用流函数分析平面轧制问题

D0I:10.13374/j.issm1001-053x.1991.01.021 第13卷第1期 北京科技‘大学学报 Vol,13 No,1 1991年1月 Journal of University of Science and Technology Beijing J立.1991 用流函数分析平面轧制问题 汪家才· 痛要：给出了一种用浅鱼数求解理题刚塑性材科的平面应变轧制的方法。速度场 被分解为基暗速度场和附加速度场。基陆速度场满足边界上定的速度条并，附加速 度场满足齐次边界条件。与这青部分速度场相财应，有基请流函敦和附如施函数。基 础流面数可以确定地写出，附加流函数罪露助于Weierstras3定理写成完备空间的 向壹栈，即多项式。通过使全勇率帮小化，可以将多项式系数确定。用这一方法求得 了速度场、应力场、塑性区前后边界，接敏真上中性点的位置和轧制单位压力，并与 工程方法的计算结果作了比校。 尖输词：注函数，上限原理，全功率，平面轧制 Analysis of Plate Rolling Process Using Flow Function Wa排gJiacai" ◆ ABSTRACT:The velocity field is devided into the basic and additional fields. The basic velocity field should satisfy given conditions on boundary,but the additional velocity field should only satisfy the uniform boundary conditions. Corresponding to those two parts of velocity field there are basic flow function and additional fiow function.The basic flow function can be written definitly, while the additional flow function,according to the'Weierstrass theorem,has been written as a family of vectors in complete space,i.e.a polynomial.With the aid of minimization of the total power the coefficients of the polynomial have been defined.By using this method,the following results are obtained: velocity field,field of strain-rate,stress field,the back and front boundaries 1990一09一11收稿 ,机械工程系(Department of Mechanical Engincering)

户 第玲春第 1 期 i , , i年 落月 北 京 科 技 大 学 学 报 J o u r o a l o f U o i 二 e r s主t了 o f S e i o n o e 牌取 d T e c五n p! p g y B e i j i n暇 y o l . i 争 N o 一 1 J t 城 。 ` i , s一 ’ 用旅函数分析平面轧制问题 汪 家 才 ’ 勺 热熬锻然群熬 场 速 甚 的 向盆焦 即 多攻式 。 笼过使众功* 橄小化 , 率以挤薪项式拜数康定 . 用这一方法 求 得 了邀度场 、 应力场 . 塑性区贫后边界 , 接城弧 上中佳点e 位里和轧翻单位 压力 , 井 与 一 一 一 一 工穆方法的计算结来作了比技 。 哭恤润 : 卜 沈. 毅 , 上限服 , 全功串 , 平 面轧翻 人n a l y s i s p f P l a t e R o l l i n g p r o c e ` s u “ 恤 g F oI 脚 F u n ct i o n 、 甲 a 林夕 iJ a C a i . 