让数学有趣起来 江菲 “数王国忽然闯进来一头怪兽。它巨头、大嘴、全身无毛，奇怪 的是它只长了3条腿。…它看见了数王国公民24，张开血盆大口， 一口吞了下去。见了44，又大嘴一张吞了进去。数字5见状吓得双 腿动弹不得，怪兽大步走过来只用鼻子闻了闻，然后摇摇脑袋走开 怎么？有个数王国？那里都有什么人，又做些什么呢？ 怪兽为什么吃24和44，为什么又不吃5？后来怪兽被制服了 吗？是谁、怎样制服了它呢？…… 这是记者小、时候看过的一篇帝话故事，名字叫《大战食数兽》 至△相扫 ,还像昨天才看过一样 从心里害怕那个可怕的“食数 兽”把数字们都吃掉，希望自己能找出它致命的弱点，解救数王国 的公民们。 直到最近，我才知道，这篇数学童话的作者的名字，叫李毓佩 那时，他只不过是首都师范大学一名普通的讲师。从1977年第一本 数学科普书籍《奇妙的曲线》至今 他出版的数学科普书己有 100 多本 达1000多 万字 而已年过六旬的他，依然把为小朋友写有 趣的数学故事当作退休后最主要的工作。 当记者把电话打到他家里请求采访时，李老师难为情地回答： “我？……不够格吧？！ 天后，在北京北四环外的一间普通居室里，我见到了年过六 旬的李 他这样解释自己的工作 带领孩子们，尤其是学龄前 和小学里的孩子们， 走进有趣的数学天 “数学本身并不枯燥，为什么有那么多孩子望而生畏呢？” “我写数学童话的目的很单纯，就是让孩子们爱好数学，让他 们觉得数学是有趣的，好玩的。”李老师开门见山：“数学本身并 不枯燥，为什么有那么多孩子望而生畏呢？ 数学不 枯燥 我告诉他一个小孩子的话：我觉得数学家就是一群人整天坐在 桌子前面，在纸上算呀算。怎么能说不枯燥呢？“你知道美国有本 特别著名的数学科普读物，叫《啊哈！灵机一动》吗？”李老师问 我摇 里面有个主人公叫奎贝尔教 他老有些有趣的问题。比如 他说他饲养的动物中，除了两只以外所有的都是狗，除了两只以外 所有的都是猫，除两只以外所有的都是鹦鹉，问他总共养了多少只 动物？ 我正准备算一下 李老压又指若 周这两个数是什？本书上的想让我看：口口口十口口口196 ??!!我的脑袋里顿时有点儿转筋。 这两道看上去连乘除法都没涉及、有点错综复杂、又好像有点
让数学有趣起来 江菲 “ 数 王 国 忽 然 闯 进 来 一 头 怪 兽 。它 巨 头 、大 嘴 、全 身 无 毛 ，奇 怪 的 是 它 只 长 了 3 条 腿 。 „ „ 它 看 见 了 数 王 国 公 民 24,张 开 血 盆 大 口 ， 一 口 吞 了 下 去 。 见 了 44,又 大 嘴 一 张 吞 了 进 去 。 数 字 5 见 状 吓 得 双 腿 动 弹 不 得 ， 怪 兽 大 步 走 过 来 只 用 鼻 子 闻 了 闻 ， 然 后 摇 摇 脑 袋 走 开 了 „„” 怎 么 ？ 有 个 数 王 国 ？ 那 里 都 有 什 么 人 ， 又 做 些 什 么 呢 ？ 怪 兽 为 什 么 吃 24 和 44,为 什 么 又 不 吃 5？ 后 来 怪 兽 被 制 服 了 吗 ？ 是 谁 、 怎 样 制 服 了 它 呢 ？ „ „ 这 是 记 者 小 时 候 看 过 的 一 篇 童 话 故 事 ， 名 字 叫 《 大 战 食 数 兽 》。 至 今 想 起 来 ， 还 像 昨 天 才 看 过 一 样 ， 从 心 里 害 怕 那 个 可 怕 的 “ 食 数 兽 ” 把 数 字 们 都 吃 掉 ， 希 望 自 己 能 找 出 它 致 命 的 弱 点 ， 解 救 数 王 国 的 公 民 们 。 直 到 最 近 ，我 才 知 道 ，这 篇 数 学 童 话 的 作 者 的 名 字 ，叫 李 毓 佩 。 那 时 ，他 只 不 过 是 首 都 师 范 大 学 一 名 普 通 的 讲 师 。从 1977 年第一本 数 学 科 普 书 籍 《 奇 妙 的 曲 线 》 至 今 ， 他 出 版 的 数 学 科 普 书 已 有 100 多 本 ，达 1000 多 万 字 。然 而 已 年 过 六 旬 的 他 ，依 然 把 为 小 朋 友 写 有 趣 的 数 学 故 事 当 作 退 休 后 最 主 要 的 工 作 。 当 记 者 把 电 话 打 到 他 家 里 请 求 采 访 时 ， 李 老 师 难 为 情 地 回 答 ： “ 我 ？ „ „ 不 够 格 吧 ？ ！ ” 两 天 后 ， 在 北 京 北 四 环 外 的 一 间 普 通 居 室 里 ， 我 见 到 了 年 过 六 旬 的 李 老 师 。 他 这 样 解 释 自 己 的 工 作 ： 带 领 孩 子 们 ， 尤 其 是 学 龄 前 和 小 学 里 的 孩 子 们 ， 走 进 有 趣 的 数 学 天 地 。 “ 数 学 本 身 并 不 枯 燥 ， 为 什 么 有 那 么 多 孩 子 望 而 生 畏 呢 ？ ” “ 我 写 数 学 童 话 的 目 的 很 单 纯 ， 就 是 让 孩 子 们 爱 好 数 学 ， 让 他 们 觉 得 数 学 是 有 趣 的 ， 好 玩 的 。 ” 李 老 师 开 门 见 山 ： “ 数 学 本 身 并 不 枯 燥 ， 为 什 么 有 那 么 多 孩 子 望 而 生 畏 呢 ？ ” 数 学 不 枯 燥 ？ 我 告 诉 他 一 个 小 孩 子 的 话 ： 我 觉 得 数 学 家 就 是 一 群 人 整 天 坐 在 桌 子 前 面 ， 在 纸 上 算 呀 算 。 怎 么 能 说 不 枯 燥 呢 ？ “ 你 知 道 美 国 有 本 特 别 著 名 的 数 学 科 普 读 物 ，叫《 啊 哈 ！灵 机 一 动 》吗 ？ ” 李 老 师 问 。 我 摇 头 。 “ 里 面 有 个 主 人 公 叫 奎 贝 尔 教 授 ，他 老 有 些 有 趣 的 问 题 。比 如 ， 他 说 他 饲 养 的 动 物 中 ， 除 了 两 只 以 外 所 有 的 都 是 狗 ， 除 了 两 只 以 外 所 有 的 都 是 猫 ， 除 两 只 以 外 所 有 的 都 是 鹦 鹉 ， 问 他 总 共 养 了 多 少 只 动物？ ” 我 正 准 备 算 一 下 。 李 老 师 又 指 着 一 本 书 上 的 题 让 我 看 ：“ □ □ □ ＋ □ □ □ ＝ 1996, 问 这 两 个 数 是 什 么 ？ ” ？ ？ ！！ 我 的 脑 袋 里 顿 时 有 点 儿 转 筋 。 这 两 道 看 上 去 连 乘 除 法 都 没 涉 及 、 有 点 错 综 复 杂 、 又 好 像 有 点
微妙关系的题，怎么，怎么那么……“奇怪”啊！难道只有一个答 案吗？1 “好玩儿吧？”李老师却用了这个词！ “这样好玩儿的事在数学里多着呢比如数字9，凡是9的倍数， 它的各个位数上的数字加起来也必是9的倍数。 我赶忙在心里举 了几个例子：18、27、36、54……嘿，好像真是那么回事儿！“秩 序里的错位，复杂里又寻求秩序。数学里的黄金分割造就了无数美 丽的建筑和艺术， 比如维纳斯 蒙娜丽莎， 无限不循环小数造就了 奇幻的金字塔 这就是数学的好玩儿和奇妙，你觉得控制不了它 可它时时刻刻就在你身边儿转悠，而且你会发现自己也在不自觉地 应用着它。爱因斯坦就对代数下过这样一个定义： ‘代数嘛，就像 打猎一样有趣。那藏在树林里的野兽，你叫他做X,然后就一步步 地逼近它， 直到把它逮住！’“但是，我们的孩子每天面对的是什 么呢？ 上来就是 道例题， 或老 个公式 师讲怎 做 做完 又出几道，让孩子们照葫芦画瓢地做，然后再留几道作业题 这就 是数学课。你能从中感到什么有趣的东西呢？每天都是这样的内容 和程式，你怎么会喜欢它呢？不喜欢它又怎么能学好呢？” 我门的漆话己经成了李老师一个人的进 有的人说 好啊， 那我就生动点讲点儿好玩儿的 他让一只 熊说了 个数学公式，或者让 一只鸟儿在黑板前面算题 这样的结 果和老师站在黑板前讲课是一样的，还是对知识的单方面的灌输， 完全没有应用，也没有情节，怎么会吸引人呢？那样的学习怎么会 不是死记硬背呢？ 、 “比如讲‘一个三角形任意两边之和一定大于第三边' 我想 个生 活中最常 就是为什么人 都想走近道儿 可以画几种走法儿让他们廷最然灯问他们为什么都选那个最直接翻 人 路呢？他们会说那条路最近。为什么它最近呢？怎么证明呢？“联 系到他们生活中最常见到的、应用到的东西，他们才容易理解，也 容易思考，甚至能很快地举一反三 些 也有 些数学中的规律是小孩子们很难把握的， 这时 候我们就要想些办法帮他们记住。 刚开始学除法和分数时，很多孩子都记不住“0”不能作除数或 者分母。李毓佩就此写了一篇童话，叫《梦游0王国》： 0王国里所有的床铺都是上下铺，但下铺都没有人住。主人公 小毅很好奇 为什么没有人住啊？0王国公民解释说 因为0不能 躺在分数下 小毅不懂。大家就帮他设想，如果分数线上的数是2 而存在2/0这个数，比如说a吧，那么2=0×a,可是0和任何数 相乘都得0，所以不可能存在a这个数。如果分数线是0，那么这个等 式就变成0=0Xa,同样的道理，a就是个不能确定的数，所以0就 不能呆在分数线下面 许后面的道理他们还是不懂 但至少孩子们能很快地记住 0不能住 下铺 不能做分母和除数。 在0王国里，没有男人和女人，因为0既不是正数，也不是负 数：
