118 高等数学重点难点100讲 第37讲函数的草调性判别法(1) 函数的单调性判别法指的是:函数f(x)在[ab]上连续,在(a,b)内可导,若在(a,b)内 (x)>0(f(x)<0)时,则f(x)在[a,b]上单调增加(减少) 这一讲与下一讲我们讨论确定单调区间的方法和步骤及判别法的一些简单应用 、确定单调区间的方法和步骤 例1确定函数∫(x)=2x+3x2的单调区间 解∫(x)的定义域为(-∞,+∞),(x)=2+,2==-2(yx+1) 可以看出,x=0是导数f(x)不存在的点解方程f(x)=0,得驻点x=-1 用这两点把定义域(一∞,+∞)分成三个部分区间(-∞,-1),(-1,0),(0,+∞) 在区间(-∞,-1)内,f(x)>0,因此函数f(x)在(一∞,-1]上单调增加; 在区间(-1,0内,(x)<0,因此函数f(x)在[-1,0]上单调减少 在区间(0,+∞)内,f(x)>0,因此函数f(x)在[0,十∞)上单调增加 例2确定函数f(x)= 的单调区间 解 f(x)的定义域为(-∞,0)U(0,+∞),x=0是f(x)的间断点 f(x) 1-e)2 显然,当x<0时,f(x)>0,当x>0时f(x)<0. 因此,函数f(x)在(一∞,0)内单调增加,在(0,+∞)内单调减少 由例1,例2可以看出,函数的间断点、驻点、不可导点是可能的单调区间的分界点从解 题过程中可以总结出求函数f(x)的单调区间的一般步骤为 (1)确定f(x)的定义域; (2)求出∫(x)在定义域内的所有的驻点及导数不存在的点,用这些点按由小到大的顺 序把定义域分成若干个部分区间; (3)确定导函数f(x)在每个部分区间内的符号:导数的正号区间便是函数f(x)的单 调增加区间;导数的负号区间便是函数f(x)的单调减少区间 例3设在(一∞,+∞)内門(x)>0,f(0)=0,试证:F(x)f(x是单调增加函 数 证F(x)的定义域为(-∞,0)U(0,+∞)
第37讲函数的单调性判别法(1) 119 F(z)=()=f(,要确定F(x)的符号,只要能确定出xP(x)-f(x)之 gx)的符号就可以了为此,求导数y(x)=f(x)+xf(x)-f(x)=xf(x) 注意到:m(x)>0,f(0)=0,在(一∞,0)内,q(x)<0,故x)单调减少 故当x<0时,g(x)>y(0)=[xf(x)-f(x)]x=0=0,即g(x)在(-∞,0)内恒取 正值; 在(0,+∞)内,y(x)>0,所以g(x)单调增加;故当x>0时,q(x)>g(0)=0 即g(x)在(0,+∞)内也恒正 可见,在定义域内,F(x)>0,因此,F(x)单调增加 注意当由函数的一阶导数不能确定函数的单调性时,可将难以确定的部分设成一函 数,再次用导数判断其单调性,从而求解 根据函数的单调性判别法可知:若f(x)在[a,b]上二阶可导,且f(x)>0(f”(x)<0) 时,f(x)在a,b]上单调增加(单调减少).因此,有时利用二阶导函数可以讨论函数f(x) 本身的一些特性,请研究下面两例 例4(单项选择题)设在[0,1]上f(x)>0,则f(0),(1),f(1)-f(0),或f(0) f(1)的大小顺序是() (A)f(1)>f(0)>f(1)>f(0);(B)f(1)>f(1)-f(0)>f(0) (C)f(1)-f(0)>f(1)>f(0);(D)(1)>f(0)-f(1)>f(0 解因(x)>0,所以依单调性判别法知:在[0,1]上,f(x)单调增;又由拉格朗日中 值定理得f(1)-f(0)=f()(0<<1).所以f(1)>f()=f(1)-f(0)> f(0).故选B. 