几B s T RA c T : T h e v e l o c i t 了 f i e ld 1 5 ’ d e ` i d e d i n t o t 五e b a s i c a n d a d d i t i o 皿 a l f i e l通, · T从 b a s i e v e l o e i t 丫 f ie l d s b b u ld s a ti s f v 卫 i v e 红 e o n d i t i o n s o n b o u n d a r 了 。 b o t t h e a o d 主t l o n a l v e l o 仁 l t y i 姆 l d s . o u l往 0 巨玉y s a t 盈s l y t n e u n i 宜o r m O o u n o a r y c o n d 豆t l o n s - C o r r e s o o 妞 d i n 眨 t o t h o s e t w o o a r t s o f v e l o e i t v f i e ld t五e r e a r e b a s i e f l o w f u n e t i o n a n d a ` d 豆t i o n a l 1 10 , i u n c t i o n . l n e o a s i c t l o w t u n c t i o巨 c a皿 b e W r i t t e n 吐 e t i n i t l y - w 五i l e t h e a d d i ti o n a l f l o w f o n e t i o n , a e e o r d i n g t o t五e ’ W e i e r s t r a s ; t h e o er m , h a s 恤 e n w r i t t e n a s a f a m i l y o f 丫 , e t o r s i ; e o o P叉e t , s p a e e , i . e · a p o l; n o 二i a l · Wi t h t h e a l d o f m i n i m i z a t i on ’ o f t h e t o t a l p o w e r t h e e o e f f i e i e n t s o f t h e p o l y n o m i a l h ` v , b , e , d e f i“ e d : L By ” 5 1“ 9 t h i s 贝 e t五匕 d , t h e f o 叉1 0 , i n g r e s u l t s a r e o b t a i” e d , v e幕o e 滚t y 称。 l d , if e 互以 。 f , t r o i 。 一 r a t e , s t r e o s f i o ld , t h e b a o k a n d f r o o t b o o n d a r i e s 19 ” 一 9一1 侧有 机械工 程系 ( D c P ` r t 皿 e o t o f M e e h a o i e a l B n 名i 妞 e e r i n g ) DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1991. 01. 021

of plastic zone,the position of neuture point on the contact arc,and the rolling pressure acting on the contact surface of the strip. KEY WORDS:flow function,upper-bound theorem,total power,plate rolling 采用花函数按上限法求解金属成型问题，最初是应用于通过楔形模的平面应变挤压过 程，以及通过锥孔的轴对称挤压过程，后来又解决了圆柱辙粗这类非定常过程。对于平板轧 制二维花动问题的求解，4迄今未见报道。看来求解轧制问籍存在以下困准： (1)轧辊表面是柱面而不是平面，这给设定速度场带来困难。必须解决如何用一个函数 式统一表达整个轧制变形区速度场问题。 (2)待求的主要未知量是轧制接触压力P。“它沿轧辊法向作用，故在轧制过程中p不 做功，即欲求的轧制压力P不进入能量方程。 (3)在轧制接触弧上，以中性点为界，前滑区和后滑区相对于轧辊是“分泷”的。如果 不能确定接触弧上中性点的位置，就求不出速度场。 本文试国解决以上的困难，用泷函数求解二维轧制问题。 1基本假设 (1)变形视为二维流动 考虑宽展的三维轧制问题原则上也可以求解，得因三维的流函 y 数必须用两个函数式表达，问愿要复杂些，本 文不予讨论。 (2)变形金属视为理想刚塑性体不过读 者容易看出，文中提供的方法也可应用于弹塑 性强化介质，所以此假设并不降低方法的价 值。 (3)轧制接触真看作二次抛物线这是工 困1变形区儿何参数 Fig.1 The plastic sone and its 程中早已采用的一个合理假设。 parameters 变形区几何形状和参数如图1所示。 2轧制问题的上限原理 对于可变形连续体，设区域”的边界为∑，有下列普遍的能量方程： ∫xd=o5ar 此式表示沿边界Σ的表面力X,的功率，应等于区域V内的变形功率。上式左端的积分中， 主动力的功串视为正的，接触摩擦力·（星号表示“给定”）作为约束理想化的结果应看 作主动力。间断线上消耗的功率是负的。令工=S:+S2+y。+Y1,对于图1所示的无张力 轧制情况，有 2

o f P l a s ti e z o n e P r e s s肚 r e a c ti n g K EY W O RD忿 : t h e p o s i t i o n o f n e u t u r o p o i n t o牡 t五e e o n t a e t a r e , a n d t 五e r o l li n g o n t h e e o n t a e t s u r f a e e o f t h e s t r i P . f r o , 介 n o t一o n , 。 p p e r 一 b o u n d t h e o r e m , t吐。一 p o 谕e r , p l a t e r o l一i n g , 程 、 口 采用优函数按上限法录解金属成型间题 , 最初是应用于通过模形澳的平面应 变 挤 压 过 以及通过锥孔的轴对称拚压过程 , 后来又解决了 圆柱傲粗这类非定常过程 。 对于平板轧 制二维流动同题的求麟 , `辉今养助瞬 , 一 看乘求解浦荫 群在以姻难 : _ ( 1) 轧辊表面是柱面而不是乎面 , 这给瞬定速度场带来困难 , 必须解决如何用 一个函数 式统一表达整个乳制变形区速度场向题 。 ( 2) 待求的主要未知量是轧制接触压力 九 傲功 , 即欲求的轧麟压力 p 不进人能量方程 。 它沿轧辊法向作用 , 故在轧制 过程 中 户不 (3 ) 在牡制舞触弧上 , 以 中性点为界气 前借区和后指 区 一相对于轧辊聂 “ 分拢 ” 的 。 「 如果 不能确定接触弧大中性在的位置 , 就本不琳速度场 。 本文试图解决以上的困难 , 用优函数求解匕维轧制问题 。 舞 「 「 1 本 棍 译 (l) 变形视为二维沈动 考虑宽雇的三维轧翻何鹿翩上也可以录璐 , (碑脚主维的魂函 r r 下) 「 { ` _ 八 } 0zJ l l l . _ 1 数必须用两个函数式表达衬向肠要复杂些 , 本 文不予讨论 。 (2 ) 变形金属视为理想刚攀性体 不过读 图 1 变形区 几何参 数 F i g 。 I T 五e Pl a s t i e 名 o n e a n d i t s P a r a m 七t e r s 者容易看断 义中提供的方法妈可应用午弥塑 性哪化介厥 , 所以此假设井不降低 方 法 的 价 值 。 (3 ) 轧制接触弧看作二次抛杨线 这是工 程 中早已采用的一个合理假设 。 变形区几何形状和参数如 图 1 所示 。 2 轧制 一 问题 的上限原理 对于可变形连续体 , 设区域 犷 的 边界为 军 , 有下列普迫的能量方程 : I : X ` t, ; ` : 一 J v a 。 ! ` ! : ` 犷 此式表示沿边界 刃 的表面力 X ` 的功率 , 应等于区域 犷 内的 变形功率 。 上式左端的积分 中 , 主动力的功率视为正的 , 接触摩擦力 , . (星号表示 “ 给定 ” ) 作 为约束理想化的结果 应 看 作主动力 。 间断线上消耗的功 率是负的 。 令 E = S : + 5 2 + 夕。 + v : , 对于图 1 所示的无张 力 轧制情况 , 有

