C处分布载荷的集度 c) 发生变化，故分二段建立剪力 例5-1图 方程和弯矩方程， AC段： g)-ql-4g0<x≤3 (0sxs) CB段： Q0)-a (sx M,=890-)(sx≤D 3.求控制截面内力，绘Q、M图 Q图：AC段内，剪力方程Q,(x)是x的一次函数，剪力图为斜直线，故求出两个端截面 的剪力值，Q佑-9，Qcx=-89,分别以a,c标在Q-x坐标中，连接a、c的直线即 为该段的剪力图。CB段内，剪力方程为常数，求出其中任一截面的内力值，例如 Q线=-89，连一水平线即为该段剪力图。梁AB的剪力图如图b所示. M图：AC段内，弯矩方程M,(x)是x的二次函数，表明弯矩图为二次曲线，求出两个端 截面的弯矩，M,=0,M。=69,分别以a、c标在M-x坐标中。由剪力图知在d点 处Q=0，该处弯矩取得极值。令剪力方程Q()=0，解得x=,求得 M,侵=28g,以d点标在M-x坐标中。据a、d、c三点绘出该段的弯矩图。CB段内， 弯矩方程M,(x)是x的一次函数，分别求出两个端点的弯矩，以c、b标在M-x坐标中，并
例 5-1 简支梁受力如图 a所示。试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。 解：（1）求支座反力 由平衡方程 mB = 0 和 mA = 0 分别求得 R ql A 8 3 = ， R ql B 8 1 = 利用平衡方程 y = 0 对 所求反力进行校核。 （2）建立剪力方程和弯矩 方程 以梁的左端为坐标原点， 建立 x 坐标，如图 a 所示。 因在 C 处分布载荷的集度 发生变化，故分二段建立剪力 方程和弯矩方程。 AC 段： Q x = ql − qx 8 3 ( ) 1 ) 2 (0 l x 2 1 2 1 8 3 M (x) = qlx − qx ) 2 (0 l x CB 段： Q x ql 8 1 ( ) 2 = − ) 2 ( x l l ( ) 8 1 ( ) 2 M x = ql l − x ) 2 ( x l l 3．求控制截面内力，绘 Q 、 M 图 Q 图：AC 段内，剪力方程 ( ) 1 Q x 是 x 的一次函数，剪力图为斜直线，故求出两个端截面 的剪力值， Q ql A 8 3 右 = ，Q ql C 8 1 左 = − ，分别以 a、c 标在 Q − x 坐标中，连接 a、c 的直线即 为该段的剪力图。CB 段内，剪力方程为常数，求出其中任一截面的内力值，例如 Q ql B 8 1 左 = − ，连一水平线即为该段剪力图。梁 AB 的剪力图如图 b 所示。 M 图：AC段内，弯矩方程 ( ) 1 M x 是 x 的二次函数，表明弯矩图为二次曲线，求出两个端 截面的弯矩， M A = 0， 2 16 1 M ql C = ，分别以 a、c 标在 M − x 坐标中。由剪力图知在 d 点 处 Q = 0 ，该处弯矩取得极值。令剪力方程 Q1 (x) = 0 ， 解 得 x l 8 3 = ，求得 2 1 128 9 ) 8 3 M ( l = ql ，以 d 点标在 M − x 坐标中。据 a、d 、c 三点绘出该段的弯矩图。CB 段内， 弯矩方程 ( ) 2 M x 是 x 的一次函数，分别求出两个端点的弯矩，以 c、b 标在 M − x 坐标中，并