微 妙 关 系 的 题 ， 怎 么 ， 怎 么 那 么 „ „ “ 奇 怪 ” 啊 ！ 难 道 只 有 一 个 答 案吗？！ “ 好 玩 儿 吧 ？ ” 李 老 师 却 用 了 这 个 词 ！ “ 这 样 好 玩 儿 的 事 在 数 学 里 多 着 呢 。比 如 数 字 9 ,凡 是 9 的 倍 数 ， 它 的 各 个 位 数 上 的 数 字 加 起 来 也 必 是 9 的 倍 数 。 ” 我 赶 忙 在 心 里 举 了 几 个 例 子 ： 18、 2 7、 36、 54„ „ 嘿 ， 好 像 真 是 那 么 回 事 儿 ！ “ 秩 序 里 的 错 位 ， 复 杂 里 又 寻 求 秩 序 。 数 学 里 的 黄 金 分 割 造 就 了 无 数 美 丽 的 建 筑 和 艺 术 ， 比 如 维 纳 斯 、 蒙 娜 丽 莎 ， 无 限 不 循 环 小 数 造 就 了 奇 幻 的 金 字 塔 „ „ 这 就 是 数 学 的 好 玩 儿 和 奇 妙 ，你 觉 得 控 制 不 了 它 ， 可 它 时 时 刻 刻 就 在 你 身 边 儿 转 悠 ， 而 且 你 会 发 现 自 己 也 在 不 自 觉 地 应 用 着 它 。 爱 因 斯 坦 就 对 代 数 下 过 这 样 一 个 定 义 ： ‘ 代 数 嘛 ， 就 像 打 猎 一 样 有 趣 。 那 藏 在 树 林 里 的 野 兽 ， 你 叫 他 做 x， 然 后 就 一 步 步 地 逼 近 它 ， 直 到 把 它 逮 住 ！ ’ “ 但 是 ， 我 们 的 孩 子 每 天 面 对 的 是 什 么 呢 ？ 上 来 就 是 一 道 例 题 ， 或 者 一 个 公 式 ， 老 师 讲 怎 么 做 ， 做 完 了 又 出 几 道 ， 让 孩 子 们 照 葫 芦 画 瓢 地 做 ， 然 后 再 留 几 道 作 业 题 ， 这 就 是 数 学 课 。 你 能 从 中 感 到 什 么 有 趣 的 东 西 呢 ？ 每 天 都 是 这 样 的 内 容 和 程 式 ， 你 怎 么 会 喜 欢 它 呢 ？ 不 喜 欢 它 又 怎 么 能 学 好 呢 ？ ” 我 们 的 谈 话 已 经 成 了 李 老 师 一 个 人 的 讲 演 ： “ 有 的 人 说 ， 好 啊 ， 那 我 就 生 动 点 讲 点 儿 好 玩 儿 的 。 他 让 一 只 熊 说 了 一 个 数 学 公 式 ， 或 者 让 一 只 鸟 儿 在 黑 板 前 面 算 题 ， 这 样 的 结 果 和 老 师 站 在 黑 板 前 讲 课 是 一 样 的 ， 还 是 对 知 识 的 单 方 面 的 灌 输 ， 完 全 没 有 应 用 ， 也 没 有 情 节 ， 怎 么 会 吸 引 人 呢 ？ 那 样 的 学 习 怎 么 会 不 是 死 记 硬 背 呢 ？ “ 比 如 讲 ‘ 一 个 三 角 形 任 意 两 边 之 和 一 定 大 于 第 三 边 ’ 。我 想 ， 用 一 个 生 活 中 最 常 见 的 例 子 最 好 ， 就 是 为 什 么 人 人 都 想 走 近 道 儿 。 可 以 画 几 种 走 法 儿 让 他 们 选 ， 然 后 问 他 们 为 什 么 都 选 那 个 最 直 接 的 路 呢 ？ 他 们 会 说 那 条 路 最 近 。 为 什 么 它 最 近 呢 ？ 怎 么 证 明 呢 ？ “ 联 系 到 他 们 生 活 中 最 常 见 到 的 、 应 用 到 的 东 西 ， 他 们 才 容 易 理 解 ， 也 容 易 思 考 ， 甚 至 能 很 快 地 举 一 反 三 。 “ 当 然 ， 也 有 一 些 数 学 中 的 规 律 是 小 孩 子 们 很 难 把 握 的 ， 这 时 候 我 们 就 要 想 些 办 法 帮 他 们 记 住 。 ” 刚 开 始 学 除 法 和 分 数 时 ，很 多 孩 子 都 记 不 住 “ 0” 不 能 作 除 数 或 者 分 母 。 李 毓 佩 就 此 写 了 一 篇 童 话 ， 叫 《 梦 游 0 王 国 》： 0 王 国 里 所 有 的 床 铺 都 是 上 下 铺 ， 但 下 铺 都 没 有 人 住 。 主 人 公 小 毅 很 好 奇 。 为 什 么 没 有 人 住 啊 ？ 0 王 国 公 民 解 释 说 ， 因 为 0 不 能 躺 在 分 数 下 。 小 毅 不 懂 。 大 家 就 帮 他 设 想 ， 如 果 分 数 线 上 的 数 是 2, 而存在 2／ 0 这 个 数 ， 比 如 说 a 吧 ， 那 么 2＝ 0×a，可是 0 和任何数 相乘都得 0,所 以 不 可 能 存 在 a 这 个 数 。如 果 分 数 线 是 0,那 么 这 个 等 式就变成 0＝ 0×a，同 样 的 道 理 ，a 就 是 个 不 能 确 定 的 数 ，所 以 0 就 不 能 呆 在 分 数 线 下 面 。 “ 也 许 后 面 的 道 理 他 们 还 是 不 懂 ， 但 至 少 孩 子 们 能 很 快 地 记 住 0 不能住在 ‘ 下 铺 ’ ——— 不 能 做 分 母 和 除 数 。 ” 在 0 王 国 里 ， 没 有 男 人 和 女 人 ， 因 为 0 既 不 是 正 数 ， 也 不 是 负 数 ；