udro.ds-d (1) 或者写成： 它=它(W)+E(y0)+E(y1)+E(S1)-E(S,)=0 (2) 式中E称为全功率。△v是y上的间断速度，V.沿S的切向速度。由于在S和S2上T·的方向 不同，故相应的两项摩擦功率是异号的。此外还可看出，无张力的轧制问题，属于全功率的 值已知为零的一类问题，而轧制过程是靠后滑区上的摩擦力（工作剪应力）来实现的。 在式(1)中，各项积分都和速度场”，有关。上限定理证明，将任一运动可能的速度场代 入，均可使E≥0。如果某个”，使E=0,则此速度场”是真实的。如果一个运动可能的速 度场”，使E接近于零，则此”，是一个好的近似解。 3速度场的设定 3,1接触氯方程和无量纲坐标 接触抛物线方程是（见图1）： Y=h1+〔(h。-hi)112x2 (3) 采用无量纲坐标，x〔0,1)，ye〔0,1)，得 7=(1-)+ex2 (4 3,2用流西数表示速度场 根据流体力学，对任何无散又无源的二维流场，存在流函数中=中(×，y)，使 v,=3种13y,",=-3中13x (5) 3,3基础流西数°和基础速度场v: 将运动可能的速度分解为两部分〔1)：基础场和附加场。基础速度场应采取简单的形式， 并满足给定的边界速度条件，且不含未知量。基础速度场：可从基础流函数°导出。取 (见图1)〔2)： °=C,/Y 可以看出，|，=。=0，这是一条流线，即中心线。的°|，=r=C=-”h0,这是另一条流 线，即接触弧，C恰是变形区的上半流量。当采用相对坐标时，基础流函数的形式是： 中°=-vh,y/[1-e)+ex2) (6) 由基础流函数中°可按式()导出基础速度场)；。由9可按下式导出基础应变速串场 3

户 = 肛 _ , ` * 。 ` : d。 + 甲 、 !△。 ! d , , 甲 , · 。 ; d: 一 那 : , 。 : d , = J v 沙 , o , , 1 J s i J 吕 2 ( 1 ) 或者写 成 : E = E (犷 ) + E ( 夕。 ) + E ( ? i ) + E (5 1 ) 一 E ( S : ) = o ( 2 ) 式 中E 称为全功率 。 △。 是夕上的间断 速度 , t, : 沿 S 的切向速度 。 由于在 S : 和 S : 上 , * 的方向 不同 , 故相应的两项摩擦功率是异号的 。 此外还可看 出 , 无张力的轧制向题 , 属于全功率的 值已知为零的一类向题 , 而轧制过程是靠后滑区上的摩擦力 ( 工作剪应力) 来实现的 。 在式 l( ) 中 , 各项积分都和速度场 t, ` 有关 。 上限定理 证明 , 将任一运动可能的速度场代 ^, 均可使于) o0 如果某个 “ ` 使 E = ” , 则此 速度场 “ `是真东的 。 如果一个运动可 能 的 速 度场 。 . 使 E 接近于 零 , 则此 “ 。 是一个好的近似解 。 3 速度场的设定 3 . 1 接触弧方程和无皿纲坐标 接触弧 抛物线方程是 (见图 1 ) : Y = 入, + 〔 ( h 。 一 h : ) j 1 2〕 x Z ( 8 ) 采用无量纲坐标 , 二 ` 〔0 , 1〕 , 夕 ` 〔o , 1〕 , 得 Y = ( 1 一 ￡ ) + e x ( 4 ) 3 . 2 用滋函效表示璐度场 根据流体力学 , 对任何无散又无源的二 维流场 , 存在流函数 叻二 沪x( , y ) , 使 。 , = a 叻/ a 夕 , ” , 二 一 a护l a x ( 5 ) 3 。 3 甚摇 流函教沪 。 和基曲邃度场 川 将运动可能 的速度分 解为两部分 〔 又’ : 基础场和附加场 。 基础速度场应采取简单的形式 , 并满足给定的 边界速度条件 , 且不含未知量 。 基础速度场 ?z, 可从基础 流 函 数 犷 导 出 。 取 (见 图 1 ) 仁 幻: 护 o = C , I y 可以看出 , 犷 I , 二 。 = 。 , 这是一条流线 , 即中心线 。 护oI , 二 ; = C = 一 ” 。 h 。 , 这 是 另 一 条 流 线 , 即接触弧 , C 恰是 变形区的上半流量 。 当采用 相对坐 标时 , 基础流函数的形式是 : 护 O 二 一 。 。 h 。 夕 /〔l 一 。 ) + 。 二 “ 〕 ( 6 ) 由基础 流函数 功 。 可按式 (5 ) 导出基础速度场 ” 了 。 由 。 气可按下式 导出基础 应变 速率场