连成直线。AB梁的M图如图c所示。 例5-2梁的受力如图a示，利用微分关系作梁的Q、M图。 P=3kN m■3.6kN·ma=10kN/m (a) pLg 0.6m 70.6m-1.2m R 3 .5m (b)Z⊥ 虹名 (c) 例5-2图 解：(1)求支座反力 由平衡条件∑m=0和∑m4=0分别求出 R=10KN,Rg=5KN 利用平衡条件∑y=0进行校核 (2)分段确定曲线形状 由于载荷在A、D处不连续，应将梁分为三段绘内力图。 平线，弯矩图为斜直线：DB段内，g=常数，且为负值，剪力为斜直线，M图为向上凸的 抛物线。 (3)求控制截面的内力值，绘Q、M图 Q图：Q右=-3KN,Q店=7KN,据此可作出CA和AD两段Q图的水平线。 Q=7KN,Q=-5KN,据此作出DB段Q图的斜直线。 M图：Mc=O,M佐=-l.8KNm,据此可以作出CA段弯矩图的斜直线。A支座的 约束反力R,只会使截面A左右两侧剪力发生突变，不改变两侧的弯矩值，故 M左=M4佑=M4=-1.8KNm,Mo=2.4KNm,据此可作出AD段弯矩图的斜直线。 D处的集中力偶会使D截面左右两侧的弯矩发生突变，故需求出M吨=-12KNm, Ma=0:由DB段的剪力图知在E处Q=O,该处弯矩为极值。因Ra=5KN,根据BE段 的平衡条件∑y=0,知BE段的长度为0.5m,于是求得Me=1.25KNm。根据上述三个 截面的弯矩值可作出DB段的M图
连成直线。AB 梁的 M 图如图 c 所示。 例 5-2 梁的受力如图 a 示，利用微分关系作梁的 Q 、 M 图。 解：（1）求支座反力 由平衡条件 mB = 0 和 mA = 0 分别求出 RA =10KN ， RB = 5KN 利用平衡条件 y = 0 进行校核 （2）分段确定曲线形状 由于载荷在 A、D 处不连续，应将梁分为三段绘内力图。 根据微分关系 q dx dQ = 、 Q dx dM = 和 q dx d M = 2 2 ，CA 和 AD 段内， q = 0 ，剪力图为水 平线，弯矩图为斜直线；DB 段内， q =常数 ，且为负值，剪力 为斜直线， M 图为向上凸的 抛物线。 （3）求控制截面的内力值，绘 Q 、 M 图 Q 图： QC右 = −3KN ， QA右 = 7KN ，据此可作出 CA 和 AD 两段 Q 图的水平线。 QD右 = 7KN，QB左 = −5KN ，据此作出 DB 段 Q 图的斜直线。 M 图： MC = 0， M A左 = −1.8KNm ，据此可以作出CA段弯矩图的斜直线。A支座的 约束反力 RA 只会使截面 A 左右两侧剪力发生突变，不改变两侧的弯矩值，故 M A左 = M A右 = M A = −1.8KNm ， MD左 = 2.4KNm ，据此可作出AD段弯矩图的斜直线。 D 处的集中力偶会使 D 截面左右两侧的弯矩发生突变，故需求出 MD右 = −1.2KNm ， MB = 0 ；由 DB 段的剪力图知在 E 处 Q = 0 ，该处弯矩为极值。因 RB = 5KN ，根据 BE 段 的平衡条件 y = 0 ，知 BE 段的长度为 0.5m，于是求得 ME =1.25KNm 。根据上述三个 截面的弯矩值可作出 DB 段的 M 图
对作出的Q、M图要利用微分关系和突变规律、端点规律作进一步的校核。如DB段内 的均布载荷为负值，该段O图的斜率应为负：CA段的O为负值，该段M图的斜率应为负： AD段的Q为正值，该段M图的斜率应为正：支座A处剪力图应发生突变，突变值应为10KN: D处有集中力偶，D截面左右两侧的弯矩应发生突变，而且突变值应为3.6KNm:支座B和自 由端C处的弯矩应为零等。 例5-3刚架受力如图a所示。绘刚架的内力图。 6, 042 a】 M (d) (e) 例53图 解：(1)求支座反力 根据平衡条件求出支座反力如图a所示。 (2)分段作内力图 将刚架分为AC、CD、DB三段，利用截面法求出各段控制截面的内力值，利用微分关系 确定曲线形状，分别作出三段的内力图。N、Q、M图分别如图b、cd所示。作N图和 Q图可以画在杆轴的任一侧，但要标明正负号。在AC段内有均布载荷，Q图为斜直线，M 图为抛物线：因该段C截面处Q为零，故M图在该处的斜率应为零。 (3)对作出的内力图，除可以用微分关系、突变规律、端点规律进行校核外，还可以利 用刚结点处平衡条件进行校核。如将刚结点C截出，根据己作好的内力图作出其受力图如图© 所示，校核其是否处于平衡。 例5-4曲杆受力如图a示。绘曲杆的内力图