外人只能和0王国的人握手，却不能拥抱，因为握手相当于加 法，拥抱却是乘法，和0一拥抱，自己也变成了0，回不去了： 0王国的居民都很轻，不对，应该说它们都没有重量，但是只 要往其他数 身后 ,就可以让他们重上10倍，如果站在小数点 后面，又能让这个数轻上10倍… “把这些0的特性，用孩子们能喜欢的方式和语言说出来，他 们就会觉得有趣，好玩儿，可能还会自己顺着思路思考些东西，甚 至会想出些稀奇古怪的问题，那就是它产生兴趣的时候啦！ 而只要对 门学科有了兴趣 好它难道还是困难的吗？”李老师 说，他的 个学生在教学中接受了这种观点，每次上数学课前，都 放一段动画片《唐老鸭漫游数学王国》再开始讲课。虽说一集动画 片只有10多分钟，可一下子就把孩子们吸引了，比讲了一堂课的效 果都好 “他对未知的世界不好奇 没有兴趣 甚至连幻想也没有：这 样培养出来的人，永远只能是工匠，而不会成为建筑设计师」 在李毓佩的科普作品中，有一类是他的原创 数学童话 “可以说，其他类的科学童话很多，但数学童话却很少。”他 十分肯定自己的工作， “我觉得这恰恰是我擅长的和喜欢的。” “数学本身是要求抽象 准确的科学 而童话却是漫天遐想 这不矛盾么？ 李毓佩马上拿出了证 德国数学家维尔斯拉斯说：不带点诗人味的数学家，绝不是 个完美的数学家。 列宁也说：幻想是极可贵的品质。有人认为，只有诗人木需费 相，这是0有匣由的 是愚蠢的偏见！在数学上也需要幻想， 没有它就不可能发 不代无套内茶都是不有边标的 和拟人 童话中间绝大部分是 李毓佩 例说： “著名的英国童话《爱丽丝奇遇记》虽然写的都是荒诞的经 历，但因为他的作者是英国牛津大学的数学家，其中蕴含着许多数 学的‘理趣’，至今还被许多数学方面的专业论文引用」 “孩子们想飞上天， 相入蚁穴 想听懂昆虫们说的话 他们 常常把板凳当作马 把天上的云看成羊群 把布娃 成真娃娃 和它说心里话，他们心目中一切都是活生生的，为什么不能利用这 个特点，把死板枯燥的数字，变成有生命的呢？ 有人说过这样一句话：说数学枯操，相当于站在花园外，说花 儿都不好若 李毓佩觉得 应该利用孩子们喜欢幻想和好玩儿的天性， 把他 们领到数学王国这个大花园里去。《有理数和无理数之战》是李毓佩 22年前的成名作一一 主人公小毅一觉醒来，发现窗户外的山坡上在打仗。子细一看 一边打若“有理数”的大旗子 一边打着“无理数”的大旗子 有理数和无理数为什么要打仗？哦 原来是为了名字 听听无理数司令T怎么说： “我们无理数和有理数同样是数 为什么他们‘有理 ,我们‘无理’？我们究竞哪点儿无理？ 对呀！无理怎么会存在麻！小毅心里也在琢磨
外 人 只 能 和 0 王 国 的 人 握 手 ， 却 不 能 拥 抱 ， 因 为 握 手 相 当 于 加 法 ， 拥 抱 却 是 乘 法 ， 和 0 一 拥 抱 ， 自 己 也 变 成 了 0 ,回 不 去 了 ； 0 王 国 的 居 民 都 很 轻 ， 不 对 ， 应 该 说 它 们 都 没 有 重 量 ， 但 是 只 要 往 其 他 数 字 身 后 一 站 ，就 可 以 让 他 们 重 上 10 倍 ，如 果 站 在 小 数 点 后 面 ， 又 能 让 这 个 数 轻 上 10 倍 „ „ “ 把 这 些 0 的 特 性 ， 用 孩 子 们 能 喜 欢 的 方 式 和 语 言 说 出 来 ， 他 们 就 会 觉 得 有 趣 ， 好 玩 儿 ， 可 能 还 会 自 己 顺 着 思 路 思 考 些 东 西 ， 甚 至 会 想 出 些 稀 奇 古 怪 的 问 题 ， 那 就 是 它 产 生 兴 趣 的 时 候 啦 ！ — — — 而 只 要 对 一 门 学 科 有 了 兴 趣 ， 学 好 它 难 道 还 是 困 难 的 吗 ？ ” 李 老 师 说 ， 他 的 一 个 学 生 在 教 学 中 接 受 了 这 种 观 点 ， 每 次 上 数 学 课 前 ， 都 放 一 段 动 画 片 《 唐 老 鸭 漫 游 数 学 王 国 》 再 开 始 讲 课 。 虽 说 一 集 动 画 片只有 10 多 分 钟 ，可 一 下 子 就 把 孩 子 们 吸 引 了 ，比 讲 了 一 堂 课 的 效 果都好。 “ 他 对 未 知 的 世 界 不 好 奇 ， 没 有 兴 趣 ， 甚 至 连 幻 想 也 没 有 。 这 样 培 养 出 来 的 人 ， 永 远 只 能 是 工 匠 ， 而 不 会 成 为 建 筑 设 计 师 ！ ” 在 李 毓 佩 的 科 普 作 品 中 ， 有 一 类 是 他 的 原 创 — — — 数 学 童 话 。 “ 可 以 说 ， 其 他 类 的 科 学 童 话 很 多 ， 但 数 学 童 话 却 很 少 。 ” 他 十 分 肯 定 自 己 的 工 作 ， “ 我 觉 得 这 恰 恰 是 我 擅 长 的 和 喜 欢 的 。 ” “ 数 学 本 身 是 要 求 抽 象 、 准 确 的 科 学 ， 而 童 话 却 是 漫 天 遐 想 ， 这 不 矛 盾 么 ？ ” “ 不 矛 盾 呀 ！ ” 李 毓 佩 马 上 拿 出 了 证 据 ——— 德 国 数 学 家 维 尔 斯 拉 斯 说 ： 不 带 点 诗 人 味 的 数 学 家 ， 绝 不 是 一 个 完 美 的 数 学 家 。 列 宁 也 说 ： 幻 想 是 极 可 贵 的 品 质 。 有 人 认 为 ， 只 有 诗 人 才 需 要 幻 想 ， 这 是 没 有 理 由 的 ， 是 愚 蠢 的 偏 见 ！ 在 数 学 上 也 需 要 幻 想 ， 甚 至 没 有 它 就 不 可 能 发 现 微 积 分 ！ “ 童 话 中 间 绝 大 部 分 是 幻 想 ， 夸 张 和 拟 人 ， 但 不 代 表 它 所 有 的 内 容 都 是 不 着 边 际 的 空 想 。 ” 李 毓 佩 举 例说： “ 著 名 的 英 国 童 话 《 爱 丽 丝 奇 遇 记 》 虽 然 写 的 都 是 荒 诞 的 经 历 ， 但 因 为 他 的 作 者 是 英 国 牛 津 大 学 的 数 学 家 ， 其 中 蕴 含 着 许 多 数 学 的 ‘ 理 趣 ’ ， 至 今 还 被 许 多 数 学 方 面 的 专 业 论 文 引 用 。 ” “ 孩 子 们 想 飞 上 天 ， 想 潜 入 蚁 穴 ， 想 听 懂 昆 虫 们 说 的 话 ， 他 们 常 常 把 板 凳 当 作 马 ， 把 天 上 的 云 看 成 羊 群 ， 把 布 娃 娃 当 成 真 娃 娃 ， 和 它 说 心 里 话 ， 他 们 心 目 中 一 切 都 是 活 生 生 的 ， 为 什 么 不 能 利 用 这 个 特 点 ， 把 死 板 枯 燥 的 数 字 ， 变 成 有 生 命 的 呢 ？ ” 有 人 说 过 这 样 一 句 话 ： 说 数 学 枯 燥 ， 相 当 于 站 在 花 园 外 ， 说 花 儿 都 不 好 看 。 李 毓 佩 觉 得 ， 应 该 利 用 孩 子 们 喜 欢 幻 想 和 好 玩 儿 的 天 性 ， 把 他 们 领 到 数 学 王 国 这 个 大 花 园 里 去 。《 有 理 数 和 无 理 数 之 战 》是 李 毓 佩 22 年 前 的 成 名 作 — — — 主 人 公 小 毅 一 觉 醒 来 ，发 现 窗 户 外 的 山 坡 上 在 打 仗 。仔 细 一 看 ， 一边打着 “ 有 理 数 ” 的 大 旗 子 ， 一 边 打 着 “ 无 理 数 ” 的 大 旗 子 。 有 理 数 和 无 理 数 为 什 么 要 打 仗 ？ 哦 ， 原 来 是 为 了 名 字 。 听 听 无 理 数 司 令 π 怎么说： “ 我 们 无 理 数 和 有 理 数 同 样 是 数 ， 为 什 么 他 们 ‘ 有 理 ’ ，我们 ‘ 无 理 ’ ？ 我 们 究 竟 哪 点 儿 无 理 ？ ” 对 呀 ！ 无 理 怎 么 会 存 在 嘛 ！ 小 毅 心 里 也 在 琢 磨
“因为人们最开始发现的是有理数，见到我们无理数时还不理 解，所以取了‘于理数·这久难听的名字。可可是现在 人们已经充 分认识我们 就该给我们摘掉‘无理’的帽子才对！ 司令的设想，是将有理数更名为“比数 ,而无理数改称“非 比数” “有理数和无理数最根本的区别，就是凡是有理数，都可 以化成两个整数之比，而无理数，无论如何也不能化成两个整数之 比。” 小铅相微右道 ,决定回家后给国际数学组织写封信 帮助无理数达成它们的愿望 这篇文章至今仍被许多科普书籍选用。 李老师解释道：“写数学童话也不能脱离数学本身，这是最难 的。有理数和无理数是小学数学的一个难点。因为名字很奇怪。我 就想，能不能写篇童话说清楚呢？于是就有了两派为名字大打不休 打仗就要有司令，谁来当司令？有理数中 最重要的数字就 是自然数1，小朋友最先学的数字也是1，有了1就可以产生23： 4……等全体自然数，接着就可以产生分数。有理数的司令理所当然 是1：那么无理数的司令难来当？只能是小明友还知道一点儿的T 来当啦！” 数字王国的公民因各自的“形象”不同，有着各自鲜明的特点 数0性格开朗，整天乐呵呵，能吃能睡：数1多愁善感，成天闷闷 不乐，吃得少又睡不着觉：数7，是个小老头，驼着背，不会走，只 能单腿蹦：数8是个不倒翁，光秃秃的脑袋，却智慧无穷…… “现代教育最可怕的就是 占去了孩子们所有的时间 ,每天放 早期六是期天要补理 要不封是受钢瑟 画画儿， 子们哪 儿有自己的时间啊？ 