51 5i=(1/2)(av,/ax.+av./ax,) (7) 场5：和v?的表达式限于篇幅不予列出。 3.4附加流西救中“和附加速度场v; 附加速度场由附加流函数导出，它用来修正和补充基础速度场，且不应破坏已由基础场 满足了的边界速度条件。设定“时有以下考虑： (1)由对称条件✉(x,y)=v(,一y)和反对称条件”（￥，y)=-v,(x,-y),对照式 (5),可知·中y应为奇次。 (2)在中心层上应有5：，l-0=0,这就要求 (d中/dx2),0=(ò2中1∂y2)y=0 (3)在边界y=0和y=±了上，应有"=0，故的中必有因子y(少2-卫)。 综合以上各点，可以取： =-h7-7222。, (8) 此式的正确性可以用Weierstrass定理加以说明。对于二元函数，该定理说：在x∈〔0，l)和 yE〔0,1)上有界的任意连续函数f(x,y),可以用下列多项式来无限通近： f》=m22y m,n=0,1,2,… 考虑到前述特殊要求后，就得到式(8)，对式（8)加以整理，并取有限厦，最后得： -2会[y门 (9) 3.5完全流函敷中和剪应变速率强度H =+-[多+会多（医y全p,] (10) H=2√(5.+5.)2+（⑤9，+5，）2 (11) 4边界Y,Y1的确定 边界y。和y1可由沿边界法向的速度必须连续这一条件确定。先考察y。,由图2可见 Vo=-vi+Oj,V=v,i+v,i,n=sinai-cosaj 法向速度连续条件要求V。·n=V·n,即一v。sina=v,sina一v,cosa

考 ` . : 首 : . = (1 1 2) ( a ,t ` l a x , + a t, , / a 二 。 ) ( 7 ) 场古 ` . 和 。 弓的表达式限于篇幅不予列出 。 3 。 4 附加滋西教护 “ 和用加落度场 t, , 附加速度场由附加流 函数导出 , 它用来修正和补充基础速度场 , 满足了的边界速度条件 。 设定尹 时有以下 考虑 : (1 ) 由对称条件 。 二 ( 二 , 夕 ) 二 。 , (礼 一 y )和反对称条件 。 , ( 二 , y ) - s() , 苛知护中y 应为奇次 。 (2) 在中心层上应有 C , , , 。 。 二 0 , 这就要求 且不应破坏已 由基础场 一 ” , ( ` , 一 y) , 对 照式 ( J 乞 护 . / d 二 2 ) , . 。 二 ( J 艺 护 / J夕 “ ) , 一 。 (3 ) 在边界y = 。 和 y 二 士 Y 上 , 应有护 . = 。 , 故护 ` 中必有因子 夕 ( y Z 一 Y Z ) 。 综合以上各点 , 可以取 : · 「 ,一 、 ho掀刃 一 尹 )名 习 。 . 二 了歹 ” ’ ( 8 ) . 一 O 二 O 此式的正确性可以用 Wie 份 st ar , s 定趣加以说明 。 对于二元函数 , 该定理说 : 在二 〔 〔 0 , 1〕和 y 〔 〔。 , 1〕上有界的任意连续函数 f ( 二 , 川 , 可以用 ` 下列多项式来无限逼近 : f x( , y) = 替黑习习 “ 二“ ’ y ’ 沉 , n 二 O , 1 , 2 , ~ ’ “ 考虑到前述特殊要求后 , 就得到式 ( 8 ) , 对式 ( 8 ) 加以整理 , 并取有限项 , 最后得 : ` 六 二 广 一 , . 二 一 ” 。 ho 或 石 ` 二 L ` 一 1 2 . + 1 二1 : 一 〕 ( , , 3 。 5 完全流西救 砂和 剪应交邃率强度 H ` = *+o , 一认 浮 · 象郭 · (犷 一 ` , ” ` 乞 二 ’ “ 一 ’ ) ] (` ” , 一y 一 l 卜Y H = 2了 (犷乳 + 歹才 二 ) 2 + (多全 , + 歹少 , ) “ ( 1 1 ) 4 边界 0Y , 丫 , 的确定 边界 y 。和夕f 可 由沿 边界法向 的速度必须连续这一条件确定 。 先考察 夕 。 , 由图 2 可见 犷。 “ 一 秒。 i + Oj , F = t, x i + t, y i , ” = s i n a ` 一 e o s a j ( 法向速度连续条件要 求 v 。 · n 二 V · n , 即 一 ” 0 5 1扭 a = ” ; 5 1” a 一 ” , c o s q 弓