对作出的 Q 、 M 图要利用微分关系和突变规律、端点规律作进一步的校核。如 DB 段内 的均布载荷为负值，该段 Q 图的斜率应为负；CA 段的 Q 为负值，该段 M 图的斜率应为负； AD 段的 Q 为正值，该段 M 图的斜率应为正；支座 A 处剪力图应发生突变，突变值应为 10KN； D 处有集中力偶，D 截面左右两侧的弯矩应发生突变，而且突变值应为 3.6KNm；支座 B 和自 由端 C 处的弯矩应为零等。 例 5-3 刚架受力如图 a 所示。绘刚架的内力图。 解：（1）求支座反力 根据平衡条件求出支座反力如图 a 所示。 （2）分段作内力图 将刚架分为 AC、CD、DB 三段，利用截面法求出各段控制截面的内力值，利用微分关系 确定曲线形状，分别作出三段的内力图。 N 、Q 、 M 图分别如图 b、c、d 所示。作 N 图和 Q 图可以画在杆轴的任一侧，但要标明正负号。在 AC 段内有均布载荷， Q 图为斜直线， M 图为抛物线；因该段 C 截面处 Q 为零，故 M 图在该处的斜率应为零。 （3）对作出的内力图，除可以用微分关系、突变规律、端点规律进行校核外，还可以利 用刚结点处平衡条件进行校核。如将刚结点 C 截出，根据已作好的内力图作出其受力图如图 e 所示，校核其是否处于平衡。 例 5-4 曲杆受力如图 a 示。绘曲杆的内力图
b) cw图dQeM图 例5-4图 解：(1)求支座反力 根据平衡条件求出固定支座A的反力如图a所示。 (2)建立内力方程 用圆心角为日的横截面取隔离体，其受力图如图b所示。由平衡条件求得 M(0)=PRsin 0 (0)=Pcos0 0s0≤73 N(0)=-Psin 0 (3)绘曲杆内力图 根据平衡方程绘出的内力图如图c、d、e所示。 要点讨论 1,画内力图，首先要保证支座反力正确无误。通常用力矩方程求反力的大小和方向，利 用投影方程对计算结果进行校核。 2.要注意内力正负号与写平衡方程时有关力和力矩正负号的区别。前者是根据变形定正 负号，后者是根据力和力矩在坐标中的方向和转向规定正负号。 3.画Q、M图的关键是利用微分关系（或Q(x)、M(x)方程）定形，用截面法求控制 截面的内力值（大小和正负）。 4.注意突变规律和端点规律在内力图中的体现。这些规律实质上是微段平衡条件的体现 5.作出Q、M图后，要利用微分关系，突变规律、端点规律进行校核。对刚架内力图 要特别注意对刚结点处平衡的校核
解：（1）求支座反力 根据平衡条件求出固定支座 A 的反力如图 a 所示。 （2）建立内力方程 用圆心角为 的横截面取隔离体，其受力图如图 b 所示。由平衡条件求得 = − = = ( ) sin ( ) cos ( ) sin N P Q P M PR 2 0 （3）绘曲杆内力图 根据平衡方程绘出的内力图如图 c 、 d 、e 所示。 要点讨论 1．画内力图，首先要保证支座反力正确无误。通常用力矩方程求反力的大小和方向，利 用投影方程对计算结果进行校核。 2．要注意内力正负号与写平衡方程时有关力和力矩正负号的区别。前者是根据变形定正 负号，后者是根据力和力矩在坐标中的方向和转向规定正负号。 3．画 Q 、 M 图的关键是利用微分关系（或 Q(x) 、 M (x) 方程）定形，用截面法求控制 截面的内力值（大小和正负）。 4．注意突变规律和端点规律在内力图中的体现。这些规律实质上是微段平衡条件的体现。 5．作出 Q 、 M 图后，要利用微分关系，突变规律、端点规律进行校核。对刚架内力图 要特别注意对刚结点处平衡的校核