时间一久，学习和生活，就 变得一点儿快乐都没有。 “我们常常会认为，一个教学成绩好的老师，就是把教材上的 东西讲得学生都听懂了， 一点儿问题也没有。可事实上，这恰恰可 能是最不好的老师。因为孩子们除了老师教的 自己一点儿思考和 想法也没有 有兴趣 甚至连 幻想也没有。这样培养出来的人永远只能是工匠，而不会成为建筑 设计师！ 李毓佩认为，最好的小学和中学教育是应该科普化的 “为什么？因为科普的，就是把所有和要学的知识相关的故事 啊， 典故啊， 有趣的都告诉他 唤醒他们的兴趣 然后 他就可能 会去想象， 去思考，进而主动地学 有多少发明创造和伟大的思想都是由幻想而来呀！ 我们一起数起来：电视机、洗衣机、传真机、飞机、电话、蒸气 机车··其至电的发现！“那么，为什么在数学领域不应该有幻 想？” 著名美国科普家马丁·加德纳在《啊哈！灵机 动》的前言中 这样解释书名的由来： “起初，某一定理的证明是一篇长达50多页 的论文，密密麻麻全是专门的推理，但数年后，另一个不出名的数 学家突然灵机一动，发人之所未见，只用要要数行就作出了简洁优
“ 因 为 人 们 最 开 始 发 现 的 是 有 理 数 ， 见 到 我 们 无 理 数 时 还 不 理 解 ， 所 以 取 了 ‘ 无 理 数 ’ 这 么 难 听 的 名 字 。 可 是 现 在 ， 人 们 已 经 充 分 认 识 我 们 了 ， 就 该 给 我 们 摘 掉 ‘ 无 理 ’ 的 帽 子 才 对 ！ ” π 司 令 的 设 想 ，是 将 有 理 数 更 名 为 “ 比 数 ” ，而 无 理 数 改 称 “ 非 比 数 ” ： “ 有 理 数 和 无 理 数 最 根 本 的 区 别 ， 就 是 凡 是 有 理 数 ， 都 可 以 化 成 两 个 整 数 之 比 ， 而 无 理 数 ， 无 论 如 何 也 不 能 化 成 两 个 整 数 之 比 。 ” 小 毅 越 想 越 觉 得 有 道 理 ， 决 定 回 家 后 给 国 际 数 学 组 织 写 封 信 ， 帮 助 无 理 数 达 成 它 们 的 愿 望 。 这 篇 文 章 至 今 仍 被 许 多 科 普 书 籍 选 用 。 李 老 师 解 释 道 ： “ 写 数 学 童 话 也 不 能 脱 离 数 学 本 身 ， 这 是 最 难 的 。 有 理 数 和 无 理 数 是 小 学 数 学 的 一 个 难 点 。 因 为 名 字 很 奇 怪 。 我 就 想 ，能 不 能 写 篇 童 话 说 清 楚 呢 ？ 于 是 就 有 了 两 派 为 名 字 大 打 不 休 。 “ 打 仗 就 要 有 司 令 ， 谁 来 当 司 令 ？ 有 理 数 中 ， 最 重 要 的 数 字 就 是 自 然 数 1,小 朋 友 最 先 学 的 数 字 也 是 1,有 了 1 就 可 以 产 生 2、 3、 4„ „ 等 全 体 自 然 数 ，接 着 就 可 以 产 生 分 数 。有 理 数 的 司 令 理 所 当 然 是 1； 那 么 无 理 数 的 司 令 谁 来 当 ？ 只 能 是 小 朋 友 还 知 道 一 点 儿 的 π 来当啦！ ” 数 字 王 国 的 公 民 因 各 自 的 “ 形 象 ” 不 同 ，有 着 各 自 鲜 明 的 特 点 ： 数 0 性 格 开 朗 ， 整 天 乐 呵 呵 ， 能 吃 能 睡 ； 数 1 多 愁 善 感 ， 成 天 闷 闷 不 乐 ， 吃 得 少 又 睡 不 着 觉 ； 数 7 ,是 个 小 老 头 ， 驼 着 背 ， 不 会 走 ， 只 能单腿 蹦 ； 数 8 是 个 不 倒 翁 ， 光 秃 秃 的 脑 袋 ， 却 智 慧 无 穷 „ „ “ 现 代 教 育 最 可 怕 的 就 是 ， 占 去 了 孩 子 们 所 有 的 时 间 ， 每 天 放 学 作 业 要 做 到 深 夜 ， 星 期 六 星 期 天 还 要 补 课 ， 要 不 就 是 学 钢 琴 、 学 画 画 儿 ， 孩 子 们 哪 儿 有 自 己 的 时 间 啊 ？ 时 间 一 久 ， 学 习 和 生 活 ， 就 变 得 一 点 儿 快 乐 都 没 有 。 “ 我 们 常 常 会 认 为 ， 一 个 教 学 成 绩 好 的 老 师 ， 就 是 把 教 材 上 的 东 西 讲 得 学 生 都 听 懂 了 ， 一 点 儿 问 题 也 没 有 。 可 事 实 上 ， 这 恰 恰 可 能 是 最 不 好 的 老 师 。 因 为 孩 子 们 除 了 老 师 教 的 ， 自 己 一 点 儿 思 考 和 想 法 也 没 有 ， 最 后 呢 ？ 