也就是u,/(v,+vo=tana。另一方面，沿y。有tanc=dy/dx,再考虑到式(5)，就得到： (x)dx +(/y)dy=-vody 此式左端为中的全微分，可见有中=-vy+f(x),利用条件l,0=0,故知f(x)=0,于 是：的=一uy=-v。hy(在Yo上) (12) 将式(10)代人式(12)，得人口边界的方程为 +22(,)-10 (13) 同理，可求得出口边界y1的方程为： +2总(y”-,)-。-0 m-12-2m-2 (14) 图2用流函数导出边界y0和Y1的方程，1|=1 图3勇事E(W)的计算简图 Fig.2 Derivation of the cquations of Fig.3 The calculations of the plastic boundaricsyo and yi power in vi and V2 5功率平衡计算 如果将运动可能的速度场，代入式(1)，就可以计算出全功率E(知)，但它不会小于 零，即E(u,)=E(W)+E(y)+E(y1)+E(S1)-E(S2)≥0 (15) 下面分别计算各项功率，推导过程从略。 5.1变形功率E(V)(见图3) 四=&[店了haa+JHa] (16) 5.2间断功率E(y。),E(y1)参见图2 2。)=可o+++()'() (17) 5

也就是 。 , / ( 。 二 + 。 。 ) = t a u a 。 另一方面 , 沿 y 。 有 t a n a 二 d夕 l d x , 再考虑到式 ( 5 ) , 就得到 : ( a叻/ a x ) d x + ( a吵/ a少 ) d 夕 = 一 。 。 d 夕 此式左端为 功的全微 分 , 可见有 功= 一 ” 。 y + f (二 ) , 利用 条件 州 。 二 。 = 0, 故知 f ( ` ) 二 O , 于 是 : 砂= 一 饥 y = 一 ” ho oy ( 在协上 ) 得人 口 边 界? 。 的方程为 ( 1 2 ) 将式 ( 1 0 ) 代人式 ( 1 2 ) , 梦 刀 告 + 互互… ( 又 . 一 1 2 . . 一 1 y 一 工 ) - 1 = 。 ( 1 3 ) 同理 , 可求得出 口边界 v ; 的 方程为 : 盆 对 会 + 烈买 “ , · . 一 1 2 . ( 妥 歹 一 妥 2 2 . 一 2 夕 夕 1 一 一 : : 1 一 己 ( 1 4 ) ` 已才二二 吮 咭一y 护 八 匕 厂 。 图 2 用 流 函数导出边 界 y o 和 , i 的 方程 , ! , l 二 F 19 . 2 D e r i v a t i o n o f t h e e q u a t i o n s o f b o u n d a r i e , y o a n d 下 i 图 3 功率 E ( V ) 的计 算简图 F 1 9 . 3 T h e c a l c u l a t i o n s o f t h e P l a s t i c P o w e r i n V i 注 n d V Z 5 功率平衡 计算 如 果将运动 可能的速度场 。 , 代 入式 ( 1 ) , 就可以计算出 全功 率 E ( 。 ` ) , 但它不 会 小 于 零 , 即 E ( 。 ` ) = E ( 犷 ) + E ( 夕。 ) + E ( 夕1 ) + E (夕 ; 卜 E ( S , ) ) o 下面分别计算各项 功 率 , 推导过程 从 略 。 ( 15 ) 5 . 1 变形 功率 E ( v ) (见 臼 3 ) 户` F , 一 ` · “ ` [I: 一 ` f {介 d交d夕· 上 一 。 宾 ( 了 ’ “ 翻夕〕 ( 1 6 ) 5 。 2 间断 功率 E (夕。 ) , E ( 夕; ) 参见图 2 ” ` , 。 , = ” 。 《了ha ; ` 不决丁万了万扩裔 d夕 ( 1 7 )