例5已知在[a,b]内f(x)存在二阶导数,f(x)≥0且f"(x)=0的点为孤立点,又 f(a)=f(b)=0,试证在(a,b)内f(x)<0成立 证因f(x)>0且f(x)=0的点为孤立点,所以在(a,b)内f(x)单调增,又f(x) 在[a,b上满足罗尔定理条件,故由罗尔定理知有∈(a,b),使f()=0.由f(x)的单调 增加性知当x∈(a,)时,f(x)<f()=0,即区间(a,)是f(x)取值恒负的区间;当x ∈(,b)时,(x)>f()=0,即区间(,b)是f(x)取值恒正的区间,从而由单调性判别 法知:函数∫(x)在[a,勺上单调减,f(x)在[,b上单调增,即 f(x)<f(a)=0(a<x≤);f(x)<f(b)=0(≤x<b 所以 f(x)<0(a<x<b) 、利用判别法判定方程根的存在性 例6讨论方程|x|÷+1x|t-cosx=0有几个实根 解设∫(x)=|x|÷+1x/+-cox.因f(x)是偶函数,所以只需在[o,+∞)上讨 论即可,又显见当x≥时,f(x)>0,从而只需在[0,r)上考虑问题在(0,x)内,(x)= (x+x2-cosx)x+?-h+inx>0,故f(x)在[0,x]上单调增加,又因f(0) 1<0,f(x)>0,所以由∫(x)的单调性及连续函数的介值定理知:f(x)=0在(0,x) 上有惟一实根,从而∫(x)在(-∞,+∞)内有且仅有两个零点
120 高等数学重点难点100讲 例7若a2亠3b<0,试证实系数方程x23+ax2+bx=0只有惟一实根 证设∫(x)=x3+ax2+bx,显然∫(x)在(-∞,+∞)内有定义、连续、可导,所以 只要能够证明f(x)是单调函数且在某两点处的函数值异号即可 求导数,得f(x)=3x2+2ax+b 令(x)=0,得x=1(-a±√a2-3b 因为a2-3b<0,所以f(x)=0没实根,故f(x)不变号,又由f(x)的连续性知,在 (一∞,+∞)内,f(x)要么恒取正值,要么恒取负值 因为lmf(x)=+∞,所以存在xo,使f(x)>0,从而当x∈(-∞,+∞)时,恒有 f(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)单调增加,故f(x)至多只能有一个零点 又∵limf(x) ∞,limf(x)=+∞, ∴存在x1,使f(x1)<0,同时也存在x2>x1,使f(x2)>0, ∴f(x)=0在(x1,x2)内有一根 综上所述,f(x)=0只有惟一实根 例8(选择题)设常数k>0,则f(x)=1nx-x+k在(0,+∞)内零点个数为 (A)3;(B)2;(C)1;(D)0. 解f(x)在(0,+∞)内有定义、连续、可导.求导,得f(x)= 令(x)=0,得驻点x=e,x=e把定义域(0,+∞)分成两部分(0,e),(e 在(0,e)内,f(x)>0,f(x)在(0,e]单调增 注意到f(0+0)=limf(x)=-∞,f(e)=k>0 可见,f(x)在(0,e)内,从f(0+0)<0增加到f(e)>0.因此,f(x)在(0,e)内有惟 一零点 在(e,+∞)内,f(x)<0,所以∫(x)在[e,+∞)上单调减 注意到,f(e)=k>0,f(+∞)=limf(x)=-∞. 可见,f(x)在[e,+∞)内f(x)从∫(e)>0单调减少至∫(+∞)<0,因此,f(x)在 (e,+∞)内有惟一零点 综上讨论知,f(x)在(0,+∞)内有两个零点,所以选B. 小结从例6至例8可知利用判别法判定方程根的一般思路是: (1)利用判别法求出函数f(x)的单调区间[a1,b],[a2,b2],…[anb,],从而在每一个单 调区间内f(x)=0至多有一个实根; (2)考察在每个区间[a,]端点的符号,若f(a1)f(b,)<0,由连续函数的介值定理知 f(x)=0在(a,b)内有一实根,否则,无实根 (3)从而得方程f(x)=0在其定义域内的根的总数