他 对 未 知 的 世 界 不 好 奇 ， 没 有 兴 趣 ， 甚 至 连 幻 想 也 没 有 。 这 样 培 养 出 来 的 人 永 远 只 能 是 工 匠 ， 而 不 会 成 为 建 筑 设计师！ ” 李 毓 佩 认 为 ， 最 好 的 小 学 和 中 学 教 育 是 应 该 科 普 化 的 。 “ 为 什 么 ？ 因 为 科 普 的 ， 就 是 把 所 有 和 要 学 的 知 识 相 关 的 故 事 啊 ， 典 故 啊 ， 有 趣 的 都 告 诉 他 ， 唤 醒 他 们 的 兴 趣 ， 然 后 ， 他 就 可 能 会 去 想 象 ， 去 思 考 ， 进 而 主 动 地 学 习 。 ” 有 多 少 发 明 创 造 和 伟 大 的 思 想 都 是 由 幻 想 而 来 呀 ！ 我 们 一 起 数 起 来 ：电 视 机 、洗 衣 机 、传 真 机 、飞 机 、电 话 、蒸 气 机 车 „ „ 甚至电的发现！ “ 那么，为什么在数学领域不应该有幻 想 ？ ” 著 名 美 国 科 普 家 马 丁 ·加 德 纳 在 《 啊 哈 ！ 灵 机 一 动 》 的 前 言 中 这 样 解 释 书 名 的 由 来 ：“ 起 初 ，某 一 定 理 的 证 明 是 一 篇 长 达 50 多 页 的 论 文 ， 密 密 麻 麻 全 是 专 门 的 推 理 ， 但 数 年 后 ， 另 一 个 不 出 名 的 数 学 家 突 然 灵 机 一 动 ， 发 人 之 所 未 见 ， 只 用 寥 寥 数 行 就 作 出 了 简 洁 优
美的题解。现在心理学家称之为‘啊哈’反应。这真是一旦领悟， 由不得‘啊哈’ 一声，书名由此而来。 “这种灵机一动的 ‘啊哈反应靠的是什么？”李老师问我 “是幻想么？” 是大胆的幻想，加上勤奋的思考 我希望孩子们从我这儿得到的，更多是思维方法和观念 “要是小朋友只看你的故事，不理会里面的数学怎么办？” “那没有关系。能看懂的看数学，看不懂的看故事。我的书又 不是教材，又不考试，他们喜欢其中的什么就看什么 ”李老师 信地说 “我的书不是专给喜欢数学的 学习好的学生写的 我酒 望所有的小朋友都能爱看，能看懂 “那你的想要启发他们对数 学兴趣的目的不是就达不到了吗？ ”我着急地问。 那你觉得学数 学的目的是什么呢？”李老师反问我。 我暗若眼酷等若他说 方面是数学知识 更重要的一方面是数学思想 生活中，有 些基本的数学知识就可以了，比如会进行运算，买 东西知道该付多少钱，人家该找给你多少钱就可以了。但数学思想， 却是一个人一生中都非常重要的工具。这也是为什么从小学就要开 设数学课的原因。 看到我大成兴据 李老师说：我举两个例子你就明白了 为什么证明哥德巴赫猜想要从9+9开始？ 这就是最重要的数学思想之 化繁为简。为了化繁为简 有时候甚至要绕远道。直接证明1+1太难，所以先从9十9证起。 证明了9十9，再证明8+8,7十7，这样一步步缩小包围圈，最后一定 能达到耳的 .首几何顺 ,证明不出来 怎么办？作辅助线 从简单的地方 开始证 生话中需不要这是钙盟到因旗的向腹解决不了怎么办？用 解决容易的。甚至考试的时候题很多，先从简单的、会做的开始做， 最后做难的，不都是这样么？ 再比如一道显而易见的几何题。有的同学不明白： 一根就能看 出来是对的 怎么还需要证明呢？ 这是另外 重要的数学思想 解决问题要有依据。根棉 什么知道这个结论是正确的？你是怎样推理的？怎样展示自己的思 路和思考过程？这种逻辑能力也是在数学学习中培养出来的。 再比如， “9的倍数的数字之和一定也是9的倍数”，这种现 象是复么发现的呢？ 己经无从考证了 可是 它表明一占.万事万 物之间都有某利 规律存在， 而数 恰恰就 是在时时刻刻寻找着 物间的联系和规律。解方程，证明图形的相似性，微积分，都是在 努力寻找和证明事物间的关系和规律。这是种更重要的能力。 讲到这儿，李老师呵呵笑起来： “如果你问我，中学数学的哪些 定理在生活中有用？我一时环直说不上来。可是 ,数学思想和思维 却是不可忽视的能 很多国外 大学校长 就都是学数学出 其至 些其他学科的大科学家的数学也都非常棒，就是因为数学思维是 分析问题、解决问题能力的基础。 李老师顿了顿，意味深长地说：“我希望孩子们从我这儿得到的
美 的 题 解 。 现 在 心 理 学 家 称 之 为 ‘ 啊 哈 ’ 反 应 。 这 真 是 一 旦 领 悟 ， 由不得 ‘ 啊 哈 ’ 一 声 ， 书 名 由 此 而 来 。 ” “ 这 种 灵 机 一 动 的 ‘ 啊 哈 ’ 反 应 靠 的 是 什 么 ？ ” 李 老 师 问 我 。 “ 是 幻 想 么 ？ ” “ 是 大 胆 的 幻 想 ， 加 上 勤 奋 的 思 考 。 ” “ 我 希 望 孩 子 们 从 我 这 儿 得 到 的 ， 更 多 是 思 维 方 法 和 观 念 ” “ 要 是 小 朋 友 只 看 你 的 故 事 ， 不 理 会 里 面 的 数 学 怎 么 办 ？ ” “ 那 没 有 关 系 。 能 看 懂 的 看 数 学 ， 看 不 懂 的 看 故 事 。 我 的 书 又 不 是 教 材 ， 又 不 考 试 ， 他 们 喜 欢 其 中 的 什 么 就 看 什 么 。 ” 李 老 师 自 信 地 说 。 “ 我 的 书 不 是 专 给 喜 欢 数 学 的 、 学 习 好 的 学 生 写 的 。 我 希 望 所 有 的 小 朋 友 都 能 爱 看 ， 能 看 懂 。 ” “ 那 你 的 想 要 启 发 他 们 对 数 学 兴 趣 的 目 的 不 是 就 达 不 到 了 吗 ？ ” 我 着 急 地 问 。 “ 那 你 觉 得 学 数 学 的 目 的 是 什 么 呢 ？ ” 李 老 师 反 问 我 。 我 瞪 着 眼 睛 等 着 他 说 。 “ 学 习 数 学 ，一 方 面 是 数 学 知 识 ，更 重 要 的 一 方 面 是 数 学 思 想 。 生活中 ， 有 了 一 些 基 本 的 数 学 知 识 就 可 以 了 ， 比 如 会 进 行 运 算 ， 买 东 西 知 道 该 付 多 少 钱 ，人 家 该 找 给 你 多 少 钱 就 可 以 了 。但 数 学 思 想 ， 却 是 一 个 人 一 生 中 都 非 常 重 要 的 工 具 。 这 也 是 为 什 么 从 小 学 就 要 开 设 数 学 课 的 原 因 。 ” 看 到 我 大 感 兴 趣 ， 李 老 师 说 ： 我 举 两 个 例 子 你 就 明 白 了 。 为 什 么 证 明 哥 德 巴 赫 猜 想 要 从 9＋ 9 开始？ 这 就 是 最 重 要 的 数 学 思 想 之 一 — — — 化 繁 为 简 。为 了 化 繁 为 简 ， 有 时 候 甚 至 要 绕 远 道 。 直 接 证 明 1＋ 1 太 难 ， 所 以 先 从 9＋ 9 证起。 证明了 9＋ 9,再证明 8＋ 8,7＋ 7,这 样 一 步 步 缩 小 包 围 圈 ， 最 后 一 定 能 达 到 目 的 。一 道 几 何 题 ，一 看 ，证 明 不 出 来 ，怎 么 办 ？ 作 辅 助 线 ， 从 简 单 的 地 方 开 始 证 ， 最 后 证 明 到 需 要 的 结 论 。 生 活 中 需 不 需 要 这 样 呢 ？ 遇 到 困 难 的 问 题 解 决 不 了 怎 么 办 ？ 先 解 决 容 易 的 。甚 至 考 试 的 时 候 题 很 多 ，先 从 简 单 的 、会 做 的 开 始 做 ， 最 后 做 难 的 ， 不 都 是 这 样 么 ？ 再 比 如 一 道 显 而 易 见 的 几 何 题 。 有 的 同 学 不 明 白 ： 一 眼 就 能 看 出 来 是 对 的 ， 怎 么 还 需 要 证 明 呢 ？ 这 是 另 外 一 个 重 要 的 数 学 思 想 — — — 解 决 问 题 要 有 依 据 。 根 椐 什 么 知 道 这 个 结 论 是 正 确 的 ？ 你 是 怎 样 推 理 的 ？ 怎 样 展 示 自 己 的 思 路 和 思 考 过 程 ？ 这 种 逻 辑 能 力 也 是 在 数 学 学 习 中 培 养 出 来 的 。 再 比 如 ， “ 9 的 倍 数 的 数 字 之 和 一 定 也 是 9 的 倍 数 ” ， 这 种 现 象 是 怎 么 发 现 的 呢 ？ 已 经 无 从 考 证 了 。 可 是 ， 它 表 明 一 点 ： 万 事 万 物 之 间 都 有 某 种 规 律 存 在 ， 而 数 学 ， 恰 恰 就 是 在 时 时 刻 刻 寻 找 着 事 物 间 的 联 系 和 规 律 。 解 方 程 ， 证 明 图 形 的 相 似 性 ， 微 积 分 ， 都 是 在 努 力 寻 找 和 证 明 事 物 间 的 关 系 和 规 律 。 这 是 种 更 重 要 的 能 力 。 讲 到 这 儿 ，李 老 师 呵 呵 笑 起 来 ：“ 如 果 你 问 我 ，中 学 数 学 的 哪 些 定 理 在 生 活 中 有 用 ？ 我 一 时 还 真 说 不 上 来 。可 是 ，数 学 思 想 和 思 维 ， 却 是 不 可 忽 视 的 能 力 。 很 多 国 外 大 学 校 长 就 都 是 学 数 学 出 身 ， 甚 至 一 些 其 他 学 科 的 大 科 学 家 的 数 学 也 都 非 常 棒 ， 就 是 因 为 数 学 思 维 是 分 析 问 题 、 解 决 问 题 能 力 的 基 础 。 ” 李 老 师 顿 了 顿 ，意 味 深 长 地 说 ：“ 我 希 望 孩 子 们 从 我 这 儿 得 到 的